Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cấp số cộng (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=5$, tổng 50 số hạng đầu $S_{50}=5150$. Ta có $S_{50}=\frac{50}{2}(2u_1+49d)=25(10+49d)=5150$, suy ra $10+49d=206$, tức $49d=196$, vậy $d=4$. Do đó $u_n=u_1+(n-1)d=5+4(n-1)=4n+1=1+4n$. Kiểm tra: $S_{50}=25(10+196)=25\cdot 206=5150$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 9: Cho $u_n=2-9n$.

1) Với mọi $n\ge 1$, ta có $u_{n+1}-u_n=\left[2-9(n+1)\right]-(2-9n)=-9$ (không phụ thuộc $n$). Vậy $(u_n)$ là cấp số cộng với công sai $d=-9$.

2) $u_1=2-9=-7$; $u_{50}=2-450=-448$. Tổng $u_1+u_2+\dots +u_{50}=\frac{50(u_1+u_{50})}{2}=\frac{50(-7-448)}{2}=25\cdot (-455)=-11375$.

3) $u_{15}=2-135=-133$; $u_{45}=2-405=-403$. Số số hạng từ $u_{15}$ đến $u_{45}$ là $45-15+1=31$. Do đó $S=\frac{31(u_{15}+u_{45})}{2}=\frac{31(-133-403)}{2}=\frac{31\cdot (-536)}{2}=31\cdot (-268)=-8308$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10. Chiều cao của đứa trẻ $n$ tuổi: $x_n=75+5(n-1)$ (cm).

1) Khi trẻ 9 tuổi, ta có $n=9$:
$$x_9=75+5(9-1)=75+40=115\text{ (cm).}$$
Vậy chiều cao của đứa trẻ phát triển bình thường khi 9 tuổi là $115$ cm.

2) Ta có $x_1=75$ và với mọi $n\ge 1$:
$$x_{n+1}-x_n=\left[75+5n\right]-\left[75+5(n-1)\right]=5.$$
Vậy hiệu $x_{n+1}-x_n$ không đổi bằng 5, do đó dãy số $(x_n)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu $x_1=75$ và công sai $d=5$.

Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên đúng bằng công sai của cấp số cộng, tức là $5$ cm mỗi năm.

Đáp án theo bảng đáp án mã đề 2102: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai (ĐSĐS).

(AI giải đề cho tôi)
Số ghế theo các dãy lập thành cấp số cộng với $u_1=20$, công sai $d=4$, số hạng $n=40$. Tổng số ghế: $S_{40}=\frac{40}{2}\left[2\cdot 20+(40-1)\cdot 4\right]=20\left(40+156\right)=20\cdot 196=3920$. Vậy khán phòng có tất cả 3920 ghế, khớp với đáp án nguồn (mã đề 2102, câu 2: 3920).

(AI giải đề cho tôi)
Từ $S_{50}=\frac{50(2u_1+49d)}{2}=25(10+49d)=5150$ suy ra $10+49d=206$, tức $d=4$. a) $u_{85}=5+84\cdot 4=341$ → Đúng. b) $S_{85}=\frac{85(2\cdot 5+84\cdot 4)}{2}=\frac{85\cdot 346}{2}=85\cdot 173=14705$ → Đúng. c) Công sai $d=4\ne 6$ → Sai. d) $u_{10}=5+9\cdot 4=41\ne 42$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 2101 (ĐĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $d=4$: $u_{85}=u_1+84d=5+336=341$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S_{85}=\frac{85(10+336)}{2}=85\cdot 173=14705$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ $S_{50}=25(10+49d)=5150$ suy ra $d=4$, không phải 6.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_{10}=5+9\cdot 4=41\ne 42$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=a$, công sai $d$. Theo đề: $u_1+u_7=30\Rightarrow a+(a+6d)=30\Rightarrow 2a+6d=30\Rightarrow a+3d=15$. Tổng số hạng thứ ba và thứ sáu: $u_3+u_6=(a+2d)+(a+5d)=2a+7d=35$. Trừ hai phương trình: $(2a+7d)-(2a+6d)=35-30\Rightarrow d=5$. Suy ra $a=15-3\cdot 5=0$. Vậy số hạng thứ bảy $u_7=a+6d=0+30=30$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (30).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ cho từng dãy:
- A: $u_n=3^n$, $u_{n+1}-u_n=3^{n+1}-3^n=2\cdot 3^n$ phụ thuộc $n$, không phải cấp số cộng.
- B: $u_n=3+n^2$, $u_{n+1}-u_n=(n+1{)}^2-n^2=2n+1$ phụ thuộc $n$, không phải cấp số cộng.
- C: $u_n=3^n+1$, $u_{n+1}-u_n=2\cdot 3^n$ phụ thuộc $n$, không phải cấp số cộng.
- D: $u_n=1-3n$, $u_{n+1}-u_n=[1-3(n+1)]-(1-3n)=-3$ không đổi, nên đây là cấp số cộng với công sai $d=-3$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 2101, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=3-2n$ thì $u_{n+1}-u_n=(3-2(n+1))-(3-2n)=-2$ không đổi, nên đây là cấp số cộng với công sai $d=-2$. B) $u_n=2^n+3$: hiệu $u_{n+1}-u_n=2^n$ thay đổi theo $n$, không phải cấp số cộng. C) $u_n=3\cdot 2^n$: hiệu $u_{n+1}-u_n=3\cdot 2^n$ thay đổi, không phải cấp số cộng (đây là cấp số nhân). D) $u_n=2+n^3$: hiệu $(n+1{)}^3-n^3=3n^2+3n+1$ thay đổi, không phải cấp số cộng. Vậy đáp án là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong cấp số cộng, $u_4+u_{16}=(u_{10}-6d)+(u_{10}+6d)=2u_{10}$. Do đó $2u_{10}=48\Rightarrow u_{10}=24$. Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=3$, $d=-2$. a) $u_2=u_1+d=3+(-2)=1\ne 5$ nên Sai. b) Giải $3+(n-1)(-2)=-25\Rightarrow -2(n-1)=-28\Rightarrow n=15$, là số nguyên dương nên $-25=u_{15}$, Đúng. c) $u_n=u_1+(n-1)d=3-2(n-1)=5-2n\ne 2n-5$ nên Sai. d) Bốn số hạng đầu là $3;1;-1;-3$, tổng $=0$, Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn (SDSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=u_1+d=3-2=1\ne 5$ nên mệnh đề Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=3-2(n-1)=-2n+5$. Cho $u_n=-25$: $-2n+5=-25\Rightarrow n=15$, nên $-25=u_{15}$ là số hạng của cấp số cộng, Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=u_1+(n-1)d=3-2(n-1)=5-2n\ne 2n-5$ nên mệnh đề Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=3,u_2=1,u_3=-1,u_4=-3$, tổng $3+1-1-3=0$, Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_1=3$, $d=-2$ nên $u_n=3+(n-1)(-2)=5-2n$. a) $u_n=2n-5$ là sai (đúng phải là $u_n=5-2n$). b) $u_1+u_2+u_3+u_4=3+1+(-1)+(-3)=0$, đúng. c) $u_2=5-2\cdot 2=1\ne 5$, sai. d) $5-2n=-25\iff n=15\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên $-25=u_{15}$ là số hạng của cấp số cộng, đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: SDSD.
a) (AI giải đề cho tôi)
Công thức số hạng tổng quát: $u_n=u_1+(n-1)d=3+(n-1)(-2)=5-2n$, khác $2n-5$ nên mệnh đề sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=3$, $u_2=1$, $u_3=-1$, $u_4=-3$, tổng bằng $3+1-1-3=0$, mệnh đề đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=u_1+d=3+(-2)=1\ne 5$, mệnh đề sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $5-2n=-25$ được $n=15$, là số nguyên dương, nên $-25=u_{15}$ là số hạng của cấp số cộng, mệnh đề đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cây sau $n$ hàng là $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}=465$, suy ra $n(n+1)=930$. Vì $30\cdot 31=930$ nên $n=30$. Vậy số hàng cây là 30, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 122, Phần III Câu 2: 30).

(AI giải đề cho tôi)
Tổng số cây sau $n$ hàng là $1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$. Theo đề: $\frac{n(n+1)}{2}=3003\Rightarrow n(n+1)=6006$. Thử $n=77$: $77\cdot 78=6006$ (thỏa mãn). Vậy số hàng cây được trồng là $77$, khớp với đáp án nguồn (Phần III, Câu 2, Mã đề 111: 77).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số cây ở các hàng: 14, 16, 18, ... là cấp số cộng với $u_1=14$, công sai $d=2$. a) Đúng vì $u_{n+1}-u_n=2$ với mọi $n$. b) $u_{10}=u_1+9d=14+18=32\ne 35$ nên Sai. c) Hàng cuối là hàng thứ 26: $u_{26}=u_1+25d=14+50=64\ne 62$ nên Sai. d) Tổng số cây $S_{26}=\frac{26(14+64)}{2}=13\cdot 78=1014\ne 1004$ nên Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ, S, S, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Số cây mỗi hàng: 14, 16, 18, ... hiệu hai hàng liên tiếp bằng 2 nên lập thành cấp số cộng công sai $d=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{10}=u_1+9d=14+9\cdot 2=32$ cây, không phải 35.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàng cuối (hàng 26): $u_{26}=14+25\cdot 2=64$ cây, không phải 62.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{26}=\frac{26(14+64)}{2}=1014$ cây, không phải 1004.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số cây ở các hàng: 15, 18, 21, ... là cấp số cộng với u1 = 15, công sai d = 3, số hàng n = 24.
a) Đúng: hàng sau hơn hàng trước 3 cây nên d = 3.
b) Sai: u10 = 15 + 9·3 = 42 cây, không phải 45.
c) Đúng: u24 = 15 + 23·3 = 84 cây.
d) Đúng: S24 = 24(15 + 84)/2 = 24·99/2 = 1188 cây.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàng sau nhiều hơn hàng liền trước 3 cây nên dãy 15, 18, 21, ... là cấp số cộng với công sai d = 3.
b) (AI giải đề cho tôi)
u10 = 15 + 9·3 = 42 cây, không phải 45 cây.
c) (AI giải đề cho tôi)
u24 = 15 + 23·3 = 84 cây.
d) (AI giải đề cho tôi)
S24 = 24(15 + 84)/2 = 1188 cây.

(AI giải đề cho tôi)
Giá trị máy tính theo năm tạo thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=24$ (triệu đồng) và công sai $d=-3$ (mỗi năm giảm 3 triệu đồng). Giá trị còn lại sau 6 năm là $u_7=u_1+6d=24+6\cdot (-3)=24-18=6$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 0102: 6).

(AI giải đề cho tôi)
Cấp số cộng có $u_3=6$, $u_7=-2$. Ta có $u_7=u_3+4d\Rightarrow -2=6+4d\Rightarrow d=-2$. Suy ra $u_1=u_3-2d=6-2(-2)=10$. Vậy $u_1=10$, khớp với đáp án B trong nguồn.

Vì hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, và cứ như thế mỗi hàng sau sẽ có nhiều hơn hàng ngay trước đó 1 cây, nên tạo ra cấp số cộng có $n$ số hạng và $u_1=1;d=1;S_n=5050$. Ta cần tìm $n$.
Áp dụng công thức
$$S_n=\frac{n}{2}\left[2u_1+(n-1)d\right](n\in {\mathbb{N}}^{\ast },n\ge 2)$$
$$\Rightarrow 5050=\frac{n}{2}\left[2+(n-1)\right]$$
$$\Rightarrow 10100=n(n+1)$$
$$\Rightarrow n^2+n-10100=0$$
$$\Rightarrow \{\begin{array}{l}n=100\text{ (nhận)}\\ n=-101\text{ (loại)}\end{array}$$
Vậy vườn cây có 100 hàng cây.

(AI giải đề cho tôi)
Số cây ở hàng thứ $n$ là $n$, tổng số cây sau $n$ hàng là $\frac{n(n+1)}{2}$. Ta có $\frac{n(n+1)}{2}=465\iff n(n+1)=930\iff n=30$ (vì $30\cdot 31=930$). Vậy khu vườn có 30 hàng cây, khớp đáp án B.