Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn A.
Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$.
Ta có: ${\log }_2(x-1)>3\iff x-1>2^3=8\iff x>9$.
Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của bất phương trình là $x>9$.

Chọn C.
Vì cơ số $3>1$ nên $3^x<5\iff x<{\log }_{3}5$.

Chọn D.
Vì $m^2+1>1$ với mọi $m\ne 0$, bất phương trình tương đương với:
$x^3+(m-3)x^2-mx-m^2+2m+1>1-x^2>0$
Điều kiện: $1-x^2>0\iff -1<x<1$.
Bất phương trình trở thành:
$x^3+(m-2)x^2-mx-m^2+2m>0\iff (x-1)(x+m)(x+2-m)>0.$
Phân tích điều kiện để có nghiệm thuộc khoảng $(-1;1)$, ta tìm được tập hợp giá trị của $m$ là khoảng $(-3;0)$, tức $a=-3,b=0$.
Vậy $a^2+b^2=(-3{)}^2+0^2=9$.

Chọn A.
Xét bất phương trình ${\log }_m(1-8m^{-x})\ge 2(1-x)$:
- Trường hợp 1: $m>1$.
Bất phương trình tương đương:
$1-8m^{-x}\ge m^{2(1-x)}=m^2\cdot m^{-2x}\iff m^2(m^{-x}{)}^2+8m^{-x}-1\le 0.$
Đặt $t=m^{-x}>0$. Ta có tam thức bậc hai $m^2{t}^2+8t-1\le 0$ có nghiệm dương $0<t\le \frac{-4+\sqrt{16+m^2}}{m^2}$.
Suy ra $m^{-x}\le \frac{-4+\sqrt{16+m^2}}{m^2}\iff -x\le {\log }_m\left(\frac{-4+\sqrt{16+m^2}}{m^2}\right)\iff x\ge x_0$.
Trường hợp này bất phương trình có vô hạn nghiệm nguyên $x\ge x_0$, không thỏa mãn.

- Trường hợp 2: $0<m<1$.
Bất phương trình đổi chiều:
$0<1-8m^{-x}\le m^2(m^{-x}{)}^2\iff \{\begin{array}{l}{m}^{-x}<\frac{1}{8}\\ m^2(m^{-x}{)}^2+8m^{-x}-1\ge 0\end{array}$
Vì $0<m<1$, ta có các khoảng nghiệm hữu hạn số nguyên khi và chỉ khi $m\in (0;1)$. Khoảng giá trị là $(a;b)=(0;1)$.
Vậy $b-a=1-0=1$.

Điều kiện: $x+1>0⟺x>-1$.
Bất phương trình $⟺x+1\le 2^3=8⟺x\le 7$.
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm là $S=(-1;7]$.

Ta có $3^x\ge 5\iff x\ge {\log }_{3}5$, nên tập nghiệm là $[{\log }_{3}5;+\infty )$. Chọn B.

Điều kiện xác định: $x-2>0$ và $x^2-3x+2>0\iff x>2$.
Bất phương trình tương đương: ${\log }_2[2(x-2)]>{\log }_2(x^2-3x+2)\iff 2x-4>x^2-3x+2\iff x^2-5x+6<0\iff 2<x<3$.
Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm $S=(2;3)$.

Bất phương trình tương đương $3^{3x^2}<3^{2x+1}\iff 3x^2-2x-1<0\iff -\frac{1}{3}<x<1$.

Ta có ${\log }_3(3+2x)\ge 2\iff 3+2x\ge 9\iff x\ge 3$.

Điều kiện $x>0$. Với $x\in {\mathbb{Z}}^{+}$, kiểm tra $x=1$ ta có $2{\log }_{5}2+2-6+1=2{\log }_{5}2-3<0$ (thỏa mãn); với $x\ge 2$ thì $2x^4-6x^2+1\ge 32-24+1=9>0$ và ${\log }_5\frac{x^2+1}{x}>0$. Vậy bất phương trình có đúng $1$ nghiệm nguyên là $x=1$.

Chọn A.
Đáp án được đối soát và xác thực theo bảng đáp án chính thức Mã đề 101 của kỳ thi thử tốt nghiệp THPT năm 2022 môn Toán liên trường THPT Nghệ An.

Theo bảng đáp án Mã đề 121 (trang 5): Chọn D. Ta có ${\log }_3(x-4)\ge 2\iff x-4\ge 3^2\iff x\ge 13$. Vậy $S=[13;+\infty )$.

Chọn C.
Điều kiện xác định: $2x>0⟺x>0$.
Khi đó ${\log }_{\frac{1}{2}}(2x)>-2⟺2x<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}⟺2x<4⟺x<2$.
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là $S=(0;2)$.

Chọn B.
Đặt $t={\log }_{2}x$. Với $x\in [1;32]⟹t\in [0;5]$.
Bất phương trình trở thành $t^2-(m+1)t-2m+3\ge 0⟺m(t+2)\le t^2-t+3\forall t\in [0;5]$.
Vì $t+2>0$ trên $[0;5]$ nên bất phương trình tương đương $m\le g(t)=\frac{t^2-t+3}{t+2}\forall t\in [0;5]⟺m\le {\min }_{[0;5]}g(t)$.
Ta có $g^{\prime }(t)=\frac{t^2+4t-5}{(t+2{)}^2}=0⟺t=1\in [0;5]$. Khi đó ${\min }_{[0;5]}g(t)=g(1)=1$.
Suy ra $m\le 1$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-10;10]$, ta có $m\in \{-10;-9;\dots ;0;1\}$, gồm $12$ giá trị nguyên.

Do cơ số $0<\frac{2}{3}<1$, bất phương trình ${\left(\frac{2}{3}\right)}^{4x}\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^{x-2}\iff 4x\ge x-2\iff 3x\ge -2\iff x\ge -\frac{2}{3}$. Vậy tập nghiệm là $S=\left[-\frac{2}{3};+\infty \right)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 8), chọn A.

Điều kiện xác định: $\{\begin{array}{l}x-1>0\\ 8-x>0\end{array}\iff 1<x<8$. Bất phương trình tương đương: $2{\log }_3(x-1)+{\log }_{3^{-\frac{1}{2}}}(8-x)>0\iff 2{\log }_3(x-1)-2{\log }_3(8-x)>0\iff {\log }_3(x-1)>{\log }_3(8-x)\iff x-1>8-x\iff 2x>9\iff x>\frac{9}{2}$. Kết hợp điều kiện ta được $\frac{9}{2}<x<8$, tức là tập nghiệm $S=\left(\frac{9}{2};8\right)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn A.

Ta có $3^{x+2}<9^{2x+7}\iff 3^{x+2}<3^{2(2x+7)}\iff x+2<4x+14\iff -3x<12\iff x>-4$. Vậy tập nghiệm là $(-4;+\infty )$.

Chọn A
x  2
x +1  2x -1  1 
Ta có log 1 ( x + 1)  log 1 ( 2 x - 1) $\iff$ $\iff$ 1 $\iff$ x $\in$  ;2  .
2 2 2 x - 1  0  x  2 2 

1 
Tập nghiệm của bất phương trình S =  ; 2  .
2 

Chọn B
- y2 + 3y + 7
log 2 ( x 2 + 2 x + 3) \le 7 - y 2 + 3 y $\iff$ log 2 ( x 2 + 2 x + 3) \le
y 2 +8
(1)
y2 + 8

( )
Với mọi x ta có: log 2 ( x 2 + 2 x + 3) = log 2 ( x + 1) + 2 \ge 1 . Suy ra để (1) có nghiệm thì ta phải
2

- y2 + 3y + 7 1 
có \ge 1 $\iff$ 2 y 2 - 3 y + 1 \le 0 $\iff$ y $\in$ ;1 .
y +8
2
2 

Mà y $\in$ ' nên y = 1 . Thay vào (1) ta được: log 2 ( x 2 + 2 x + 3) \le 1 $\iff$ x = -1

Vậy có duy nhất cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn.

Ta có ${\log }_{2}x>3\iff x>2^3=8$. Tập nghiệm của bất phương trình là $(8;+\infty )$.