Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: BPT mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)<{\log }_{\frac{1}{2}}(2x-1)$ có điều kiện $x+1>0$ và $2x-1>0$, tức $x>\frac{1}{2}$. Vì cơ số $\frac{1}{2}\in (0;1)$ nên hàm log nghịch biến, do đó bất phương trình tương đương $x+1>2x-1\iff x<2$. Kết hợp điều kiện: $\frac{1}{2}<x<2$, vậy $S=\left(\frac{1}{2};2\right)$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{2}x<1$ có điều kiện $x>0$. Vì cơ số $2>1$, bất phương trình tương đương $x<2^1=2$. Kết hợp điều kiện $x>0$ ta được $0<x<2$, tức tập nghiệm là $(0;2)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $\frac{1}{3}<1$, bất phương trình ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{2x^2-3x-7}>3^{2x-21}$ tương đương $3^{-2x^2+3x+7}>3^{2x-21}$, suy ra $-2x^2+3x+7>2x-21$, tức $2x^2-x-28<0$. Phương trình $2x^2-x-28=0$ có nghiệm $x=\frac{1\pm 15}{4}$, tức $x=-3,5$ và $x=4$. Vậy tập nghiệm là $-3,5<x<4$, các nghiệm nguyên: $-3,-2,-1,0,1,2,3,4$ — tổng cộng 8 nghiệm. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(2x-1)>-1$. Điều kiện: $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$. Vì cơ số $\frac{1}{2}\in (0;1)$ nên hàm logarit nghịch biến, khi đó ${\log }_{\frac{1}{2}}(2x-1)>-1\iff 2x-1<{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-1}=2\iff 2x<3\iff x<\frac{3}{2}$. Kết hợp với điều kiện $x>\frac{1}{2}$ ta được tập nghiệm $\left(\frac{1}{2};\frac{3}{2}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $3^x+3^{x+1}\ge 2^x+2^{x+1}$. Ta có $3^x+3^{x+1}=4\cdot 3^x$ và $2^x+2^{x+1}=3\cdot 2^x$, nên bất phương trình trở thành $4\cdot 3^x\ge 3\cdot 2^x$, tức $\frac{3^x}{2^x}\ge \frac{3}{4}$, hay ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x\ge \frac{3}{4}$. Vì $\frac{3}{2}>1$ nên hàm số đồng biến, suy ra $x\ge {\log }_{3/2}\frac{3}{4}$. Vậy tập nghiệm là $S=\left[{\log }_{3/2}\frac{3}{4};+\infty \right)$. Kiểm tra: tại $x=0$: $1+3=4\ge 2+4=6$ sai; tại $x=1$: $3+9=12\ge 2+4=6$ đúng, phù hợp với nghiệm $x\ge {\log }_{3/2}(3/4)\approx 0,705$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $\frac{8}{15}\in (0;1)$ nên hàm số $y={\left(\frac{8}{15}\right)}^x$ nghịch biến. Do đó ${\left(\frac{8}{15}\right)}^x\le 69⟺x\ge {\log }_{\frac{8}{15}}69$. Vậy $S=\left[{\log }_{\frac{8}{15}}69;+\infty \right)$.

Điều kiện $\{\begin{array}{l}2x-3>0\\ x+1>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>\frac{3}{2}\\ x>-1\end{array}\iff x>\frac{3}{2}$. Bất phương trình ${\log }_{0,3}(2x-3)\ge {\log }_{0,3}(x+1)\iff 2x-3\le x+1\iff x\le 4$. Kết hợp điều kiện ta được $\frac{3}{2}<x\le 4$. Vì $x\in \mathbb{Z}$ nên $x=2$, $x=3$ và $x=4$. Vậy tập nghiệm chứa 3 số nguyên.

Bất phương trình ${\log }_{5}x>2\iff x>5^2\iff x>25$. Chọn đáp án C.

$2^{5x-1}>8^x\iff 2^{5x-1}>2^{3x}$

$\iff 5x-1>3x$

$\iff x>\frac{1}{2}$

Tập nghiệm của bất phương trình là $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $2^{x-2}\le 8=2^3$. Vì cơ số $2>1$ nên $x-2\le 3\iff x\le 5$. Các nghiệm nguyên dương là $x\in \{1,2,3,4,5\}$. Tổng $=1+2+3+4+5=15$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đề 102, Câu 1: 15).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $2^{x-2}\le 16=2^4$ suy ra $x-2\le 4$, tức $x\le 6$. Các nghiệm nguyên dương là $1,2,3,4,5,6$, tổng bằng $1+2+3+4+5+6=21$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (21).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{2}x\ge 1$ có điều kiện $x>0$. Vì cơ số $2>1$, bất phương trình tương đương $x\ge 2^1=2$. Kết hợp điều kiện $x>0$ ta được $S=[2;+\infty )$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{5}}(x+1)<{\log }_{\frac{1}{5}}(2x-1)$ yêu cầu điều kiện: $x+1>0$ và $2x-1>0$, tức $x>\frac{1}{2}$. Vì cơ số $\frac{1}{5}\in (0;1)$ nên hàm logarit nghịch biến, do đó bất phương trình tương đương $x+1>2x-1$, tức $x<2$. Kết hợp điều kiện: $\frac{1}{2}<x<2$. Vậy $S=\left(\frac{1}{2};2\right)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì cơ số $\frac{1}{2}\in (0;1)$ nên bất phương trình ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{x^2+x}\ge \frac{1}{4}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ tương đương $x^2+x\le 2$, tức $x^2+x-2\le 0\iff (x-1)(x+2)\le 0\iff -2\le x\le 1$. Vậy tập nghiệm là $[-2;1]$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $4x-7>0$ và $2x+1>0$ nên $x>\frac{7}{4}$ (yêu cầu chặt, không phải $x\ge \frac{7}{4}$). Với log cơ số $\frac{1}{3}$: ${\log }_{1/3}(2x+1)=-{\log }_3(2x+1)$, nên $(\ast )\iff 2{\log }_3(4x-7)-{\log }_3(2x+1)<2\iff {\log }_3\left[\frac{(4x-7{)}^2}{2x+1}\right]<2\iff (4x-7{)}^2<9(2x+1)\iff 16x^2-74x+40<0\iff 8x^2-37x+20<0$. Nghiệm: $x=\frac{37\pm 27}{16}$, tức $\frac{5}{8}<x<4$. Kết hợp $x>\frac{7}{4}$ được $S=\left(\frac{7}{4};4\right)$. Vậy $a=\frac{7}{4}$, $b=4$, $8a+2b^2=14+32=46$ (đúng). Ý b: vế phải đúng phải là ${\log }_3[9(2x+1)]$ chứ không phải ${\log }_3[2(2x+1)]$ (sai). Ý c: điều kiện là $x>\frac{7}{4}$ chặt (sai). Ý d: đúng theo tính chất đổi cơ số.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S=\left(\frac{7}{4};4\right)$ nên $8a+2b^2=8\cdot \frac{7}{4}+2\cdot 16=14+32=46$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\ast )\iff 2{\log }_3(4x-7)<2+{\log }_3(2x+1)={\log }_3[9(2x+1)]$, không phải ${\log }_3[2(2x+1)]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định là $x>\frac{7}{4}$ (yêu cầu chặt vì $4x-7>0$).
d) (AI giải đề cho tôi)
${\log }_{1/3}(2x+1)={\log }_{3^{-1}}(2x+1)=-{\log }_3(2x+1)$, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $2x>0$ và $x+1>0$ nên $x>0$. Vì cơ số $3>1$, bất phương trình tương đương $2x<x+1\iff x<1$. Kết hợp điều kiện $x>0$ ta được tập nghiệm $(0;1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $2\sqrt{3}-1\approx 2,464>1$ nên hàm số mũ $y=(2\sqrt{3}-1{)}^x$ đồng biến. Do đó $(2\sqrt{3}-1{)}^{a+2}<2\sqrt{3}-1=(2\sqrt{3}-1{)}^1$ tương đương $a+2<1$, tức $a<-1$. Chú ý: đề gốc in đậm chữ 'B.' và 'D.' ở các phương án, nhưng đó chỉ là lỗi định dạng (các câu khác như Câu 9, Câu 11 cũng có chữ in đậm ở đầu phương án), không phải dấu hiệu đáp án. Về mặt toán học đáp án đúng là A.

Điều kiện $x>1$.
${\log }_2(x-1)\le 3\Rightarrow x-1\le 8\Rightarrow x\le 9$.
So với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_2(x-1)\le 3$ là $(1;9]$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $4^{2x-1}\ge 8^{x^2-3}$. Viết cùng cơ số 2: $2^{2(2x-1)}\ge 2^{3(x^2-3)}$, tức $2^{4x-2}\ge 2^{3x^2-9}$. Vì cơ số $2>1$ nên $4x-2\ge 3x^2-9$, suy ra $3x^2-4x-7\le 0$. Phân tích: $3x^2-4x-7=(x-\frac{7}{3})(3x+7)$... chính xác hơn nghiệm của $3x^2-4x-7=0$ là $x=\frac{4\pm \sqrt{16+84}}{6}=\frac{4\pm 10}{6}$, tức $x=-1$ hoặc $x=\frac{7}{3}$. Vậy tập nghiệm $-1\le x\le \frac{7}{3}$. Các nghiệm nguyên: $x\in \{-1,0,1,2\}$, gồm 4 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình ${\log }_{\frac{2}{3}}(x-1)\ge 1$ với cơ số $0<\frac{2}{3}<1$. Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$. Vì cơ số nhỏ hơn 1 nên khi bỏ log dấu bất phương trình đảo chiều: ${\log }_{\frac{2}{3}}(x-1)\ge 1\iff 0<x-1\le {\left(\frac{2}{3}\right)}^1=\frac{2}{3}$. Suy ra $1<x\le 1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left(1;\frac{5}{3}\right]$.