Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn A.

Điều kiện: $x^2+y^2>0$ và $x+2y>0$.
Biến đổi bất phương trình đưa về dạng hàm đặc trưng với $t=\frac{x^2+y^2}{x+2y}>0$:
${\log }_{2}t+t-6<0\iff t<4\iff x^2+y^2<4(x+2y)\iff (x-2{)}^2+(y-4{)}^2<20$.
Kiểm tra các giá trị $x\in \{-2,-1,0,1,2,3,4,5,6\}$ và tìm các giá trị nguyên $y$ tương ứng thỏa mãn điều kiện $x+2y>0$, ta đếm được chính xác 61 cặp số nguyên $(x;y)$.

Ta có $2^{x-2}\ge 2\iff x-2\ge 1\iff x\ge 3$.
Vậy tập nghiệm là $[3;+\infty )$.

Điều kiện: $x+4>0\iff x>-4$.
Bất phương trình tương đương: $x+4\le 3^3=27\iff x\le 23$.
Kết hợp điều kiện ta được $x\in (-4;23]$.

Ta có ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x+2}<3\iff 3^{-x-2}<3^1\iff -x-2<1\iff x>-3$. Vậy tập nghiệm là $(-3;+\infty )$.

Điều kiện: $x-3>0\iff x>3$. Khi đó $\log (x-3)<1\iff x-3<10\iff x<13$. Kết hợp điều kiện, tập nghiệm của bất phương trình là $(3;13)$.

Điều kiện: $x>1$.
Ta có ${\log }_2(x-1)<{\log }_5[5(x-1)]\iff {\log }_2(x-1)<1+{\log }_5(x-1)\iff {\log }_2(x-1)<1+{\log }_{5}2\cdot {\log }_2(x-1)$
$\iff (1-{\log }_{5}2){\log }_2(x-1)<1\iff {\log }_2(x-1)<\frac{1}{1-{\log }_{5}2}\iff 1<x<2^{\frac{1}{1-{\log }_{5}2}}+1$.
Vậy $a=1,b=2^{\frac{1}{1-{\log }_{5}2}}+1\Rightarrow b-a=2^{\frac{1}{1-{\log }_{5}2}}\approx 3,37$.

Điều kiện: $\frac{x^2+y^2}{x}>0\iff x>0$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\ge 1$.
Đặt $t=\frac{x^2+y^2}{x}\ge x\ge 1$. Bất phương trình trở thành:
$t+7-{\log }_{2}t-t^{{\log }_{2}3}>0$.
Xét hàm số $f(t)=t+7-{\log }_{2}t-t^{{\log }_{2}3}$ trên $[1;+\infty )$, có:
$f^{\prime }(t)=1-\frac{1}{t\ln 2}-{\log }_{2}3\cdot t^{{\log }_{2}3-1}<0,\forall t\ge 1$, nên $f(t)$ nghịch biến trên $[1;+\infty )$.
Mặt khác $f(4)=4+7-{\log }_{2}4-4^{{\log }_{2}3}=11-2-9=0$.
Do đó $f(t)>0\iff 1\le t<4\iff \frac{x^2+y^2}{x}<4\iff (x-2{)}^2+y^2<4$.
Vì $x,y\in \mathbb{Z}$:
- Với $x=1\Rightarrow y^2<3\Rightarrow y\in \{-1;0;1\}$ ($3$ cặp).
- Với $x=2\Rightarrow y^2<4\Rightarrow y\in \{-1;0;1\}$ ($3$ cặp).
- Với $x=3\Rightarrow y^2<3\Rightarrow y\in \{-1;0;1\}$ ($3$ cặp).
Vậy có tất cả $9$ cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.

Điều kiện xác định: $x-7>0\iff x>7$. Khi đó bất phương trình tương đương: ${\log }_{0,5}(x-7)>-2\iff x-7<0,5^{-2}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=4\iff x<11$. Kết hợp điều kiện ta được $7<x<11$. Vậy tập nghiệm là $S=(7;11)$.

**Chọn B**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Chọn C.

Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$.
Bất phương trình tương đương: $x-2<10^0=1\iff x<3$.
Kết hợp điều kiện, ta được tập nghiệm là $(2;3)$.

Chọn D.

Đặt $t=x^2-x+4=(x-1/2{)}^2+15/4>0$.
Bất phương trình trở thành:
${\log }_{3}t-3+2{\log }_5(t+1)\le 0\iff {\log }_3(t+1-1)\dots$
Hay đặt $u=x^2-x+4$. Nhận thấy với $t=2$, ${\log }_3(2+1)+2{\log }_5(2^2+1)-3=1+2-3=0$.
Hàm số $g(t)={\log }_3(t+1)+2{\log }_5(t^2+1)-3$ đồng biến với mọi $t>0$.
Do đó nghiệm thỏa mãn $t\le 2\iff x^2-x+4\le 2$ hoặc qua biến đổi hàm số chuẩn ta có $x^2-x\le 0\iff 0\le x\le 1$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{0,1\}$. Có đúng 2 số nguyên.

Chọn C.

Bất phương trình tương đương:
${\log }_2(x+y)-{\log }_2(x^2+y^2+2)\ge x^2+y^2-4(x+y)$
$\iff {\log }_2(4(x+y))+4(x+y)\ge {\log }_2(x^2+y^2+2)+(x^2+y^2+2)$.
Xét hàm số đại diện $f(t)={\log }_{2}t+t$ trên $(0;+\infty )$, hàm số luôn đồng biến.
Do đó bất phương trình tương đương:
$4(x+y)\ge x^2+y^2+2\iff (x-2{)}^2+(y-2{)}^2\le 6$.
Vì $x,y$ là các số nguyên dương ($x,y\in \{1,2,3,4\}$), thử các cặp ta nhận được đúng 15 cặp:
$(1;1),(1;2),(1;3),(1;4),(2;1),(2;2),(2;3),(2;4),(3;1),(3;2),(3;3),(3;4),(4;1),(4;2),(4;3)$.
Có tất cả 15 cặp số nguyên dương thỏa mãn.

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Phú Yên - Mã đề 132, trang 8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Điều kiện: $x-3>0\iff x>3$. Khi đó ${\log }_3(x-3)\le 2\iff x-3\le 3^2=9\iff x\le 12$. Kết hợp điều kiện ta được $3<x\le 12$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{4;5;6;7;8;9;10;11;12\}$, có 9 số nguyên.

Điều kiện: $x>3$. Khi đó ${\log }_2(x-3)\le 2\iff x-3\le 2^2=4\iff x\le 7$. Kết hợp điều kiện ta được $S=(3;7]$. Chọn B.

**Chọn B**

Ta có: log 3  3 x   27  y  y   log 27  log 3  3 x    0 ( Do x  1 ) nên bất phương trình sẽ có
nghiệm đúng với mọi y  0.
Xét bất phương trình: y log 2  x  3 y   8  x  y log 2  x  3 y   x  8 .
3y
Xét f  y   y.log 2  x  3 y   x  f   y   log 2  x  3 y    0 y  0
 x  3 y  ln 2
Nên f  y  đồng biến trên khoảng  0; 

Nên f  y   8 có nghiệm thì x  8 . Do x nguyên dương nên x  1;2;3;4;5;6;7 .
Vậy có 7 giá trị nguyên dương x thỏa mãn.

**Chọn C**

2
Điều kiện: x 
3

log(3 x  2)  1  3 x  2  10  x  4

Vậy: x  4 .

Chọn C
Ta có log x \ge 3 $\iff$ x \ge 1000 .
Tập nghiệm của bất phương trình log x \ge 3 là [1000; + $\infty$ ) .

Chọn D
1
Ta có: 2 x +3 \ge $\iff$ 2 x +3 \ge 2-3 $\iff$ x + 3 \ge -3 $\iff$ x \ge -6 $\Rightarrow$ x $\in$ [ -6; + $\infty$ ) . .
8