Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Độ cao các thừa ruộng lập thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=950$, công sai $d=1,5$. Ta có $u_n=950+(n-1)\cdot 1,5=1130$, suy ra $(n-1)\cdot 1,5=180$, tức $n-1=120$, vậy $n=121$. Ruộng bậc thang có 121 bậc, khớp với đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Số khúc gỗ mỗi hàng từ trên xuống là cấp số cộng với $u_1=1$, công sai $d=1$, 15 hàng. Hàng dưới cùng có $1+14=15$ khúc. Tổng $S=\frac{15(1+15)}{2}=\frac{15\cdot 16}{2}=120$. Khớp đáp án nguồn (mã đề 102, câu 4 = 120).

(AI giải đề cho tôi)
Số khúc gỗ các hàng từ trên xuống là cấp số cộng với $u_1=1$, công sai $d=1$, 12 hàng. Tổng $S=\frac{12\cdot (1+12)}{2}=78$. Khớp đáp án nguồn 78.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=2(5-3n)-2025=-2015-6n$, nên $u_1=-2021$ và $u_{n+1}-u_n=-6$: dãy $(u_n)$ là cấp số cộng công sai $d=-6$. a) $u_{226}=-2015-6\cdot 226=-3371$; $S_{226}=\frac{226}{2}(u_1+u_{226})=113(-2021-3371)=113\cdot (-5392)=-609296$ → đúng. b) Công sai là $-6$ chứ không phải $-3$ → sai. Với cấp số nhân: $v_4=v_1{q}^3\Rightarrow q^3=\frac{875}{7}=125\Rightarrow q=5$ → d đúng. c) $v_6=7\cdot 5^5=21875<50000$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=-2021$, $u_{226}=-3371$, $S_{226}=113(-5392)=-609296$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=-6$, công sai bằng $-6$ chứ không phải $-3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$v_6=7\cdot 5^5=21875<50000$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$q^3=\frac{875}{7}=125\Rightarrow q=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Số ghế các hàng lập cấp số cộng với $u_1=16$, công sai $d=4$, số hàng $n=18$. Tổng số ghế: $S=\frac{18}{2}\left(2\cdot 16+17\cdot 4\right)=9\cdot 100=900$ ghế. Giá mỗi vé: $\frac{126000}{900}=140$ nghìn đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Tiền lương tháng thứ $n$ là số hạng thứ $n$ của cấp số cộng với $u_1=8$ (triệu đồng), công sai $d=0,1$ (triệu đồng). Trong 2 năm có 24 tháng, tổng tiền lương là $S_{24}=\frac{24}{2}\left[2u_1+(24-1)d\right]=12\left[16+23\cdot 0,1\right]=12\cdot 18,3=219,6$ (triệu đồng). Vậy anh Tuấn nhận được tổng cộng $219,6$ triệu đồng trong 2 năm đi làm.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi số hạng đầu là $u_1$ và công sai là $d$. Theo đề: $u_1+u_6=2u_1+5d=40$ và $u_3+u_7=2u_1+8d=52$. Trừ hai phương trình: $3d=12\Rightarrow d=4$. Suy ra $2u_1=40-20=20\Rightarrow u_1=10$. Tổng 10 số hạng đầu: $S_{10}=\frac{10(2u_1+9d)}{2}=5(20+36)=280$. Vậy $u_1=10$, $d=4$, $S_{10}=280$.

(AI giải đề cho tôi)
Tầng trên cùng có 4 thanh nên $u_1=4$; mỗi tầng dưới nhiều hơn tầng trên 3 thanh nên công sai $d=3$. a) Phát biểu $u_1=3$, $d=4$ là sai. b) $u_{15}=u_1+14d=4+14\cdot 3=46$ → đúng. c) $u_8=u_1+7d=4+21=25\ne 30$ → sai. d) $u_{10}=4+9\cdot 3=31$, $S_{10}=\frac{10(4+31)}{2}=175\ne 157$ → sai. Đối chiếu đáp án chính thức trang 6 (Mã đề 316, Phần 2 Câu 1): a=S, b=Đ, c=S, d=S — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng đầu là số thanh tầng trên cùng $u_1=4$, công sai $d=3$, không phải $u_1=3$, $d=4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{15}=u_1+14d=4+14\cdot 3=46$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=u_1+7d=4+21=25\ne 30$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{10}=4+9\cdot 3=31$, $S_{10}=\frac{10(4+31)}{2}=175\ne 157$.

(AI giải đề cho tôi)
Số thanh gỗ theo tầng từ trên xuống: $u_1=3$, mỗi tầng dưới nhiều hơn 2 thanh nên $u_{n+1}=u_n+2$, tức là cấp số cộng với $u_1=3$, $d=2$, công thức $u_n=3+2(n-1)=2n+1$. a) Đúng: đây là cấp số cộng với $u_1=3$, $d=2$. b) Đúng: $u_{20}=3+19\cdot 2=41$. c) Đúng: $u_{15}=3+14\cdot 2=31$. d) Sai: $S_9=\frac{9}{2}(2u_1+8d)=\frac{9}{2}(6+16)=99\ne 79$ (tính nhầm 79 có thể do lấy nhầm số hạng $u_9=19$ hoặc cộng sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Mỗi tầng dưới nhiều hơn tầng trên 2 thanh nên dãy số thanh gỗ là cấp số cộng với $u_1=3$, $d=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{20}=u_1+19d=3+19\cdot 2=41$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{15}=u_1+14d=3+14\cdot 2=31$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_9=\frac{9(2\cdot 3+8\cdot 2)}{2}=\frac{9\cdot 22}{2}=99\ne 79$.

(AI giải đề cho tôi)
Số thanh gỗ các tầng lập thành cấp số cộng với $u_1=4$ (tầng trên cùng) và công sai $d=3$ (mỗi tầng dưới nhiều hơn 3 thanh).
a) Sai: số hàng đầu là $u_1=4$, công sai $d=3$, không phải $u_1=3,d=4$.
b) Đúng: $u_{15}=u_1+14d=4+14\cdot 3=46$.
c) Sai: $u_8=u_1+7d=4+21=25\ne 30$.
d) Sai: $S_{10}=\frac{10}{2}\left(2u_1+9d\right)=5(8+27)=175\ne 157$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có số hàng đầu $u_1=4$ (tầng trên cùng có 4 thanh) và công sai $d=3$, không phải $u_1=3,d=4$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{15}=u_1+14d=4+14\cdot 3=46$ thanh gỗ.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_8=u_1+7d=4+7\cdot 3=25\ne 30$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{10}=\frac{10}{2}(2\cdot 4+9\cdot 3)=5\cdot 35=175\ne 157$.

Đáp số: 423
Ta có số tiền lương nhận được ở mỗi quý lập thành một cấp số cộng với số hàng đầu $u_1=10$ và công sai $d=0,1$.
Do đó tổng số tiền lương một công nhân nhận được sau ba năm làm việc cho công ty là $S_{36}=\left(2u_1+35d\right).\frac{36}{2}=423$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hệ thức $u_{n+1}+\frac{5}{2}=u_n+3$ suy ra $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{2}$, vậy $(u_n)$ là cấp số cộng với $u_1=\frac{3}{2}$, công sai $d=\frac{1}{2}$. Suy ra $u_n=\frac{3}{2}+(n-1)\cdot \frac{1}{2}=\frac{n+2}{2}$. a) $\frac{17}{4}=u_n\Rightarrow \frac{n+2}{2}=\frac{17}{4}\Rightarrow n=\frac{9}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, sai. b) $u_{10}=\frac{12}{2}=6\ne 3$, sai. c) Công thức đúng là $u_n=\frac{3}{2}+\frac{n-1}{2}$, không phải $\frac{3}{2}+\frac{n}{2}$, sai. d) $u_{100}=\frac{102}{2}=51$, $S_{100}=\frac{100\left(\frac{3}{2}+51\right)}{2}=2625\ne 2320$, sai. Cả bốn mệnh đề đều sai, khớp đáp án chính thức SSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\frac{n+2}{2}=\frac{17}{4}$ cho $n=\frac{9}{2}$ không nguyên, nên $\frac{17}{4}$ không là số hạng của dãy.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{10}=\frac{3}{2}+9\cdot \frac{1}{2}=6\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng là $u_n=\frac{3}{2}+\frac{n-1}{2}=\frac{n+2}{2}$, không phải $\frac{3}{2}+\frac{n}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{100}=\frac{100\left(\frac{3}{2}+51\right)}{2}=2625\ne 2320$.

Đáp số: 195
Ta có số tiền lương nhận được ở mỗi quý lập thành một cấp số cộng với số hàng đầu $u_1=13,5$ và công sai $d=0,5$ .
Do đó tổng số tiền lương một công nhân nhận được sau ba năm làm việc cho công ty là
$$S_{12}=\left(2u_1+11d\right).\frac{12}{2}=\left(2.13,5+11.0,5\right).6=195\text{triệu đoˆˋng}.$$

Gọi cạnh nhỏ nhất của đa giác là $u_1$ và số cạnh của đa giác là n. Ta có $15=u_1+(n-1).3$ hay $u_1=18-3n>0\to n<6$. Tổng các cạnh là 45 cm, ta có $$45=\frac{n(15+18-3n)}{2}\iff 3n^2-33n+90=0\iff \left[\begin{array}{c}n=5\\ n=6(l)\end{array}\right].$$ Giải phương trình với $n\in N^{\ast };n<6$, ta được $n=5$. Vậy đa giác có 5 cạnh.

(AI giải đề cho tôi)
Số hộp ở hàng thứ $n$ là số lẻ $2n-1$: 1, 3, 5, … Tổng của 15 hàng là tổng 15 số lẻ đầu tiên: $S=1+3+5+\cdots +29$. Đây là cấp số cộng với $u_1=1$, công sai $d=2$, $n=15$, số hạng cuối $u_{15}=1+14\cdot 2=29$. Do đó $S=\frac{15(1+29)}{2}=\frac{15\cdot 30}{2}=225$. (Cũng đúng với công thức tổng $n$ số lẻ đầu tiên $S=n^2=15^2=225$.) Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn.

Gọi $u_n$ là số tiền (đơn vị nghìn đồng) mà Nam bỏ vào ống heo ở tháng thứ $n$ $(n\in \{1;2;...;12\})$. Khi đó $(u_n)$ là một cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=500$, công sai $d=100$. (0,5 điểm)

Tổng số tiền tiết kiệm của Nam sau 12 tháng là: $S_{12}=\frac{12}{2}(2u_1+11d)$ (nghìn đồng). (0,5 điểm)

Thay số vào ta có: $S_{12}=\frac{12}{2}(2.500+11.100)=12600$ (nghìn đồng) $=12,6$ (triệu đồng). (0,5 điểm)

Sau 12 tháng, Nam có 12,6 triệu đồng. Số tiền này không đủ để mua laptop. Nam còn thiếu: 2,4 (triệu đồng). (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Tiền lì xì mỗi ngày lập thành cấp số cộng với $u_1=3$ (triệu đồng), công sai $d=-0,3$. Số tiền các ngày mùng 1 đến mùng 9 lần lượt là $3;2,7;2,4;2,1;1,8;1,5;1,2;0,9;0,6$ (triệu đồng). Tổng tiền nhận được: $S_9=\frac{9(3+0,6)}{2}=16,2$ triệu đồng. Kể từ mùng 3 đến mùng 9, mỗi ngày Kiên đưa mẹ $X$ triệu, tức tổng cộng $7X$ triệu. Để hết mùng 9 còn lại đúng 5 triệu: $16,2-7X=5\Rightarrow X=\frac{11,2}{7}=1,6$ (triệu đồng). Kết quả khớp với đáp án nguồn 1,6.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tiền lì xì Kiên nhận từ mùng 1 đến mùng 9 là cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=3$ (triệu đồng), công sai $d=-0,3$: $S_9=\frac{9}{2}\left(2\cdot 3+8\cdot (-0,3)\right)=\frac{9}{2}(6-2,4)=\frac{9}{2}\cdot 3,6=16,2$ triệu đồng. Từ mùng 3 đến mùng 9 Kiên đưa mẹ mỗi ngày $X$ triệu, tức $7$ ngày, tổng đưa là $7X$. Để hết mùng 9 còn lại đúng $5$ triệu: $16,2-7X=5\Rightarrow 7X=11,2\Rightarrow X=1,6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (1,6).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=922-20n$ (triệu đồng) vì mỗi năm giá giảm 20 triệu đồng.
a) $u_{11}=922-20\cdot 11=702<720$ → đúng.
b) $u_2=922-40=882$ → đúng.
c) Mỗi năm giá giảm cùng một lượng 20 triệu nên $(u_n)$ là cấp số cộng với $u_1=902$, công sai $d=-20$ → đúng.
d) Giá nhỏ hơn một nửa giá trị ban đầu: $922-20n<461\iff 20n>461\iff n>23,05$, vậy chỉ cần sau ít nhất 24 năm (tại $n=24$: $u_{24}=442<461$), không cần 25 năm → khẳng định 'ít nhất 25 năm' sai. Kết quả khớp đáp án nguồn (3a Đ, 3b Đ, 3c Đ, 3d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_{11}=922-20\cdot 11=702<720$ triệu đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=922-2\cdot 20=882$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giá giảm đều 20 triệu mỗi năm nên $(u_n)$ là cấp số cộng công sai $d=-20$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$922-20n<461\iff n>23,05$, nên chỉ cần ít nhất 24 năm, không phải 25 năm.

(AI giải đề cho tôi)
Giá máy sau năm thứ $n$: $u_n=922-20n$ (triệu đồng), là cấp số cộng với $u_1=902$, công sai $d=-20$.

a) Một nửa giá trị ban đầu là $461$ triệu đồng. Giải $922-20n<461\iff 20n>461\iff n>23,05$, vậy năm đầu tiên giá nhỏ hơn một nửa là năm thứ $24$, không phải 'ít nhất 25 năm'. Do đó khẳng định a) SAI.

b) Mỗi năm giá giảm đều 20 triệu đồng nên $u_{n+1}-u_n=-20$, $(u_n)$ là cấp số cộng công sai $d=-20$. Khẳng định b) ĐÚNG.

c) $u_2=922-2\cdot 20=882$ (triệu đồng). Khẳng định c) ĐÚNG.

d) $u_{11}=922-11\cdot 20=702<720$ (triệu đồng). Khẳng định d) ĐÚNG.

Kết quả a) S, b) D, c) D, d) D khớp hoàn toàn với bảng đáp án nguồn (mã đề 1101, hàng Phần II: 3a S, 3b D, 3c D, 3d D). Lưu ý ghi chú 'errors' trong dữ liệu nguồn là nhầm lẫn: khẳng định d) trong payload đã được đánh giá là ĐÚNG (isCorrect=true), không có xung đột với đáp án nguồn.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giải $922-20n<461\iff n>23,05$, nên chỉ cần sau $24$ năm (không phải ít nhất 25 năm) giá máy nhỏ hơn một nửa giá trị ban đầu.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giá giảm đều 20 triệu mỗi năm nên $u_{n+1}-u_n=-20$, cấp số cộng công sai $d=-20$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_2=922-40=882$ (triệu đồng).
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_{11}=922-220=702<720$ (triệu đồng).