Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Bayes (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $\overline{Đ}$: người bị đái tháo đường, $H$: người bị tăng huyết áp. Ta có $P(\overline{Đ})=0,11$, $P(H|\overline{Đ})=0,8$, $P(H|Đ)=0,47$.
a) $P(Đ)=1-0,11=0,89$ → Đúng.
b) $P(\overline{H}|\overline{Đ})=1-0,8=0,2$ → Đúng.
c) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(H)=0,11\cdot 0,8+0,89\cdot 0,47=0,088+0,4183=0,5063\ne 0,266$ → Sai.
d) Theo công thức Bayes: $P(\overline{Đ}|H)=\frac{0,088}{0,5063}\approx 0,1738\approx 0,17$ (làm tròn đến hàng phần trăm) → Đúng.
Khớp với đáp án mã 101: ĐĐSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
$P(Đ)=1-0,11=0,89$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{H}|\overline{Đ})=1-P(H|\overline{Đ})=1-0,8=0,2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(H)=0,11\cdot 0,8+0,89\cdot 0,47=0,5063\ne 0,266$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(\overline{Đ}|H)=\frac{0,088}{0,5063}\approx 0,17$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức Bayes. Gọi B là biến cố người mắc bệnh, D là biến cố xét nghiệm dương tính. P(B)=0,015%=0,00015; P(D|B)=0,95; P(D|$\bar{B}$)=0,03.

P(B|D) = $\frac{P(B)P(D|B)}{P(B)P(D|B)+P(\bar{B})P(D|\bar{B})}$ = $\frac{0,00015\cdot 0,95}{0,00015\cdot 0,95+0,9985\cdot 0,03}$ = $\frac{0,0001425}{0,0001425+0,029955}$ = $\frac{0,0001425}{0,0300975}$ $\approx$ 0,0047346.

Vậy a $\approx$ 0,0047346 nên 1000a $\approx$ 4,73 (làm tròn đến hàng phần trăm). Kết quả trùng với đáp án nguồn 4,73.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II): a) Theo định nghĩa xác suất có điều kiện, $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ và $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$, nên $P(B|A)=\frac{P(B)\cdot P(A|B)}{P(A)}$ — đúng. b) Vì $A=(A\cap B)\cup (A\cap \overline{B})$ là hợp của hai biến cố xung khắc nên $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})$ — đúng. c) Theo công thức Bayes với $P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})$, ta có $P(B|A)=\frac{P(B)\cdot P(A|B)}{P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})}$ — đúng. d) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(A)=P(B)P(A|B)+P(\overline{B})P(A|\overline{B})=0,8\cdot 0,7+0,2\cdot 0,45=0,56+0,09=0,65\ne 0,5$ — sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$ và $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ nên khẳng định đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$A$ là hợp xung khắc của $A\cap B$ và $A\cap \overline{B}$ nên $P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap \overline{B})$ — đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là công thức Bayes với mẫu số là $P(A)$ tính theo công thức xác suất toàn phần — đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(A)=0,8\cdot 0,7+0,2\cdot 0,45=0,65\ne 0,5$ nên khẳng định sai.

a) Xác suất để Sơn lấy được bi xanh là $\frac{6}{11}$.

b) Xác suất để Tùng lấy được bi xanh biết Sơn lấy được bi xanh là $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.

c) Gọi $A$: “Sơn lấy được bi xanh” và $B$: “Tùng lấy được bi xanh”.
Ta có $P(A)=\frac{6}{11}$, $P(B|A)=\frac{1}{2}$, $P(\overline{A})=\frac{5}{11}$ và $P(B|\overline{A})=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
Khi đó Xác suất để Tùng lấy được bi xanh $P(B)=\frac{6}{11}\cdot \frac{1}{2}+\frac{5}{11}\cdot \frac{3}{5}=\frac{6}{11}$.

d) Xác suất để Sơn lấy được bi xanh biết Tùng lấy được bi xanh là
$$P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}=\frac{\frac{6}{11}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{6}{11}}=\frac{1}{2}.$$

Chọn đáp án [a đúng | b đúng | c sai | d đúng].
a) Xác suất để Sơn lấy được bi xanh là $\frac{6}{11}$.
b) Xác suất để Tùng lấy được bi xanh biết Sơn lấy được bi xanh là $\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$.
c) Gọi $A$: “Sơn lấy được bi xanh” và $B$: “Tùng lấy được bi xanh”.
Ta có $P(A)=\frac{6}{11}$, $P(B|A)=\frac{1}{2}$, $P(\overline{A})=\frac{5}{11}$ và $P(B|\overline{A})=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
Khi đó Xác suất để Tùng lấy được bi xanh $P(B)=\frac{6}{11}\cdot \frac{1}{2}+\frac{5}{11}\cdot \frac{3}{5}=\frac{6}{11}$.
d) Xác suất để Sơn lấy được bi xanh biết Tùng lấy được bi xanh là
$$P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}=\frac{\frac{6}{11}\cdot \frac{1}{2}}{\frac{6}{11}}=\frac{1}{2}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất có điều kiện $P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0,12}{0,4}=0,3$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B$ là biến cố người mắc bệnh $X$, $D$ là biến cố xét nghiệm dương tính. Ta có $P(B)=0,1$, $P(D|B)=0,9$, $P(D|\overline{B})=0,05$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(D)=0,1\cdot 0,9+0,9\cdot 0,05=0,09+0,045=0,135$. Theo công thức Bayes: $P(B|D)=\frac{0,09}{0,135}=\frac{2}{3}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi B là biến cố 'người mắc bệnh X', D là 'kết quả xét nghiệm dương tính'. Ta có P(B)=0,1; P(D|B)=0,9; P(D|B̄)=0,05. Xác suất dương tính: P(D)=0,1·0,9+0,9·0,05=0,09+0,045=0,135. Xác suất người đó thực sự mắc bệnh: P(B|D)=0,09/0,135=2/3. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B$ là biến cố 'người mắc bệnh X', $D$ là 'kết quả xét nghiệm dương tính'. Ta có $P(B)=0,1$; $P(D|B)=0,9$; $P(D|\overline{B})=0,05$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(D)=0,1\cdot 0,9+0,9\cdot 0,05=0,09+0,045=0,135$. Theo công thức Bayes: $P(B|D)=\frac{0,09}{0,135}=\frac{2}{3}$. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi không gian mẫu gồm các kết quả giới tính của hai người con: BB, BG, GB, GG (B = trai, G = gái), mỗi kết quả có xác suất $\frac{1}{4}$. Biến cố "có ít nhất một con trai" là $A=\{BB,BG,GB\}$, nên $P(A)=\frac{3}{4}$. Biến cố "cả hai là con trai" là $C=\{BB\}$, và $C\subset A$ nên $P(CA)=P(C)=\frac{1}{4}$. Xác suất cần tìm: $P(C|A)=\frac{P(CA)}{P(A)}=\frac{1/4}{3/4}=\frac{1}{3}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu gồm 4 khả năng đồng xác suất: TT, TG, GT, GG. Biến cố "có ít nhất một con trai" gồm 3 trường hợp: TT, TG, GT. Xác suất cần tìm là $P(\text{cả hai laˋ con trai}\mid \text{ıˊt nhaˆˊt một con trai})=\frac{1}{3}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B$ là biến cố 'người mắc bệnh $X$', $D$ là biến cố 'xét nghiệm dương tính'. Ta có $P(B)=0,1$, $P(D|B)=0,9$, $P(D|\bar{B})=0,05$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(D)=0,1\cdot 0,9+0,9\cdot 0,05=0,09+0,045=0,135$. Theo công thức Bayes: $P(B|D)=\frac{0,09}{0,135}=\frac{2}{3}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: 65% bóng đèn màu trắng nên $P(A)=0,65$. b) Đúng: tỉ lệ hỏng của bóng trắng là 2% nên $P(B|A)=0,02$. c) Sai: theo công thức xác suất toàn phần $P(B)=P(A)P(B|A)+P(\overline{A})P(B|\overline{A})=0,65\cdot 0,02+0,35\cdot 0,03=0,013+0,0105=0,0235\ne 0,9765$. d) Đúng: theo công thức Bayes $P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}=\frac{0,013}{0,0235}=\frac{26}{47}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
65% bóng đèn màu trắng nên $P(A)=0,65$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tỉ lệ hỏng của bóng trắng là 2% nên $P(B|A)=0,02$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=0,65\cdot 0,02+0,35\cdot 0,03=0,0235\ne 0,9765$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(A|B)=\frac{0,013}{0,0235}=\frac{26}{47}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'người thực sự nhiễm virus', D là biến cố 'kết quả xét nghiệm dương tính'. Theo đề: $P(A)=0,01$, $P(D|A)=0,9$, $P(\overline{D}|\overline{A})=0,8$ nên $P(D|\overline{A})=0,2$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(D)=P(A)P(D|A)+P(\overline{A})P(D|\overline{A})=0,01\cdot 0,9+0,99\cdot 0,2=0,009+0,198=0,207$. Xác suất cần tìm: $P(A|D)=\frac{P(A)P(D|A)}{P(D)}=\frac{0,009}{0,207}=\frac{9}{207}=\frac{1}{23}$. Vậy $a=1$, $b=23$, $a+b=24$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ sơ đồ hình cây (trang 6): $P(A)=0,4$, $P(\overline{A})=0,6$; $P(B|A)=0,3$, $P(B|\overline{A})=0,4$.

Tính xác suất các nhánh dẫn đến $B$:
$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=0,4\cdot 0,3=0,12$.
$P(\overline{A}\cap B)=P(\overline{A})\cdot P(B|\overline{A})=0,6\cdot 0,4=0,24$.
Theo công thức xác suất toàn phần:
$P(B)=0,12+0,24=0,36$.

Do đó:
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,12}{0,36}=\frac{1}{3}$.

Kết quả trùng với đáp án D đã cho trong nguồn (mã đề 1202, Câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ sơ đồ hình cây: $P(A)=0,4$, $P(\overline{A})=0,6$, $P(B|A)=0,3$, $P(B|\overline{A})=0,4$. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(B)=0,4\cdot 0,3+0,6\cdot 0,4=0,12+0,24=0,36$. Do đó $P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}=\frac{0,12}{0,36}=\frac{1}{3}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: 65% bóng đèn màu trắng nên $P(A)=0,65$. b) Đúng: tỉ lệ hỏng của bóng trắng là 2% nên $P(B\mid A)=0,02$. c) Sai: theo công thức xác suất toàn phần, $P(B)=P(A)P(B\mid A)+P(\overline{A})P(B\mid \overline{A})=0,65\cdot 0,02+0,35\cdot 0,03=0,013+0,0105=0,0235\ne 0,9765$. d) Đúng: $P(A\mid B)=\frac{P(A)P(B\mid A)}{P(B)}=\frac{0,013}{0,0235}=\frac{13}{23,5}=\frac{26}{47}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (1a Đ, 1b Đ, 1c S, 1d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
65% bóng đèn màu trắng nên $P(A)=0,65$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tỉ lệ hỏng của bóng trắng là 2% nên $P(B\mid A)=0,02$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=0,65\cdot 0,02+0,35\cdot 0,03=0,0235\ne 0,9765$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$P(A\mid B)=\frac{0,013}{0,0235}=\frac{26}{47}$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi A là biến cố 'người thực sự nhiễm virus', B là biến cố 'xét nghiệm cho kết quả dương tính'. Theo đề: $P(A)=0,01$; $P(B|A)=0,9$; $P(\bar{B}|\bar{A})=0,8$ nên $P(B|\bar{A})=0,2$.

Theo công thức Bayes:
$$P(A|B)=\frac{P(A)\cdot P(B|A)}{P(A)\cdot P(B|A)+P(\bar{A})\cdot P(B|\bar{A})}=\frac{0,01\cdot 0,9}{0,01\cdot 0,9+0,99\cdot 0,2}=\frac{0,009}{0,207}=\frac{9}{207}=\frac{1}{23}.$$

Vậy $a=1$, $b=23$ (phân số tối giản) nên $a+b=24$, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $B$ là biến cố người được xét nghiệm mắc bệnh, $P(B)=0,01$, $P(\overline{B})=0,99$.
a) Độ nhạy $99\%$ nghĩa là $P(+|B)=0,99$, nên xác suất người mắc bệnh cho kết quả âm tính là $P(-|B)=1-0,99=0,01$: đúng.
b) Độ đặc hiệu $96\%$ nghĩa là $P(-|\overline{B})=0,96$, nên $P(+|\overline{B})=1-0,96=0,04$: đúng.
c) Theo công thức xác suất toàn phần: $P(+)=P(B)P(+|B)+P(\overline{B})P(+|\overline{B})=0,01\cdot 0,99+0,99\cdot 0,04=0,0099+0,0396=0,0495\ne 0,05$: sai.
d) Theo công thức Bayes: $P(B|+)=\frac{P(B)P(+|B)}{P(+)}=\frac{0,0099}{0,0495}=0,2=20\%$: đúng.
Kết quả Đ, Đ, S, Đ khớp bảng đáp án nguồn trang 11 (hàng thứ hai các cột 3a–3d: D, D, S, D).
a) Đúng. Độ nhạy của test là $99\%$ nên xác suất một người mắc bệnh cho kết quả âm tính là $1-0,99=0,01$.
b) Đúng. Độ đặc hiệu là $96\%$ nên xác suất một người không mắc bệnh cho kết quả dương tính là $1-0,96=0,04$.
c) Sai. Gọi $B$ là biến cố người đó mắc bệnh. Theo công thức xác suất toàn phần: $P(+)=0,01\cdot 0,99+0,99\cdot 0,04=0,0099+0,0396=0,0495\ne 0,05$.
d) Đúng. Theo công thức Bayes: $P(B|+)=\frac{0,01\cdot 0,99}{0,0495}=\frac{0,0099}{0,0495}=0,2=20\%$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi B là biến cố người mắc bệnh, P(B)=0,01; + là biến cố test dương tính. a) Độ nhạy 99% nên P(+|B)=0,99, do đó P(−|B)=1−0,99=0,01. Đúng. b) Độ đặc hiệu 96% nên P(−|không B)=0,96, suy ra P(+|không B)=0,04. Đúng. c) Theo công thức xác suất toàn phần: P(+)=0,01·0,99+0,99·0,04=0,0099+0,0396=0,0495≠0,05. Sai. d) Theo công thức Bayes: P(B|+)=0,0099/0,0495=0,2=20%. Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2a D, 2b D, 2c S, 2d D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Độ nhạy 99% nên P(+|B)=0,99, suy ra P(−|B)=0,01.
b) (AI giải đề cho tôi)
Độ đặc hiệu 96% nên P(−|không B)=0,96, suy ra P(+|không B)=0,04.
c) (AI giải đề cho tôi)
P(+)=0,01·0,99+0,99·0,04=0,0495, không bằng 0,05.
d) (AI giải đề cho tôi)
P(B|+)=0,0099/0,0495=0,2=20%.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A$: người mắc bệnh X, $B$: phản ứng dương tính với xét nghiệm Y. Ta có $P(A)=0,002$, $P(B|A)=1$, $P(B|\bar{A})=0,06$. Theo công thức Bayes:
$$P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})}=\frac{0,002\cdot 1}{0,002+0,998\cdot 0,06}=\frac{0,002}{0,06188}\approx 0,0323.$$
Vậy xác suất người đó mắc bệnh X khoảng $3,23\%$, làm tròn đến hàng phần trăm là $3\%$.