Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4-x>0\iff x<4$. Vì cơ số $0<0,2<1$ nên hàm log nghịch biến: ${\log }_{0,2}(4-x)<-1\iff 4-x>(0,2{)}^{-1}=5\iff x<-1$. Kết hợp điều kiện, tập nghiệm là $(-\infty ;-1)$, có dạng $(-\infty ;a)$ với $a=-1$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $2>1$, hàm $2^x$ đồng biến nên $2^x\le 3⟺x\le {\log }_{2}3$. Vậy $S=(-\infty ;{\log }_{2}3]$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $1-x>0$ và $2x+3>0$, tức $-\frac{3}{2}<x<1$. Vì cơ số $\frac{1}{3}\in (0;1)$ nên hàm logarit nghịch biến, do đó ${\log }_{\frac{1}{3}}(1-x)>{\log }_{\frac{1}{3}}(2x+3)⟺1-x<2x+3⟺-3x<2⟺x>-\frac{2}{3}$. Kết hợp với điều kiện $-\frac{3}{2}<x<1$ ta được $S=\left(-\frac{2}{3};1\right)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: x−40>0 và 60−x>0 nên D=(40;60), do đó b−a=60−40=20 → a) đúng. Bất phương trình: log[(x−40)(60−x)]<2 ⟺ (x−40)(60−x)<100 ⟺ −x²+100x−2400<100 ⟺ x²−100x+2500>0 ⟺ (x−50)²>0 ⟺ x≠50. Kết hợp điều kiện: S=(40;50)∪(50;60). Vì cả hai logarit cùng xác định trên (40;60), bất phương trình tương đương log[(x−40)(60−x)]<2 → c) đúng. Số nguyên dương trong (40;60) khác 50: 41→59 trừ 50, tức 19 số → b) đúng. Số tự nhiên chẵn trong tập nghiệm: 42,44,46,48,52,54,56,58 → 8 số → d) đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
D=(40;60) nên b−a=20.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm nguyên dương: 41..59 trừ 50 → 19 số.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên miền xác định (40;60) cả hai logarit đều xác định nên tương đương.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số chẵn trong (40;60), x≠50: 42,44,46,48,52,54,56,58 → 8 số.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, $y={\log }_{4}x\le -1$ khi $0<x\le 4^{-1}=\frac{1}{4}$, nên $a=\frac{1}{4}$. Khi đó $S=a^2+a+1=\frac{1}{16}+\frac{1}{4}+1=\frac{21}{16}=1,3125\approx 1,31$.

ĐK: $x>\frac{3}{4}$ (0,25 đ)
$(\ast )\Rightarrow {\log }_3(4x-3{)}^2-{\log }_3(2x+3)\le 2$ $\Rightarrow {\log }_3\frac{(4x-3{)}^2}{2x+3}\le 2$ $\Rightarrow 16x^2-42x-18\le 0\iff x\in \left[-\frac{3}{8};3\right]$ (0,5 đ)
So sánh đk $x\in \left(\frac{3}{4};3\right]$ (0,25 đ)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{a}x>b$ với điều kiện $x>0$. Vì $0<a<1$ nên hàm số ${\log }_a$ nghịch biến, do đó lấy lũy thừa cơ số $a$ hai vế (đảo chiều bất đẳng thức): $x<a^b$. Kết hợp điều kiện $x>0$ ta được $0<x<a^b$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $7>1$, bất phương trình $7^{2x}<7^{x+1}$ tương đương $2x<x+1$, suy ra $x<1$. Vậy $S=(-\infty ;1)$, khớp với đáp án C (mã đề 112).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x+2>0$ và $6-3x>0$ tức $-2<x<2$. Vì cơ số $0,5<1$ nên hàm ${\log }_{0,5}$ nghịch biến, bất phương trình tương đương $x+2\le 6-3x\iff 4x\le 4\iff x\le 1$. Kết hợp điều kiện: $-2<x\le 1$. Các nghiệm nguyên: $x\in \{-1,0,1\}$, có 3 nghiệm. Khớp đáp án nguồn D (bảng đáp án mã đề 111, Câu 11: D).

ĐK: $x>\frac{3}{4}$ (0,25 đ)
$(\ast )\Rightarrow {\log }_3(4x-3{)}^2-{\log }_3(2x+3)\le 2$ $\Rightarrow {\log }_3\frac{(4x-3{)}^2}{2x+3}\le 2$ $\Rightarrow 16x^2-42x-18\le 0\iff x\in \left[-\frac{3}{8};3\right]$ (0,5 đ)
So sánh đk $x\in \left(\frac{3}{4};3\right]$ (0,25 đ)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_2(x-1)<3$ có điều kiện $x-1>0\iff x>1$. Với cơ số $2>1$, ta có $x-1<2^3=8\iff x<9$. Kết hợp điều kiện: $1<x<9$, tức $S=(1;9)$. Khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (Câu 5, Mã đề 111: A).

$(1)\iff 25^x+15^x-2.9^x\le 4.3^x\left(5^x-3^x\right)\iff 25^x-3.15^x+2.9^x\le 0$

Chia cả 2 vế của bất phương trình cho $9^x$, ta được:
$${\left(\frac{5}{3}\right)}^{2x}-3.{\left(\frac{5}{3}\right)}^x+2\le 0\iff \left({\left(\frac{5}{3}\right)}^x-1\right)\left({\left(\frac{5}{3}\right)}^x-2\right)\le 0$$

$$\iff \{\begin{array}{l}{\left(\frac{5}{3}\right)}^x\ge 1\\ {\left(\frac{5}{3}\right)}^x\le 2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x\ge 0\\ x\le {\log }_{\frac{5}{3}}2\end{array}$$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[0;{\log }_{\frac{5}{3}}2\right]$.

(Thang điểm: 0.5 | 0.3 | 0.2)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{\frac{2}{3}}x>2$ có điều kiện $x>0$. Vì cơ số $0<\frac{2}{3}<1$ nên hàm logarit nghịch biến, do đó ${\log }_{\frac{2}{3}}x>2\iff x<{\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$. Kết hợp điều kiện $x>0$ ta được tập nghiệm $\left(0;\frac{4}{9}\right)$. Khớp với đáp án B (theo bảng đáp án mã đề 1001, câu 9 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $5>1$, hàm số $5^x$ đồng biến nên $5^x<25=5^2\iff x<2$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_2(x-7)>4$ có điều kiện $x-7>0\iff x>7$. Vì cơ số $2>1$, bất phương trình tương đương $x-7>2^4=16\iff x>23$. Vậy tập nghiệm $S=(23;+\infty )$, khớp với đáp án D (khóa đáp án mã đề 1101, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{4}}(2x-3)\ge {\log }_{\frac{1}{4}}2$ với cơ số $\frac{1}{4}\in (0;1)$ nên hàm log nghịch biến. Điều kiện: $2x-3>0\iff x>\frac{3}{2}$. Khi đó bất phương trình tương đương $2x-3\le 2\iff x\le \frac{5}{2}$. Vậy tập nghiệm là $\frac{3}{2}<x\le \frac{5}{2}$, các nghiệm nguyên là $x=2$ (vì $x=3$ vượt quá $\frac{5}{2}$). Số nghiệm nguyên bằng 1, khớp đáp án A của đề (mã 1002, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x-3>0\iff x>\frac{3}{2}$. Vì cơ số $\frac{1}{3}\in (0;1)$ nên hàm log nghịch biến, do đó ${\log }_{\frac{1}{3}}(2x-3)>{\log }_{\frac{1}{3}}6\iff 2x-3<6\iff x<\frac{9}{2}$. Kết hợp: $\frac{3}{2}<x<\frac{9}{2}$, các nghiệm nguyên là $x\in \{2;3;4\}$ — có 3 nghiệm. Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo đề, giá trị ô tô sau $t$ năm là $P(t)=800\cdot (0,905{)}^t$ (triệu đồng). Yêu cầu $P(t)\le 300$:
$$800\cdot (0,905{)}^t\le 300\iff (0,905{)}^t\le 0,375.$$
Vì $0<0,905<1$, lấy logarit hai vế (hàm nghịch biến):
$$t\ge {\log }_{0,905}(0,375)=\frac{\ln 0,375}{\ln 0,905}\approx \frac{-0,9808}{-0,0998}\approx 9,83.$$
Vậy số nguyên năm nhỏ nhất là $t=10$. Kiểm tra: $P(9)=800\cdot (0,905{)}^9\approx 325,8>300$; $P(10)=800\cdot (0,905{)}^{10}\approx 294,9\le 300$, thỏa mãn. Kết quả khớp với đáp án chính thức mã đề 102, Phần III câu 4 = 10.

a) Tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{2+x}{{\log }_3(x-1)}$. Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x-1>0\\ {\log }_3(x-1)\ne 0\end{array}$ $\iff 0<x-1\ne 1\iff 1<x\ne 2$. Vậy tập xác định của hàm số là $D=(1;+\infty )\setminus \{2\}$.

b) Giải bất phương trình ${\log }_{\frac{2}{3}}(x+1)\le {\log }_{\frac{2}{3}}(4x-5)$. Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x+1>0\\ 4x-5>0\end{array}\iff x>\frac{5}{4}$. Bpt $\iff x+1\ge 4x-5\iff x\le 2$ $\Rightarrow$ Bất phương trình có nghiệm là $\frac{5}{4}<x\le 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3^{x-1}>81=3^4$. Vì cơ số $3>1$, so sánh số mũ: $x-1>4\iff x>5$. Vậy tập nghiệm là $S=(5;+\infty )$, tương ứng phương án D. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 5: D).