Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT/hệ BPT bậc nhất hai ẩn (Toán học Lớp 10)

Điểm $(0;1)$ thuộc miền không gạch, và $0-3\cdot 1=-3\le 0$, $0+2\cdot 1=2\le 4$.

Điểm này không thỏa mãn $x+2y\ge 4$ (phương án A), $x-3y>0$ (phương án B), $x-3y\ge 0$ (phương án D).

Vậy miền không gạch là miền nghiệm của hệ $$\{\begin{array}{l}x-3y\le 0\\ x+2y\le 4\end{array}$$

Tổng số tiền phải trả trong một tháng là $x+2y$ (nghìn đồng). Bình muốn số tiền này luôn thấp hơn 100 nghìn đồng nên ta có bất phương trình $x+2y<100$.

a) Đúng. Với $x,y\in \mathbb{N}$, số tiền gọi nội mạng là $1.x=x$ (nghìn đồng) và số tiền gọi ngoại mạng là $2.y=2y$ (nghìn đồng).

b) Sai. Với $x=60,y=20$ thì $x+2y=60+40=100$, không thỏa mãn $x+2y<100$.

c) Sai. Miền nghiệm của bất phương trình $x+2y<100$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $x+2y=100$ (không kể bờ) chứa điểm $O(0;0)$, không phải hình vuông.

d) Sai. Bất phương trình là $x+2y<100$.
a) Đúng. Với $x,y\in \mathbb{N}$, số tiền gọi nội mạng là $1.x=x$ (nghìn đồng) và số tiền gọi ngoại mạng là $2.y=2y$ (nghìn đồng).
b) Sai. Với $x=60,y=20$ thì $x+2y=60+40=100$, không thỏa mãn $x+2y<100$.
c) Sai. Miền nghiệm của bất phương trình $x+2y<100$ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $x+2y=100$ (không kể bờ) chứa điểm $O(0;0)$, không phải hình vuông.
d) Sai. Bất phương trình là $x+2y<100$.

Từ điều kiện $x+2y-10\le 0$ ta có $F(x,y)=x+2y\le 10$.

Điểm $(4;3)$ thỏa mãn tất cả các điều kiện của hệ và $F(4;3)=4+2.3=10$.

Vậy giá trị lớn nhất của $F(x,y)$ là 10.

Đáp số: 10.

Đường thẳng có dạng $y=ax+b$. Đường thẳng đi qua $(0;3)$ nên $b=3$, đi qua $(2;0)$ nên $2a+3=0\Rightarrow a=-\frac{3}{2}$.

Do đó đường thẳng là $y=-\frac{3}{2}x+3$ hay $3x+2y=6$.

Phần không gạch chéo nằm phía trên trục $Ox$ nên $y>0$. Điểm $(0;1)$ thuộc phần không gạch và $3.0+2.1=2<6$ nên $3x+2y<6$. Phần bên trái trục $Oy$ không bị gạch nên không có điều kiện $x>0$.

Vậy hệ cần tìm là $\{\begin{array}{l}y>0\\ 3x+2y<6\end{array}$.

Chọn A.

Vẽ đường thẳng $d_1:y-2x=2$ đi qua hai điểm $(0;2)$ và $(-1;0)$.

Vẽ đường thẳng $d_2:x+y=5$ đi qua hai điểm $(0;5)$ và $(5;0)$.

Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại điểm $(1;4)$.

Xét điểm $O(0;0)$: $0-2.0=0\le 2$ và $0+0=0\le 5$ đều đúng, nên $O$ thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình.

Gạch bỏ nửa mặt phẳng bờ $d_1$ không chứa $O$ và nửa mặt phẳng bờ $d_2$ không chứa $O$.

Miền nghiệm của hệ là phần mặt phẳng không bị gạch, kể cả các phần đường biên của miền đó.

(AI giải đề cho tôi)
a) Mỗi khay xà lách cần 1 giờ, mỗi khay cải bó xôi cần 2 giờ, tổng thời gian $x+2y$ không vượt quá 100 giờ nên $x+2y\le 100$: đúng. b) Số khay là số lượng nguyên, không âm nên $x,y\in \mathbb{N}$: đúng. c) Lợi nhuận $60x+110y$ nghìn đồng: đúng. d) Với $x=40,y=30$: $F=60\cdot 40+110\cdot 30=2400+3300=5700$ nghìn đồng $=5,7$ triệu đồng, không phải 6 triệu đồng: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng giờ công là $x+2y$ và không vượt quá 100 nên $x+2y\le 100$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số khay phải là số nguyên không âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F=60x+110y$ (nghìn đồng).
d) (AI giải đề cho tôi)
$F=60\cdot 40+110\cdot 30=5700$ nghìn đồng $=5,7$ triệu đồng $\ne 6$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (Phần II): a) Tổng thời gian làm $x$ bình loại I và $y$ bình loại II là $5x+2y$ giờ, không vượt quá 100 giờ nên $5x+2y\le 100$ — đúng. b) Số bình sản xuất phải là số nguyên không âm ($x,y\in \mathbb{N}$) — đúng. c) Lợi nhuận: $600x+200y$ nghìn đồng — đúng. d) Với $x=12,y=20$: $F=600\cdot 12+200\cdot 20=7200+4000=11200$ nghìn đồng $=11,2$ triệu đồng, không phải 12 triệu đồng — sai. (Kiểm tra thời gian: $5\cdot 12+2\cdot 20=100\le 100$ nên phương án khả thi, chỉ phần lợi nhuận sai.)
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng thời gian là $5x+2y$ giờ và tối đa 100 giờ nên $5x+2y\le 100$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số bình là số đếm nên $x,y$ là các số nguyên không âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận $=600x+200y$ (nghìn đồng).
d) (AI giải đề cho tôi)
$F=600\cdot 12+200\cdot 20=11200$ nghìn đồng $=11,2$ triệu đồng $\ne 12$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (PHẦN II): a) Sai — cơ sở có tối đa 160 giờ nên điều kiện thời gian là $5x+4y\le 160$, không phải $5x+4y\ge 160$. b) Đúng — $x,y$ là số sản phẩm nên phải là các số nguyên không âm ($x,y\in \mathbb{N}$, tức $x\ge 0,y\ge 0$ và nguyên). c) Sai — lợi nhuận từ kệ sách là 450 nghìn/chiếc và từ tủ giấy là 380 nghìn/chiếc nên $F=450x+380y$ (nghìn đồng), không phải $380x+450y$. d) Đúng — với 16 kệ sách và 20 tủ giấy: $F=16\cdot 450+20\cdot 380=7200+7600=14800$ nghìn đồng $=14,8$ triệu đồng (thời gian $5\cdot 16+4\cdot 20=160$ giờ thỏa mãn ràng buộc).
a) (AI giải đề cho tôi)
Cơ sở có tối đa 160 giờ làm việc nên điều kiện là $5x+4y\le 160$, không phải $\ge 160$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x,y$ là số chiếc kệ sách, tủ giấy nên phải là các số nguyên không âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận là $F=450x+380y$ (nghìn đồng) vì kệ sách lãi 450 nghìn/chiếc, tủ giấy lãi 380 nghìn/chiếc.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F=16\cdot 450+20\cdot 380=14800$ nghìn đồng $=14,8$ triệu đồng; thời gian $5\cdot 16+4\cdot 20=160$ giờ thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: thời gian làm việc không vượt quá 120 giờ nên điều kiện là $3x+4y\le 120$, không phải $3x+4y\ge 120$. b) Đúng: số chiếc đèn phải là các số nguyên không âm ($x,y\in \mathbb{N}$, $x\ge 0,y\ge 0$). c) Đúng: lợi nhuận $200x+250y$ nghìn đồng. d) Đúng: $F=200\cdot 20+250\cdot 15=4000+3750=7750$ nghìn đồng $=7,75$ triệu đồng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cơ sở có tối đa 120 giờ làm việc nên $3x+4y\le 120$, phát biểu với dấu $\ge$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số chiếc đèn là số đếm nên $x,y$ là các số nguyên không âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận $F=200x+250y$ (nghìn đồng).
d) (AI giải đề cho tôi)
$F=200\cdot 20+250\cdot 15=7750$ nghìn đồng $=7,75$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (Phần II): a) Đúng: mỗi thùng xoài cần 2 giờ, mỗi thùng thanh long cần 1 giờ, tổng tối đa 80 giờ nên $2x+y\le 80$. b) Đúng: số thùng phải là số nguyên không âm ($x,y\in \mathbb{N}$, $x\ge 0,y\ge 0$). c) Sai: lợi nhuận là $F=180x+100y$ (nghìn đồng), không phải $100x+180y$. d) Đúng: $F=180\cdot 25+100\cdot 30=4500+3000=7500$ nghìn đồng $=7,5$ triệu đồng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tổng giờ công: $2x+y\le 80$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số thùng là số nguyên không âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là $F=180x+100y$ nghìn đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$180\cdot 25+100\cdot 30=7500$ nghìn đồng $=7,5$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: a) Tổng thời gian may là $2x+3y$ giờ, xưởng có tối đa 150 giờ nên $2x+3y\le 150$: đúng. b) Số sản phẩm là số nguyên không âm: đúng. c) Lợi nhuận $F=120x+180y$ nghìn đồng: đúng. d) Với $x=y=30$: $F=120\cdot 30+180\cdot 30=9000$ nghìn đồng $=9$ triệu đồng, không phải 10 triệu: sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi áo cần 2 giờ, mỗi quần cần 3 giờ, tổng thời gian $2x+3y$ không vượt quá 150 giờ nên $2x+3y\le 150$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Số chiếc áo và quần tây sản xuất phải là các số nguyên không âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $120x+180y$ nghìn đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F=120\cdot 30+180\cdot 30=9000$ nghìn đồng $=9$ triệu đồng, không phải 10 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Miền $0\le x\le 4$, $0\le y\le 5$ là hình chữ nhật với 4 đỉnh $(0,0),(4,0),(4,5),(0,5)$. Bất phương trình $x+y-3\ge 0$ (tức $x+y\ge 3$) loại góc $(0,0)$: đường thẳng $x+y=3$ cắt hình chữ nhật tại $(0,3)$ và $(3,0)$. Miền nghiệm có các đỉnh: $(0,3),(0,5),(4,5),(4,0),(3,0)$, tạo thành ngũ giác có 5 cạnh.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $x+2y-4\ge 0$ có bờ là đường thẳng $x+2y-4=0$ đi qua hai điểm $(4;0)$ và $(0;2)$ (hệ số góc âm, bằng $-\frac{1}{2}$). Vì $x+2y-4\ge 0$ là bất phương trình không nghiêm ngặt nên bờ được vẽ liền, và miền nghiệm gồm các điểm thỏa mãn. Thử gốc tọa độ $O(0;0)$: $0+2\cdot 0-4=-4<0$, nên gốc tọa độ KHÔNG thuộc miền nghiệm, tức miền nghiệm là nửa mặt phẳng KHÔNG chứa gốc tọa độ (phía trên đường thẳng). Theo đề, miền nghiệm là phần không bị tô đậm, nên phần bị tô đậm phải là nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng (chứa gốc tọa độ). Trong các hình, chỉ có hình ở phương án B có đường thẳng hệ số âm đi qua $(0;2)$ và $(4;0)$ với phần tô đậm nằm dưới đường thẳng (phần không tô đậm phía trên chính là miền nghiệm $x+2y-4\ge 0$, kể cả bờ). Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $M(-1;a)$ vào bất phương trình $2x+y<5$: $2(-1)+a<5\iff a<7$. Số nguyên dương $a$ thỏa mãn là $a\in \{1,2,3,4,5,6\}$, gồm 6 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Hệ $\{\begin{array}{l}x-y>0\\ 2x-y>1\end{array}$ gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn → ý a) đúng. Miền nghiệm là phần giao của hai nửa mặt phẳng mở (phần nằm dưới đường thẳng $y=x$ và dưới đường thẳng $y=2x-1$, không kể bờ), đây là một miền mở vô hạn chứa vô số điểm, ví dụ $(1;0)$, $(2;0)$, $(3;1)$, $\dots$ nên hệ có vô số nghiệm, không thể có nghiệm duy nhất → ý b) sai. Kiểm tra $M(1;0)$: $1-0=1>0$ và $2\cdot 1-0=2>1$, thỏa cả hai bất phương trình. Kiểm tra $N(0;-2)$: $0-(-2)=2>0$ và $2\cdot 0-(-2)=2>1$, cũng thỏa cả hai. Vậy cả $M$ và $N$ đều là nghiệm của hệ → ý c) đúng. Trong hình vẽ, hai đường thẳng $y=x$ và $y=2x-1$ cắt nhau tại $(1;1)$; phần tô đậm (xám) là phần không thuộc miền nghiệm, còn phần không tô đậm (góc mở giữa hai đường, không kể bờ vì các bất phương trình là loại nghiêm ngặt $>$) chính là miền nghiệm của hệ → ý d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cả hai bất phương trình $x-y>0$ và $2x-y>1$ đều là bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nên hệ đã cho là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Miền nghiệm là miền mở vô hạn (giao của hai nửa mặt phẳng), chứa vô số điểm như $(1;0)$, $(2;0)$, $(3;1)$, $\dots$ nên hệ có vô số nghiệm, không có nghiệm duy nhất.
c) (AI giải đề cho tôi)
$M(1;0)$: $1-0=1>0$, $2-0=2>1$ thỏa. $N(0;-2)$: $0+2=2>0$, $0+2=2>1$ thỏa. Cả hai điểm đều là nghiệm của hệ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $y=x$ và $y=2x-1$ cắt nhau tại $(1;1)$. Vì các bất phương trình là loại nghiêm ngặt, miền nghiệm là phần không tô đậm trong hình, không kể hai đường bờ.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}-1\le 0$ nhân với 6 được $3x+2y\le 6$. Vì $x,y$ nguyên dương nên $x\ge 1,y\ge 1$. Với $x=1$: $2y\le 3\Rightarrow y=1$ (thỏa). Với $x=2$: $2y\le 0$, không có $y$ nguyên dương. Với $x\ge 2$ không có nghiệm. Vậy chỉ có nghiệm $(1;1)$, tức có 1 nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Miền xác định là tam giác với các đỉnh là giao điểm của các cặp đường thẳng biên:
- $2x+y=2$ và $x-y=2$: cộng hai phương trình được $3x=4\Rightarrow x=\frac{4}{3},y=-\frac{2}{3}$, đỉnh $A\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3}\right)$.
- $2x+y=2$ và $5x+y=-4$: trừ hai phương trình được $3x=-6\Rightarrow x=-2,y=6$, đỉnh $B(-2;6)$.
- $x-y=2$ và $5x+y=-4$: trừ hai phương trình được $6x=-2\Rightarrow x=-\frac{1}{3},y=-\frac{7}{3}$, đỉnh $C\left(-\frac{1}{3};-\frac{7}{3}\right)$.

Vì $F=y-x$ là hàm tuyến tính nên giá trị nhỏ nhất trên miền tam giác đạt tại một đỉnh:
- Tại $A$: $F=-\frac{2}{3}-\frac{4}{3}=-2$.
- Tại $B$: $F=6-(-2)=8$.
- Tại $C$: $F=-\frac{7}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=-2$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $F=y-x$ trên miền đã cho bằng $-2$, đạt tại $\left(\frac{4}{3};-\frac{2}{3}\right)$ và $\left(-\frac{1}{3};-\frac{7}{3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Giá hỗn hợp: (140x+180y)/(x+y) ≤ 170 ⟺ 140x+180y ≤ 170x+170y ⟺ 10y ≤ 30x ⟺ 3x−y ≥ 0 (với x,y ≥ 0).
a) Đúng: bất phương trình là 3x−y ≥ 0.
b) Sai: thay (3;10): 3·3−10 = −1 < 0, không thỏa.
c) Đúng: thay (5;6): 3·5−6 = 9 ≥ 0 và x=5≥0, y=6≥0, nên (5;6) thỏa hệ x≥0, y≥0, 3x−y≥0.
d) Sai: hệ trong đề dùng 3x−y ≤ 0, chiều ngược với bất phương trình đúng 3x−y ≥ 0 (hai bất phương trình x+y≥0 và x≥0,y≥0 chỉ là điều kiện hiển nhiên, không cứu được chiều sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
(140x+180y)/(x+y) ≤ 170 ⟺ 140x+180y ≤ 170x+170y ⟺ 3x−y ≥ 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
3·3−10 = −1 < 0 nên (3;10) không thỏa 3x−y ≥ 0.
c) (AI giải đề cho tôi)
3·5−6 = 9 ≥ 0 và x=5≥0, y=6≥0 nên (5;6) là nghiệm của hệ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hệ dùng 3x−y ≤ 0, ngược chiều với bất phương trình đúng 3x−y ≥ 0.

(AI giải đề cho tôi)
Thử từng cặp $(x;y)$ với $x,y\in \{1;2;3\}$ vào bất phương trình $x-2y+4\ge 0$, tức $x+4\ge 2y$.
- Với $x=1$: $5\ge 2y\Rightarrow y\le 2,5\Rightarrow y=1;2$ (2 cặp).
- Với $x=2$: $6\ge 2y\Rightarrow y\le 3\Rightarrow y=1;2;3$ (3 cặp).
- Với $x=3$: $7\ge 2y\Rightarrow y\le 3,5\Rightarrow y=1;2;3$ (3 cặp).
Tổng cộng $2+3+3=8$ cặp số nguyên thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đề bài: số tiền mua cam là $15000x$ đồng, mua xoài là $30000y$ đồng, với điều kiện $x,y>0$ (số kg mua về sử dụng). Tổng tiền không vượt quá 200000 đồng nên bất phương trình là $15000x+30000y\le 200000$, chia cho 5000 được $3x+6y\le 40$.
a) Đúng: số tiền mua cam là $15000x$, mua xoài là $30000y$ với $x,y>0$.
b) Sai: bất phương trình đúng là $3x+6y\le 40$ (dấu $\le$, không phải $\ge$).
c) Thay $(5;4)$: $3\cdot 5+6\cdot 4=15+24=39\le 40$, nên cặp $(5;4)$ thỏa mãn bất phương trình → Đúng.
d) Với $x=4,y=5$: $3\cdot 4+6\cdot 5=12+30=42>40$, tức tổng tiền $=4\cdot 15000+5\cdot 30000=60000+150000=210000>200000$ đồng, vượt quá số tiền mẹ cho → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số tiền mua cam là $15000x$ đồng, mua xoài là $30000y$ đồng, với $x,y>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện ngân sách: $15000x+30000y\le 200000\iff 3x+6y\le 40$, không phải $3x+6y\ge 40$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay $(5;4)$: $3\cdot 5+6\cdot 4=39\le 40$, nên $(5;4)$ thỏa mãn.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với 4 kg cam và 5 kg xoài: $4\cdot 15000+5\cdot 30000=210000>200000$ đồng, vượt ngân sách nên không thể mua.