Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Đặt $t=2^x>0$. Bất phương trình trở thành $t^2-(m+1)t+m\le 0\iff (t-1)(t-m)\le 0$. Để bất phương trình có tập nghiệm là đoạn thì $m>1$, khi đó $1\le 2^x\le m\iff 0\le x\le {\log }_{2}m$. Độ dài đoạn nghiệm là ${\log }_{2}m$. Yêu cầu bài toán ${\log }_{2}m>2\iff m>4$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ và $m\in [-20;20]$ nên $m\in \{5,6,\dots ,20\}$, có $20-5+1=16$ giá trị nguyên. Chọn D.

Ta có: ${\log }_{\frac{1}{3}}(x+10)<{\log }_{\frac{1}{3}}(4x-9)\iff \{\begin{array}{l}x+10>4x-9\\ 4x-9>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x<\frac{19}{3}\\ x>\frac{9}{4}\end{array}\iff \frac{9}{4}<x<\frac{19}{3}$.

Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{3;4;5;6\}$. Vậy bất phương trình có $4$ nghiệm nguyên.

Ta có cơ số $0<a=\frac{1}{3}<1$.

Nên bất phương trình đã cho tương đương $2x-1\le {\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{27}\iff 2x-1\le 3\iff 2x\le 4\iff x\le 2$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty ;2]$.

Điều kiện: $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast },x,y\le 2023$ và $\frac{2x-1}{x-4}>0,\frac{2y}{y+2}>0\iff x>4,y>0$ (do $x,y\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).

Bất phương trình tương đương với:

$(x-4)(y-2){\log }_2\left(\frac{x+3}{x-4}+1\right)+(x+3)(y+2){\log }_3\left(\frac{y-2}{y+2}+1\right)\le 0$ $(\ast )$.

- Với $y=1$: $(\ast )$ trở thành $-(x-4){\log }_2\left(\frac{x+3}{x-4}+1\right)+3(x+3){\log }_3\frac{2}{3}\le 0$, luôn đúng với mọi $x\in \{5;6;\dots ;2023\}$ ($2019$ cặp).
- Với $y=2$: $(\ast )$ trở thành $0\le 0$, luôn đúng với mọi $x\in \{5;6;\dots ;2023\}$ ($2019$ cặp).
- Với $y>2,x>4$: vế trái của $(\ast )$ dương nên $(\ast )$ vô nghiệm.

Vậy có tất cả $2019+2019=4038$ cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn B**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Điều kiện xác định:
$\{\begin{array}{l}x-1>0\\ 14-2x>0\end{array}\iff 1<x<7$.

Với điều kiện trên, bất phương trình tương đương:
$-{\log }_4(x-1)+{\log }_4(14-2x)\ge 0\iff {\log }_4(14-2x)\ge {\log }_4(x-1)$
$\iff 14-2x\ge x-1\iff 3x\le 15\iff x\le 5$.

Kết hợp với điều kiện $1<x<7$, ta được $1<x\le 5$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{2;3;4;5\}$.
Vậy bất phương trình có $4$ nghiệm nguyên.

Điều kiện xác định:
$\{\begin{array}{l}9x>0\\ 2\ln 30-\ln (9x)\ge 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>0\\ \ln (9x)\le \ln 900\end{array}\iff 0<x\le 100$.

Trường hợp 1: Nếu $2\ln 30-\ln (9x)=0\iff x=100$, bất phương trình nghiệm đúng với mọi thừa số còn lại. Do đó $x=100$ là một nghiệm.

Trường hợp 2: Với $x\in (0;100)$, ta có $\sqrt{2\ln 30-\ln (9x)}>0$, bất phương trình trở thành:
$9^x-10\cdot 3^{x+2}+729\ge 0\iff (3^x{)}^2-90\cdot 3^x+729\ge 0$.
Tam thức bậc hai theo $3^x$ có hai nghiệm là $9$ và $81$, suy ra:
$[\begin{array}{rl}& 3^x\le 9\\ & 3^x\ge 81\end{array}\iff [\begin{array}{rl}& x\le 2\\ & x\ge 4\end{array}$.
Kết hợp với $0<x<100$, ta được $x\in (0;2]\cup [4;100)$.

Tổng hợp cả hai trường hợp, tập nghiệm của bất phương trình là $S=(0;2]\cup [4;100]$.
Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{1;2\}\cup \{4;5;\dots ;100\}$.
Số lượng số nguyên $x$ thỏa mãn là: $2+(100-4+1)=2+97=99$.

**Chọn B**
x −1
 1 x −1
x −1
( )
x −1
x +3
Ta có 5 3
< 5 ⇔  53  < 5 x +3 ⇔ 5 3 < 5 x +3 ⇔ < x + 3 ⇔ x − 1 < 3x + 9
  3
⇔ 2 x > −10 ⇔ x > −5.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là ( −5; +∞ ) .

**Chọn C**
log 2 ( x 2 − x − 2 ) ≥ log 0,5 ( x − 1) + 1
x > 1
x −1 > 0 
Điều kiện:  2 ⇔   x < −1 ⇔ x > 2
x − x − 2 > 0  x > 2

( ) ( )
Ta có: log 2 x 2 − x − 2 ≥ log 0,5 ( x − 1) + 1 ⇔ log 2 x 2 − x − 2 ≥ − log 2 ( x − 1) + 1

⇔ log 2 ( x 2 − x − 2 ) ( x − 1) ≥ 1 ⇔ ( x 2 − x − 2 ) ( x − 1) ≥ 2 ⇔ x3 − 2 x 2 − x ≥ 0

⇔ x ∈ 1 − 2;0  ∪ 1 + 2; +∞ )
So với điều kiện ⇒ x ∈ 1 + 2; +∞ )
Vậy có 2021 nghiệm nguyên x thỏa yêu cầu bài toán.

**Chọn D**
60 x 2 + 120 x + 10m − 10 > 0
Điều kiện:  .
 x > −1
log ( 60 x 2 + 120 x + 10m − 10 ) − 3log ( x + 1) > 1

⇔ 1 + log ( 6 x 2 + 12 x + m − 1) > log ( x + 1) + 1
3

⇔ 6 x 2 + 12 x + m − 1 > ( x + 1) ( ∗) .
3

Từ ( ∗) ⇒ điều kiện: x > −1 .
( ∗) ⇔ x 3 − 3 x 2 − 9 x < m − 2 .
Xét f ( x ) =x 3 − 3 x 2 − 9 x với x > −1 .
f ′ ( x ) = 3x 2 − 6 x − 9 .
x = 3
f ′ ( x )= 0 ⇔  .
 x = −1

Để miền nghiệm chứa 4 giá trị nguyên của biến x thì −11 < m − 2 ≤ 0 ⇔ −9 < m ≤ 2 .
Vì m ∈  nên có 11 giá trị của tham số m thoả mãn yêu cầu bài.

Ta có $3^x\ge 9\iff 3^x\ge 3^2\iff x\ge 2$. Vậy tập nghiệm là $[2;+\infty )$.

Ta có ${\log }_2(3x-1)<3\iff 0<3x-1<2^3=8\iff \frac{1}{3}<x<3$. Vậy tập nghiệm là $\left(\frac{1}{3};3\right)$.

Điều kiện $x^2-4>0\iff |x|>2$. Đặt $t={\log }_2\frac{x^2-4}{125}$, bất phương trình tương đương:
${\log }_2(x^2-4)-3{\log }_{2}5\le \frac{{\log }_2(x^2-4)-3}{{\log }_{2}5}\iff ({\log }_{2}5-1){\log }_2(x^2-4)\le 3({\log }_2^{2}5-1)\iff {\log }_2(x^2-4)\le 3({\log }_{2}5+1)={\log }_{2}1000$.
Suy ra $x^2-4\le 1000\iff x^2\le 1004\iff -\sqrt{1004}\le x\le \sqrt{1004}$ ($\sqrt{1004}\approx 31,68$).
Kết hợp $|x|>2$ và $x\in \mathbb{Z}$, ta có $x\in \{\pm 3;\pm 4;\dots ;\pm 31\}$, gồm $2\cdot 29=58$ số nguyên.

Đặt $t={\log }_{2}a\in \mathbb{R}$. Bất phương trình trở thành $t^2-2(x-1)t+25-y^2\ge 0,\forall t\in \mathbb{R}\iff {\Delta }^{\prime }=(x-1{)}^2+y^2-25\le 0\iff (x-1{)}^2+y^2\le 25$ (hình tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=5$).
Ta có $F=(x-1{)}^2+(y-6{)}^2+1$. Với $M(x;y)$ thuộc hình tròn $(I;5)$ và $I_1(1;6)$ ($I{I}_1=6$), ta có:
$I{I}_1-R\le I_{1}M\le I{I}_1+R\iff 1\le \sqrt{F-1}\le 11\iff 2\le F\le 122$.
Vậy $F$ nhận tối đa $122-2+1=121$ giá trị nguyên.

Chọn A.

Điều kiện: $x-2>0\iff x>2$.
Bất phương trình ${\log }_2(x-2)<2\iff 0<x-2<2^2=4\iff 2<x<6$.
Tập nghiệm là $(2;6)$.

Chọn B.

Ta có $243=3^5$. Bất phương trình $3^{x-2}\le 3^5\iff x-2\le 5\iff x\le 7$.

Chọn D.

Điều kiện: $x+14>0\iff x>-14$.
Xét ${\log }_{2023}(x^2+2)-{\log }_{2023}(x+14)=0\iff x^2-x-12=0\iff x=-3$ hoặc $x=4$.
Xét $729-3^{x-1}=0\iff 3^{x-1}=3^6\iff x=7$.
Lập trục xét dấu vế trái trên khoảng $(-14;+\infty )$:
Bất phương trình nghiệm đúng khi $x\in (-14;-3]\cup [4;7]$.
Các số nguyên thỏa mãn là:
$x\in \{-13,-12,-11,-10,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3\}$ (11 giá trị) và $x\in \{4,5,6,7\}$ (4 giá trị).
Tổng cộng có $11+4=15$ số nguyên.