Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn C
Đặt t = 6 a , do a  0 $\Rightarrow$ t  0.
Bất phương trình trở thành: log 6 ( t 3 + t 2 )  log 3 t 2 $\iff$ log 6 ( t 3 + t 2 ) - log 3 t 2  0.

Xét hàm số: f ( t ) = log 6 ( t 3 + t 2 ) - log 3 t 2 , t  0.

3t 2 + 2t 2t
Khi đó, f ' ( t ) = 3 2 - 2  0, t  0.
( t + t ) ln 6 t ln 3
Suy ra hàm số f ( t ) luôn nghịch biến với mọi t  0
Suy ra t = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình f ( t ) = 0.
Yêu cầu bài toán
f ( t )  0 $\iff$ f ( t )  f ( 3) $\iff$ 0  t  3 (do hàm số f ( t ) luôn nghịch biến với mọi t  0 ).
Suy ra 6 a  3 $\iff$ a  36 . Vì a nguyên dương nên có 36 - 1 số nguyên dương a thỏa yêu cầu bài
toán.

Chọn B
log 5 ( 3 x 2 + xy + 36 y 2 ) + log 3 ( x 2 + 12 y 2 )  log 5 ( xy ) + log 3 ( x 2 + 16 xy + 12 y 2 ) + 1
3 x 2 + xy + 36 y 2 3 x 2 + 48 xy + 36 y 2
$\iff$ log 5  log 3
xy x 2 + 12 y 2
( )
( ( x 12 y ) ) ( 48 )
$\iff$ log 5 ( 3 ( + +
) ) 1  log 3 ( 3 + )
( (y x ) ) ( x y)
( + 12 )
( y x)

x 12 y ( 48 )
Đặt a = +  0 . Ta được log 5 (3a + 1) - log 3 ( 3 + )  0 .
y x ( a )

( 48 )
Xét f (a ) = log 5 (3a + 1) - log 3 ( 3 + ) , a $\in$ (0, +$\infty$).
( a )

48
3 a2
$\Rightarrow$ f $\mathbb{Z}$ (a) = +  0, a  0.
(3a + 1) ln 5 ( 48 )
( 3 + ) ln 3
( a )

$\Rightarrow$ f (a ) đồng biến trên (0 + $\infty$)

Mà f (8) = 0 $\Rightarrow$ f (a )  0 $\iff$ a  8 . Khi đó ta có

x y
+ 12  8 $\iff$ x 2 + 12 y 2  8 xy $\iff$ x 2 - 8 xy + 12 y 2  0 $\iff$ ( x - 2 y )( x - 6 y )  0 $\iff$ 2 y  x  6 y.
y x
Để mỗi giá trị của y có không quá 15 giá trị nguyên dương của x thì điều kiện là
(6 y - 1) - (2 y + 1) + 1 \le 15 $\iff$ y \le 4, y $\in$ N * $\Rightarrow$ 1 \le y \le 4.

Với y = 1 $\Rightarrow$ x $\in$ ( 2;6 ) $\Rightarrow$ có 3 cặp ( x; y ) .

Với y = 2 $\Rightarrow$ x $\in$ ( 4;12 ) $\Rightarrow$ có 7 cặp ( x; y ) .

Với y = 3 $\Rightarrow$ x $\in$ ( 6;18 ) $\Rightarrow$ có 11 cặp ( x; y ) .

Với y = 4 $\Rightarrow$ x $\in$ ( 8; 24 ) $\Rightarrow$ có 15 cặp ( x; y ) .

Vậy có 36 cặp ( x; y ) thỏa yêu cầu bài toán.

**Chọn A**

2
2 4
Ta có log 2 x  2  0  x     0  x  .
3 3 9

 4
Tập nghiệm của bất phương trình log 2 x  2 là  0;  .
3  9

**Chọn B**

x1
Ta có 3  9  3x1  32  x 1  2  x  3.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình S  3;  .
x

**Chọn D**

Điều kiện: x  0 .
3t  5
Đặt t  log 3  2 x  5   2 x  5  3t  x  .
2
3t  5
Khi đó log 2 x  1  log 2  1  log 2  3t  5  .
2
t t
2 1
Bất phương trình đã cho thành t  log 2  3t  5   2t  3t  5     5    1 (*) .
3 3
t t
2 1
Đặt f  t      5   . Khi đó (*)  f  t   f  2  .
3 3

t t
2 2 1 1
Ta có f   t     ln  5   ln  0, t .
3 3 3 3
Do đó hàm số f  t  nghịch biến.

Từ đó suy ra t  2  log 3  2 x  5   2  x  2 .

Vì số nguyên x trong khoảng  0; 2023 nên x  3; 4;....; 2022 .
Vậy có 2020 số thỏa đề bài.


**Chọn C**

Điều kiện x  0.

    
log 5 x 2  y 2  x  log 3 x 2  y 2  log 5 x  log 3 x 2  y 2  8 x 
 x2  y 2  x   x2  y 2  8x   x2  y 2   8x 
 log 5    log 3   log 5  1  log 3 1  2 2 
 0.
 x y  x y 
2 2
 x    x 

x2  y 2  8
Đặt t  ,  t  0  . ta được bất phương trình log 5  t  1  log 3 1    0.
x  t
Xét hàm số
 8 1 8
f  t   log 5  t  1  log 3 1   ,  t  0   f   t     0,  t  0  .
 t  t  1 ln 5 t 2 1  8  ln 3
 
 t

Ta có f  4   0  t  4 hay x 2  y 2  4 x   x  2   y 2  22.
2

 x  0  x  0 x  0
Ta có      0  x  4.
 x  2   2  x  2   2
2 2
0  x  4
2 2

Với x  1  y  1, y  0, y  1 nên có 3 cặp  x; y  nguyên.

Với x  2  y  2, y  1, y  0, y  1, y  2. nên có 5 cặp  x; y  nguyên.

Với x  3  y  1, y  0, y  1 nên có 3 cặp.  x; y  nguyên.

Với x  4  y  0 nên có 1 cặp  x; y  nguyên.

Vậy có 12 cặp giá trị nguyên  x; y  .

Ta có $3^{x-1}\ge 9\iff 3^{x-1}\ge 3^2\iff x-1\ge 2\iff x\ge 3$. Vậy tập nghiệm là $[3;+\infty )$.

Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$.
Ta có: ${\log }_2(x-2)>2\iff x-2>2^2\iff x-2>4\iff x>6$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(6;+\infty )$.

Ta có ${\log }_2(x-1)>3\iff x-1>2^3=8\iff x>9$. Vậy tập nghiệm là $(9;+\infty )$.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 1101, trang 5), Câu 4 chọn A.

Điều kiện: $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$.
Ta có: ${\log }_3(2x-1)\le 2\iff 2x-1\le 3^2=9\iff 2x\le 10\iff x\le 5$.
Kết hợp điều kiện suy ra $\frac{1}{2}<x\le 5$. Vậy $S=\left(\frac{1}{2};5\right]$.

Điều kiện xác định: $1-2x>0\iff x<\frac{1}{2}$. Bất phương trình đã cho tương đương với: $1-2x\ge 3\iff -2x\ge 2\iff x\le -1$. Kết hợp với điều kiện xác định $x<\frac{1}{2}$, tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty ;-1]$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 5 chọn đáp án C.

Điều kiện xác định: $x+1>0\iff x>-1$.
Bất phương trình tương đương với:
$x+1\ge 4^2=16\iff x\ge 15$.
Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $[15;+\infty )$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 21), Câu 3 chọn đáp án D.

Vì cơ số $0<0,5<1$ nên bất phương trình đổi chiều:
${\log }_{0,5}x>3⟺0<x<(0,5{)}^3⟺0<x<0,125$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(0;0,125)$.

Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$. Khi đó ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)>-3\iff x-1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3}=8\iff x<9$. Kết hợp điều kiện ta được tập nghiệm $S=(1;9)$.

${\log }_{\frac{1}{2}}(x-2)>-5\iff 0<x-2<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-5}=32\iff 2<x<34$. Chọn A.

Bất phương trình tương đương $\{\begin{array}{l}-x+5>0\\ 2x-1\ge -x+5\end{array}\iff 2\le x<5$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{2;3;4\}$, có $3$ nghiệm nguyên. Chọn A.

Bất phương trình $\log (x-2)>0\iff x-2>10^0=1\iff x>3$. Vậy tập nghiệm là $(3;+\infty )$.
Chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1001, trang 5), Câu 12 chọn đáp án C.

Ta có $0,5^x\le 4\iff {\left(\frac{1}{2}\right)}^x\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}$.
Vì cơ số $0<\frac{1}{2}<1$ nên bất phương trình tương đương $x\ge -2$.
Vậy tập nghiệm là $[-2;+\infty )$.

Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$.
Vì cơ số $\frac{1}{2}\in (0;1)$ nên ${\log }_{\frac{1}{2}}(x-1)\ge -2\iff 0<x-1\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}=4\iff 1<x\le 5$.
Vậy tập nghiệm là $S=(1;5]$.

Điều kiện: $x>0$. Ta có ${\log }_2(3x)\ge 3\iff 3x\ge 2^3=8\iff x\ge \frac{8}{3}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[\frac{8}{3};+\infty \right)$. Chọn D.