Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $0<0,3<1$ nên hàm số $y=0,3^x$ nghịch biến. Do đó $0,3^x\ge 0,3^4\iff x\le 4$. Vậy $S=(-\infty ;4]$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-7>0\Rightarrow x>7$. Vì cơ số $0,5<1$ nên hàm log nghịch biến: ${\log }_{0,5}(x-7)>-3\iff x-7<(0,5{)}^{-3}=8\iff x<15$. Kết hợp điều kiện: $7<x<15$, tập nghiệm $(7;15)$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $x>0$. Vì hàm ${\log }_2$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ nên ${\log }_{2}x\ge 3\iff x\ge 2^3=8$. Kết hợp với điều kiện $x>0$, tập nghiệm là $[8;+\infty )$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $2>1$, hàm số $2^x$ đồng biến nên $2^x<5\iff x<{\log }_{2}5$. Vậy tập nghiệm là $\left(-\infty ;{\log }_{2}5\right)$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-3>0\Rightarrow x>3$. Vì cơ số $\frac{1}{4}\in (0;1)$ nên hàm logarit nghịch biến, do đó ${\log }_{\frac{1}{4}}(x-3)\ge {\log }_{\frac{1}{4}}4\iff x-3\le 4\iff x\le 7$. Vậy $3<x\le 7$, các nghiệm nguyên là $x\in \{4;5;6;7\}$: có 4 nghiệm nguyên. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x-2>0$ và $x^2-3x+2>0$, tức $x>2$. Khi đó $1+{\log }_2(x-2)={\log }_2(2x-4)$, nên bất phương trình tương đương $2x-4>x^2-3x+2$, tức $x^2-5x+6<0\iff 2<x<3$. Vậy $S=(2;3)$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{0,3}(2x+1)\le {\log }_{0,3}(3x)$. Điều kiện: $2x+1>0$ và $3x>0$, tức $x>0$. Vì cơ số $0<0,3<1$ nên hàm log nghịch biến, do đó $2x+1\ge 3x\iff x\le 1$. Kết hợp điều kiện: $S=(0;1]$. Khớp với đáp án D trong bảng mã đề 1103.

(AI giải đề cho tôi)
Cần $S(n)>0,95=\frac{19}{20}$. Ta có $\frac{1}{1+2020\cdot 10^{-0,01n}}>\frac{19}{20}\iff 1+2020\cdot 10^{-0,01n}<\frac{20}{19}\iff 2020\cdot 10^{-0,01n}<\frac{1}{19}\iff 10^{-0,01n}<\frac{1}{38380}$. Lấy logarit: $-0,01n<\log \frac{1}{38380}=-\log 38380\iff n>100\log 38380\approx 100\cdot 4,5841=458,41$. Vậy $n$ nguyên nhỏ nhất thỏa mãn là $n=459$, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $x+1>0$ và $2x-1>0$, tức $x>\frac{1}{2}$. Vì cơ số $\frac{3}{4}\in (0;1)$ nên hàm log nghịch biến, do đó bất phương trình ${\log }_{\frac{3}{4}}(x+1)<{\log }_{\frac{3}{4}}(2x-1)$ tương đương $x+1>2x-1$, tức $x<2$. Kết hợp điều kiện: $\frac{1}{2}<x<2$, vậy $S=\left(\frac{1}{2};2\right)$, trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1145, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Điều kiện: $2x-2>0\iff x>1$. Bất phương trình ${\log }_2(2x-2)\le 3\iff 2x-2\le 2^3=8\iff x\le 5$. Kết hợp điều kiện: $1<x\le 5$, tập nghiệm $S=(1;5]$.

b) Điều kiện: $2x+1>0\iff x>-\frac{1}{2}$. Vì cơ số $\frac{1}{3}<1$, bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{3}}(2x+1)>-2\iff 2x+1<{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=9\iff x<4$. Kết hợp điều kiện: $-\frac{1}{2}<x<4$, tập nghiệm $S=\left(-\frac{1}{2};4\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{-3x^2}=5^{3x^2}$. Bất phương trình trở thành $5^{3x^2}<5^{5x+2}$, vì cơ số $5>1$ nên $3x^2<5x+2$, tức $3x^2-5x-2<0$. Phân tích: $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, nên $-\frac{1}{3}<x<2$. Các nghiệm nguyên là $x=0$ và $x=1$, tổng cộng 2 nghiệm. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $a^2>a^3$, vì $a>0$ nên chia hai vế cho $a^2$ được $1>a$, tức $0<a<1$. Xét ${\log }_b\frac{1}{3}<{\log }_b\frac{1}{4}$: do $\frac{1}{3}>\frac{1}{4}$ mà logarit với cơ số $b$ cho giá trị tại $\frac{1}{3}$ nhỏ hơn tại $\frac{1}{4}$, hàm ${\log }_{b}x$ nghịch biến, suy ra $0<b<1$. Vậy $0<a<1$ và $0<b<1$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+1>0\iff x>-1$. Bất phương trình ${\log }_2(x+1)<3\iff x+1<8\iff x<7$. Kết hợp điều kiện: $-1<x<7$, tức $S=(-1;7)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $5>1$, hàm số $5^x$ đồng biến nên $5^x\le 19\iff x\le {\log }_{5}19$. Vậy $S=(-\infty ;{\log }_{5}19]$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $\frac{4}{5}\in (0;1)$ nên hàm số $y={\left(\frac{4}{5}\right)}^x$ nghịch biến. Do đó ${\left(\frac{4}{5}\right)}^x\ge 258\iff x\le {\log }_{\frac{4}{5}}258$. Vậy $S=\left(-\infty ;{\log }_{\frac{4}{5}}258\right]$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $e^x$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, bất phương trình $e^x\ge 2$ tương đương với $x\ge \ln 2$. Vậy tập nghiệm là $S=[\ln 2;+\infty )$, tương ứng với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x>0$. Vì cơ số $4>1$, bất phương trình ${\log }_{4}x>-4$ tương đương $x>4^{-4}=\frac{1}{256}$. Vậy $S=\left(\frac{1}{256};+\infty \right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $6x+3>0$ và $x+4>0$, tức $x>-\frac{1}{2}$. Với cơ số $5>1$, bất phương trình tương đương $6x+3>x+4\iff 5x>1\iff x>\frac{1}{5}$. Kết hợp điều kiện $x>-\frac{1}{2}$ ta được $S=\left(\frac{1}{5};+\infty \right)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Giải từng bất phương trình của Câu 84:

a) $12^{-2x^2+7x+5}\ge 12^{5-3x}$. Vì cơ số $12>1$, so sánh số mũ: $-2x^2+7x+5\ge 5-3x\iff -2x^2+10x\ge 0\iff 2x^2-10x\le 0\iff 2x(x-5)\le 0$. Vậy $0\le x\le 5$, tức $x\in [0;5]$.

b) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{x-1}<\frac{4}{3}={\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}$. Vì $0<\frac{3}{4}<1$, bất đẳng thức đảo chiều: $x-1>-1\iff x>0$. Vậy $x\in (0;+\infty )$.

c) $3\cdot 4^{2x}+5\cdot 16^x>64$. Vì $4^{2x}=16^x$: $8\cdot 16^x>64\iff 16^x>8\iff 2^{4x}>2^3\iff 4x>3\iff x>\frac{3}{4}$. Vậy $x\in \left(\frac{3}{4};+\infty \right)$.

d) $\ln (x^2+1)\le \ln (2x^2-4x+2)$. Điều kiện: $2x^2-4x+2=2(x-1{)}^2>0\iff x\ne 1$. Vì $\ln$ tăng: $x^2+1\le 2x^2-4x+2\iff x^2-4x+1\ge 0\iff x\le 2-\sqrt{3}$ hoặc $x\ge 2+\sqrt{3}$ (khoảng này không chứa $x=1$). Vậy $x\in (-\infty ;2-\sqrt{3}]\cup [2+\sqrt{3};+\infty )$.

e) $3\cdot 4^x-2\cdot 6^x>9^x$. Chia hai vế cho $6^x>0$: $3{\left(\frac{2}{3}\right)}^x-2>{\left(\frac{3}{2}\right)}^x$. Đặt $t={\left(\frac{2}{3}\right)}^x>0$, khi đó ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x=\frac{1}{t}$: $3t-2>\frac{1}{t}\iff 3t^2-2t-1>0\iff (3t+1)(t-1)>0\iff t>1$. Suy ra ${\left(\frac{2}{3}\right)}^x>1\iff x<0$. Vậy $x\in (-\infty ;0)$.

f) $3^x+9\cdot 3^{-x}-10<0$. Đặt $t=3^x>0$: $t+\frac{9}{t}-10<0\iff t^2-10t+9<0\iff (t-1)(t-9)<0\iff 1<t<9$. Suy ra $1<3^x<9=3^2\iff 0<x<2$. Vậy $x\in (0;2)$.

g) $3^{x+1}-3^{x+2}>24\iff 3^x(3-9)>24\iff -6\cdot 3^x>24\iff 3^x<-4$, vô nghiệm vì $3^x>0$. Vậy bất phương trình vô nghiệm ($S=\varnothing$).

h) ${\log }_2^{2}x-5{\log }_{2}x+4\ge 0$. Điều kiện $x>0$. Đặt $t={\log }_{2}x$: $t^2-5t+4\ge 0\iff (t-1)(t-4)\ge 0\iff t\le 1$ hoặc $t\ge 4$. Suy ra ${\log }_{2}x\le 1\iff 0<x\le 1$; ${\log }_{2}x\ge 4\iff x\ge 16$. Vậy $x\in (0;1]\cup [16;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $5^{x-1}<25^x=5^{2x}$. Vì cơ số $5>1$ nên so sánh số mũ: $x-1<2x\iff -1<x$. Vậy tập nghiệm là $(-1;+\infty )$.