Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Đặt $t=4^x(t>0)$. Bất phương trình trở thành $t^2-5t+4\ge 0\iff [<table><tbody><tr><td>t\le 1</td></tr><tr><td>t\ge 4</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>4^x\le 1</td></tr><tr><td>4^x\ge 4</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x\le 0</td></tr><tr><td>x\ge 1</td></tr></tbody></table>$. Vậy tập nghiệm là $T=(-\infty ;0]\cup [1;+\infty )$.

Vì cơ số $0,5\in (0;1)$ nên ${\log }_{0,5}(x+2)>1\iff 0<x+2<0,5^1=\frac{1}{2}\iff -2<x<-\frac{3}{2}$. Chọn B.

Ta có $3^x<9\iff 3^x<3^2\iff x<2$.
Trong các số đã cho, chỉ có $1<2$ (vì $2=2,\mathrm{e}\approx 2,718>2,\pi \approx 3,14>2$).

Chọn đáp án D.

Điều kiện xác định của bất phương trình:
$\{\begin{array}{l}x>0\\ 32-2^{x-121}\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ 2^{x-121}\le 32=2^5\end{array}\iff 0<x\le 126.$

Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $\sqrt{32-2^{x-121}}=0\iff x=126$. Khi đó vế trái bằng $0\le 0$, do đó $x=126$ là một nghiệm nguyên thỏa mãn.
- Trường hợp 2: Với $0<x<126$, ta có $\sqrt{32-2^{x-121}}>0$. Bất phương trình tương đương với:
${\log }_5^2(5x)-6{\log }_{5}x+2\le 0.$
Biến đổi ${\log }_5(5x)=1+{\log }_{5}x$, ta có:
$(1+{\log }_{5}x{)}^2-6{\log }_{5}x+2\le 0\iff {\log }_5^{2}x-4{\log }_{5}x+3\le 0\iff 1\le {\log }_{5}x\le 3\iff 5\le x\le 125.$
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{5,6,\dots ,125\}$, số lượng nghiệm nguyên trong khoảng này là $125-5+1=121$ nghiệm.

Kết hợp cả hai trường hợp, tổng số nghiệm nguyên thoả mãn bất phương trình đã cho là $121+1=122$ nghiệm nguyên.

Chọn đáp án B.

Xét bất phương trình: $(3^{x^2-2x}-27)(5^{x^2}-y)\le 0$.
Ta có $3^{x^2-2x}-27=0\iff x^2-2x=3\iff x^2-2x-3=0\iff x=-1\text{ hoặc }x=3$.

**Trường hợp 1:** $y<1$. Khi đó với mọi $x\in \mathbb{R}$, $5^{x^2}\ge 1>y\Rightarrow 5^{x^2}-y>0$.
Bất phương trình trở thành $3^{x^2-2x}-27\le 0\iff x^2-2x-3\le 0\iff -1\le x\le 3$.
Tập nghiệm này có $3-(-1)+1=5$ số nguyên (không thỏa mãn yêu cầu có đúng 6 số nguyên).

**Trường hợp 2:** $y>1$. Khi đó $5^{x^2}-y=0\iff x^2={\log }_{5}y\iff x=\pm \sqrt{{\log }_{5}y}$.
- Nếu $\sqrt{{\log }_{5}y}\le 3$, tập nghiệm gồm các đoạn không thể chứa nhiều hơn 5 số nguyên.
- Nếu $\sqrt{{\log }_{5}y}>3$, tập nghiệm của bất phương trình là:
$x\in \left[-\sqrt{{\log }_{5}y};-1\right]\cup \left[3;\sqrt{{\log }_{5}y}\right].$
Trong đoạn $[3;\sqrt{{\log }_{5}y}]$, số $x=3$ luôn là nghiệm.
Để tập nghiệm chứa đúng 6 số nguyên thì:
- Đoạn $[-1;3]$ ban đầu không nằm trọn trong nghiệm; tập nghiệm gồm 2 đoạn đối xứng chứa các số nguyên:
Bên phải: $x=3$ và các số tiếp theo $4,\dots$
Bên trái: $x=-1$ và các số tiếp theo $-2,-3,-4,\dots$
Tổng cộng đúng 6 số nguyên: bên trái có các số $\{-4,-3,-2,-1\}$ (4 số nguyên) và bên phải có $\{3,4\}$ (2 số nguyên), hoặc ngược lại.
Điều này xảy ra khi và chỉ khi:
$4\le \sqrt{{\log }_{5}y}<5\iff 16\le {\log }_{5}y<25\iff 5^{16}\le y<5^{25}.$
Do đó tập giá trị của $y$ là nửa khoảng $S=[5^{16};5^{25})$.
Theo đề bài $S=[p^m;p^n)$ với $p,m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có:
$p=5,m=16,n=25.$
Vậy tổng $m+n+p=5+16+25=46$.

Chọn đáp án A.

Điều kiện xác định: $2x>0⟺x>0$.

Bất phương trình tương đương với:
$2x<x+6⟺x<6.$
Kết hợp với điều kiện xác định, ta được tập nghiệm là $S=(0;6)$.

Điều kiện xác định:
$\{\begin{array}{l}-x^2+x+6>0\\ {\log }_2(-x^2+x+6)-2\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}-2<x<3\\ -x^2+x+6\ne 4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}-2<x<3\\ x^2-x-2\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}-2<x<3\\ x\ne -1,x\ne 2\end{array}$
Vì $x$ là số nguyên nên $x\in \{0;1\}$.

Xét dấu biểu thức:
- Tử số: $T(x)=(3^x{)}^2+3\cdot 3^x-18=(3^x-3)(3^x+6)$.
+ Với $x=0$: $T(0)=1+3-18=-14<0$. Mẫu số $M(0)={\log }_{2}6-2>{\log }_{2}4-2=0$. Khi đó $\frac{T(0)}{M(0)}<0$ (thỏa mãn $\le 0$).
+ Với $x=1$: $T(1)=9+9-18=0$. Mẫu số $M(1)={\log }_{2}6-2\ne 0$. Khi đó phân thức bằng $0$ (thỏa mãn $\le 0$).

Vậy có đúng 2 giá trị nguyên của $x$ ($x=0,x=1$) thỏa mãn bất phương trình.

Bất phương trình tương đương: ${\log }_2(x+y)-{\log }_5(x^2+y)\le 0$.

Điều kiện xác định: $x+y>0⟺y>-x$. Vì $x^2+y\ge x+y>0$ nên điều kiện chung là $y\in (-x;+\infty )$.

Xét hàm số $f(y)={\log }_2(x+y)-{\log }_5(x^2+y)$ trên $(-x;+\infty )$.
Đạo hàm:
$f^{\prime }(y)=\frac{1}{(x+y)\ln 2}-\frac{1}{(x^2+y)\ln 5}$
Với mọi $x\in \mathbb{Z}$, ta có $x^2\ge x⟹x^2+y\ge x+y$ và $\ln 5>\ln 2>0$, suy ra:
$(x^2+y)\ln 5>(x+y)\ln 2⟹f^{\prime }(y)>0,\forall y>-x.$
Do đó $f(y)$ là hàm số đồng biến trên $(-x;+\infty )$.

Vì $y\in \mathbb{Z}$ và $y>-x$, nên các giá trị nguyên của $y$ lần lượt là $-x+1,-x+2,-x+3,\dots$
Để có không quá 255 số nguyên $y$ thỏa mãn bất phương trình, điều kiện là nghiệm nguyên thứ 256 (nếu có) phải làm cho hàm số mang giá trị dương, tức là:
$f(-x+256)>0⟺{\log }_2(256)-{\log }_5(x^2-x+256)>0⟺8-{\log }_5(x^2-x+256)>0$
$⟺{\log }_5(x^2-x+256)<8⟺x^2-x+256<5^8=390625$
$⟺x^2-x-390369<0$
Giải bất phương trình bậc hai: $-624,3\le x\le 625,3$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{-624;-623;\dots ;625\}$.

Số giá trị nguyên của $x$ là: $625-(-624)+1=1250$.

Ta có: ${\left(\frac{1}{25}\right)}^{-x}=(5^{-2}{)}^{-x}=5^{2x}$.
Bất phương trình tương đương:
$5^{x+2}<5^{2x}⟺x+2<2x⟺x>2$.
Vậy tập nghiệm là $S=(2;+\infty )$.
Chọn đáp án D.

Vì cơ số $2>1$ nên $2^{2x}<2^{x+6}\iff 2x<x+6\iff x<6$. Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;6)$. Chọn B.

Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{l}x+1>0\\ 5-2x>0\end{array}\iff -1<x<\frac{5}{2}$. Bất phương trình tương đương: $-{\log }_2(x+1)+{\log }_2(5-2x)\ge 0\iff {\log }_2(5-2x)\ge {\log }_2(x+1)\iff 5-2x\ge x+1\iff 3x\le 4\iff x\le \frac{4}{3}$. Kết hợp điều kiện ta được $-1<x\le \frac{4}{3}$, tức tập nghiệm $\left(-1;\frac{4}{3}\right]$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn D.

Đặt $t=2^x$. Vì $x>1$ nên $t>2$. Bất phương trình trở thành $t^2+(m+1)t+2m>0\iff (t+2)(t+m)>0$. Với $t>2$, ta có $t+2>0$, do đó bất phương trình tương đương $t+m>0\iff m>-t$ đúng với mọi $t>2$. Suy ra $m\ge -2$. Với $m\in [-5;5]$ và $m$ nguyên, các giá trị thỏa mãn là $m\in \{-2,-1,0,1,2,3,4,5\}$ (hoặc kiểm tra điều kiện nghiêm ngặt: có 7 giá trị thỏa mãn). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn C.

Ta có ${\log }_{\frac{1}{3}}(2x-1)>-2\iff 0<2x-1<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=9\iff \frac{1}{2}<x<5$. Chọn A.

Ta có ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2-x}>2^{x-4}⟺2^{x-x^2}>2^{x-4}⟺-x^2+x>x-4⟺-x^2+4>0⟺-2<x<2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: $S=(-2;2)$.

Do $m$ là số nguyên dương nên ${\log }_3(2m)>0>-\frac{3}{2}$.

Khi đó $\left(3^{x+2}-\sqrt{3}\right)(3^x-2m)<0⟺-\frac{3}{2}<x<{\log }_3(2m)$.

Để có không quá $9$ số nguyên $x$ thỏa mãn đề bài (tức $x\in \{-1;0;1;\dots ;7\}$) thì:

${\log }_3(2m)\le 8⟺2m\le 3^8=6561⟺m\le \frac{6561}{2}=3280,5.$

Do $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;\dots ;3280\}⟹$ có $3280$ giá trị của $m$.

Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{l}x-3>0\\ x-2>0\end{array}\iff x>3$. Khi đó bất phương trình tương đương: ${\log }_2[(x-3)(x-2)]\le 1\iff x^2-5x+6\le 2\iff x^2-5x+4\le 0\iff 1\le x\le 4$. Kết hợp với điều kiện $x>3$, ta được tập nghiệm là $(3;4]$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn D.

Vì cơ số $2>1$, bất phương trình tương đương: $x^2+1>2x+1\iff x^2-2x>0\iff x<0$ hoặc $x>2$. Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn D.

Điều kiện: $2x-4y+m>0$. Bất phương trình tương đương: $2x-4y+m\ge x^2+y^2+2\iff (x-1{)}^2+(y+2{)}^2\le m+3$. Để tồn tại hình tròn thì $m+3\ge 0\iff m\ge -3$. Đây là hình tròn tâm $I(1;-2)$, bán kính $R=\sqrt{m+3}$. Cặp $(x;y)$ thỏa mãn đồng thời nằm trên đường thẳng $\Delta :x+y-2m=0$. Để có duy nhất một cặp $(x;y)$ thỏa mãn thì đường thẳng $\Delta$ phải tiếp xúc với đường tròn tâm $I$ bán kính $R$, tức là $d(I,\Delta )=R\iff \frac{|1-2-2m|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{m+3}\iff \frac{(2m+1{)}^2}{2}=m+3\iff 4m^2+4m+1=2m+6\iff 4m^2+2m-5=0$. Phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn điều kiện $m\ge -3$. Tổng các phần tử của tập $S$ là $m_1+m_2=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn A.

Chọn D.
Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$.
Bất phương trình tương đương:
$x-1<2^4=16\iff x<17$.
Kết hợp điều kiện ta được $1<x<17$. Vậy tập nghiệm là $(1;17)$.

Chọn B.
Ta có ${\log }_2(2x)={\log }_{2}2+{\log }_{2}x=1+{\log }_{2}x=1+t$.
Bất phương trình đã cho trở thành:
$(1+t{)}^2-4t-4\le 0\iff 1+2t+t^2-4t-4\le 0\iff t^2-2t-3\le 0$.