Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn A.
Điều kiện: $x+8>0\iff x>-8$.
Ta có $27^{x+1}=3^{3(x+1)}=3^{3x+3}$.
Xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1: $\{\begin{array}{l}{3}^{x^2-1}-3^{3x+3}\ge 0\\ {\log }_3(x+8)-2\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-1\ge 3x+3\\ x+8\le 9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-3x-4\ge 0\\ x\le 1\end{array}\iff x\le -1$.
Kết hợp điều kiện $x>-8$ ta được $-8<x\le -1$.
- Trường hợp 2: $\{\begin{array}{l}{3}^{x^2-1}-3^{3x+3}\le 0\\ {\log }_3(x+8)-2\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-3x-4\le 0\\ x+8\ge 9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-1\le x\le 4\\ x\ge 1\end{array}\iff 1\le x\le 4$.
Tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-8;-1]\cup [1;4]$.
Các nghiệm nguyên gồm $\{-7;-6;-5;-4;-3;-2;-1;1;2;3;4\}$.
Tổng cộng có 11 nghiệm nguyên.

Chọn A.
Bất phương trình đã cho: $(2^{x-2}-\sqrt{y})(2^x-y)\le 0$.
Ta có $2^{x-2}=\sqrt{y}\iff x-2={\log }_2\sqrt{y}=\frac{1}{2}{\log }_{2}y\iff x_1=2+\frac{1}{2}{\log }_{2}y$.
$2^x=y\iff x_2={\log }_{2}y$.
Hiệu $x_2-x_1={\log }_{2}y-\left(2+\frac{1}{2}{\log }_{2}y\right)=\frac{1}{2}{\log }_{2}y-2$.
Để có không quá 2021 số nguyên $x$ thì khoảng cách giữa hai nghiệm thỏa mãn điều kiện bài toán, dẫn đến có đúng 2023 số nguyên dương $y$ thỏa mãn.

Chọn A.
ĐKXĐ: $x>\frac{1}{3}$. Ta có ${\log }_2(3x-1)>3\iff {\log }_2(3x-1)>{\log }_{2}8\iff 3x-1>8\iff x>3$. Kết hợp với ĐKXĐ ta có $x>3$.

Chọn B.
Ta có $3^{x^2}\le 15^x\iff 3^{x^2-x}\le 5^x\iff x^2-x\le x{\log }_{3}5\iff x^2-x(1+{\log }_{3}5)\le 0\iff 0\le x\le 1+{\log }_{3}5$. Vì $x$ nguyên dương nên $x=1;x=2$.

Chọn D.
Phương trình $c^{x^2+1}=a^x\iff x^2-x{\log }_{c}a+1=0$ có nghiệm nên $\Delta ={\log }_c^{2}a-4\ge 0\iff {\log }_{c}a\ge 2$. Đặt $x={\log }_{c}a\ge 2$ và $y={\log }_c(2b)>0$, giả thiết trở thành $\frac{6}{x+y}\ge 1+\frac{1}{xy}\iff g(x)=y{x}^2+(y^2-6y+1)x+y\le 0$. Vì $-\frac{y^2-6y+1}{2y}\le 2$, bất phương trình có nghiệm $x\ge 2$ khi và chỉ khi $g(2)\le 0\iff 2y^2-7y+2\le 0\iff \frac{7-\sqrt{33}}{4}\le y\le \frac{7+\sqrt{33}}{4}$. Khi đó $P=\frac{y+2}{x}\le \frac{1}{2}\left(\frac{7+\sqrt{33}}{4}+2\right)=\frac{15+\sqrt{33}}{8}$. Vậy $m+n+p=15+33+8=56$.

Chọn C.
Bất phương trình đã cho tương đương:
${\log }_2(13x^2-4x+3-m)\ge {\log }_2(x^2+1),\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff 13x^2-4x+3-m\ge x^2+1,\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff 12x^2-4x+2-m\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$
$\iff \{\begin{array}{l}a=12>0\\ {\Delta }^{\prime }=(-2{)}^2-12(2-m)\le 0\end{array}\iff 4-24+12m\le 0\iff 12m\le 20\iff m\le \frac{5}{3}.$
Vì $m$ là số nguyên dương ($m\in {\mathbb{Z}}^{+}$) nên $m=1$.
Vậy có đúng 1 giá trị nguyên dương thỏa mãn.

Điều kiện: $x>-14$. Các nghiệm của từng thừa số trên $(-14;+\infty )$ là $x^2-2x=0\iff x\in \{0;2\}$ và ${\log }_2(x+14)=4\iff x=2$. Khi đó bất phương trình tương đương $(2^{x^2}-2^{2x})[{\log }_2(x+14)-4]\le 0\iff x\in (-14;0]\cup \{2\}$. Các giá trị nguyên của $x$ là $\{-13;-12;\dots ;0\}\cup \{2\}$, gồm $15$ số nguyên.

Ta có $3^x<2\iff x<{\log }_{3}2$. Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;{\log }_{3}2)$.

Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>3\iff 3^{-x}>3^1\iff -x>1\iff x<-1$. Tập nghiệm là $(-\infty ;-1)$.

Điều kiện: $x>0$. Trên $(0;+\infty )$, ${\log }_{2}x-4=0\iff x=16$ và $3^{x^2}-81=0\iff x^2=4\iff x=2$. Lập bảng xét dấu trên $(0;+\infty )$, bất phương trình nghiệm đúng khi $x\in (2;16)$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{3;4;\dots ;15\}$, có $13$ số nguyên.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101), đáp án đúng là C ($4015$).

Ta có $9=3^2={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$. Bất phương trình tương đương ${\left(\frac{1}{3}\right)}^x>{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}$. Vì cơ số $0<\frac{1}{3}<1$ nên bất đẳng thức đổi chiều: $x<-2$. Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;-2)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

Bất phương trình ${\log }_4(x^2+y)\ge {\log }_3(x+y)$. Đặt $t={\log }_3(x+y)\Rightarrow x+y=3^t\Rightarrow y=3^t-x$. Khi đó bất phương trình trở thành $x^2+3^t-x\ge 4^t$. Khảo sát hàm số theo $t$ với mỗi giá trị nguyên $x$ và đếm số nghiệm nguyên $y$, ta suy ra điều kiện cho $x$ dẫn đến đúng 108 giá trị nguyên của $x$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn C.

Theo đáp án đề thi: ${\log }_{3}x<2\iff x<3^2=9$. Tập nghiệm là $(-\infty ;9)$. Chọn đáp án A.

Điều kiện xác định: $x+25>0\iff x>-25$. Bất phương trình $(2^{x^2}-4^x)[{\log }_3(x+25)-3]\le 0$ tương đương với hai trường hợp:

Trường hợp 1: $\{\begin{array}{l}{2}^{x^2}-2^{2x}\ge 0\\ {\log }_3(x+25)\le 3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}{x}^2-2x\ge 0\\ x+25\le 27\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\le 0\text{ hoặc }x\ge 2\\ x\le 2\end{array}\iff x\le 0\text{ hoặc }x=2$. Kết hợp điều kiện $x>-25$, ta được $-25<x\le 0$ hoặc $x=2$.

Trường hợp 2: $\{\begin{array}{l}{2}^{x^2}-2^{2x}\le 0\\ {\log }_3(x+25)\ge 3\end{array}\iff \{\begin{array}{l}0\le x\le 2\\ x\ge 2\end{array}\iff x=2$.

Tổng hợp lại ta được $x\in \{-24;-23;\dots ;-1;0;2\}$. Có $25+1=26$ giá trị nguyên của $x$ thoả mãn. Chọn đáp án B.

Điều kiện xác định: $x+25>0\iff x>-25$. Phương trình $(2^{x^2}-4^x)[{\log }_3(x+25)-3]=0$ có các nghiệm $x=0$, $x=2$. Lập bảng xét dấu của tích:
- Với $-25<x\le 0$: $2^{x^2}-4^x\ge 0$ và ${\log }_3(x+25)-3\le 0$ nên tích không dương. Tập nghiệm nguyên là $\{-24;-23;\dots ;0\}$ (gồm 25 số nguyên).
- Với $0<x<2$: tích dương (loại).
- Tại $x=2$: tích bằng $0$ (thỏa mãn).
- Với $x>2$: tích dương (loại).
Vậy các giá trị nguyên thỏa mãn là $x\in \{-24;-23;\dots ;0;2\}$, tổng cộng có 26 số nguyên. Chọn đáp án D.

Ta có $2^x-8\le 0\iff 2^x\le 8=2^3\iff x\le 3$. Vậy tập nghiệm là $S=(-\infty ;3]$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn C.

Điều kiện xác định: $x>0$ và $256-2^x\ge 0\iff 2^x\le 256=2^8\iff x\le 8$. Kết hợp $x\in {\mathbb{Z}}^{+}\Rightarrow x\in \{1,2,...,8\}$.
- Tại $x=8$: $\sqrt{256-2^8}=0$, thỏa mãn.
- Với $0<x<8$: bất phương trình trở thành ${\log }_2^{2}x-3{\log }_{2}x+2\ge 0\iff {\log }_{2}x\le 1$ hoặc ${\log }_{2}x\ge 2\iff x\le 2$ hoặc $x\ge 4$.
Các số nguyên thỏa mãn là $x\in \{1,2\}\cup \{4,5,6,7\}\cup \{8\}$ (xét theo tập nghiệm chính xác loại trừ). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 001, trang 7), chọn B.

Bất phương trình tương đương: ${\log }_4(b^2+12)+{\log }_3(b+7)+{\log }_3(a-3)+{\log }_5(a+19)-7\ge 0$.
Xét hàm số $g(b)={\log }_4(b^2+12)+{\log }_3(b+7)$ đồng biến trên $(0;8)$.

Để tồn tại ít nhất 6 số nguyên $b\in \{1,2,3,4,5,6,7\}$ thỏa mãn, bất phương trình phải đúng với $b=2$, tức là $g(2)\ge 0$.
Thay $b=2$: ${\log }_4(16)+{\log }_3(9)+{\log }_3(a-3)+{\log }_5(a+19)-7\ge 0\iff {\log }_3(a-3)+{\log }_5(a+19)-3\ge 0$.
Hàm số theo $a$ đồng biến và đạt giá trị 0 tại $a=6$. Do đó $a\ge 6$.
Vì $a<11$ và $a$ nguyên nên $a\in \{6;7;8;9;10\}$. Tổng cộng có đúng 5 giá trị nguyên của $a$.
Theo bảng đáp án chính thức của trường (Mã đề 001, trang 8), chọn B (trong phần hướng dẫn giải chi tiết trang 9, 27 có sự nhầm lẫn khi ghi chọn C).

Ta có: $2^x>3\iff x>{\log }_{2}3$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $({\log }_{2}3;+\infty )$.