Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Chuyên đề: tài chính (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Người đó tiết kiệm 30% lương hằng tháng: 24 tháng đầu mỗi tháng gửi $1,8$ triệu đồng; 12 tháng sau (lương tăng 10% lên $6,6$ triệu) mỗi tháng gửi $1,98$ triệu đồng. Lãi suất $0,3\%$/tháng lãi kép, tiền gửi vào đầu tháng $k$ đến cuối tháng 36 nhân với $1,003^{37-k}$.

Tổng số tiền sau 36 tháng:
$$T=1,8\cdot 10^6\sum _{k=1}^{24}1,003^{37-k}+1,98\cdot 10^6\sum _{k=25}^{36}1,003^{37-k}$$
$$=1,8\cdot 10^6\sum _{j=13}^{36}1,003^j+1,98\cdot 10^6\sum _{j=1}^{12}1,003^j.$$

Tính các lũy thừa: $1,003^{12}\approx 1,0366$; $1,003^{24}\approx 1,0745396$; $1,003^{36}\approx 1,1138677$.

$$\sum _{j=1}^{12}1,003^j=\frac{1,003\left(1,003^{12}-1\right)}{0,003}=\frac{1,003\cdot 0,0366}{0,003}=12,2366.$$
$$\sum _{j=13}^{36}1,003^j=\frac{1,003^{36}-1,003^{12}}{0,003}=\frac{0,0772677}{0,003}\approx 25,7559.$$

Vậy:
$$T\approx 1,8\cdot 10^6\cdot 25,7559+1,98\cdot 10^6\cdot 12,2366\approx 46,360,626+24,228,468\approx 70,589,094.$$

Kết luận: Sau 36 tháng, tổng số tiền người đó tiết kiệm được xấp xỉ $70589000$ đồng (khoảng $70,59$ triệu đồng).

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau $n$ năm: $T_n=120\cdot (1,06{)}^n$ (triệu đồng).

a) Lãi sau 5 năm: $120((1,06{)}^5-1)=120\times 0,3382255776\approx 40,587$ triệu $=40587000$ đồng $\ne 12300000$ → Sai.

b) Cần $120(1,06{)}^n\ge 150\iff (1,06{)}^n\ge 1,25\iff n\ge \frac{\ln 1,25}{\ln 1,06}\approx 3,83$, tức chỉ cần 4 năm, không phải hơn 10 năm → Sai.

c) $120(1+r{)}^3>145\iff (1+r{)}^3>1,2083\iff 1+r>1,0649\iff r>6,49\%$, không cần hơn $8\%$ → Sai.

d) Năm 1: $120\times 1,06=127,2$ triệu; sau đó lãi suất $8\%$: năm 2: $127,2\times 1,08=137,376$; năm 3: $\approx 148,37$; năm 4: $\approx 160,24$ triệu $>130$ triệu → Sai.

Cả bốn ý đều sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Lãi sau 5 năm: $120((1,06{)}^5-1)\approx 40,587$ triệu $=40587000$ đồng, không phải $12300000$ đồng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$120(1,06{)}^n\ge 150\iff n\ge \ln 1,25/\ln 1,06\approx 3,83$, chỉ cần 4 năm, không phải hơn 10 năm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$120(1+r{)}^3>145\iff r>6,49\%$, không cần hơn $8\%$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Năm 1: 127,2 triệu; với lãi suất 8% các năm sau: năm 2: 137,376; năm 3: ≈148,37; năm 4: ≈160,24 triệu > 130 triệu.

(AI giải đề cho tôi)
Lãi suất tháng $i=9,6\%/12=0,8\%=0,008$. Gọi $D_n$ là số tiền còn nợ sau khi trả ở cuối tháng thứ $n$:
$$D_n=80\cdot (1,008{)}^n-5\cdot \frac{(1,008{)}^n-1}{0,008}.$$
Trả hết nghĩa là $D_n\le 0$:
$$80\cdot (1,008{)}^n\le 625\left((1,008{)}^n-1\right)\Rightarrow 545\cdot (1,008{)}^n\ge 625\Rightarrow (1,008{)}^n\ge \frac{625}{545}=\frac{125}{109}\approx 1,1468.$$
Suy ra $n\ge \frac{\ln (125/109)}{\ln 1,008}\approx \frac{0,13716}{0,007968}\approx 17,2$, vậy $n=18$.
Kiểm tra: $(1,008{)}^{17}\approx 1,1442<1,1468$ (chưa hết), $(1,008{)}^{18}\approx 1,1534>1,1468$ (trả hết). Vậy chị Lan cần ít nhất 18 tháng.

a) Tính số tiền (cả gốc lẫn lãi) bác An nhận được sau 2 tháng là $A_2=A_0(1+r\%{)}^2=200(1+0,6\%{)}^2\approx 202,4$ (triệu đồng).

b) Bác An nhận (cả gốc lẫn lãi) được tối thiểu 225 triệu đồng thì ta có

$A_n\ge 225\iff 200(1+0,6\%{)}^n\ge 225\iff n\ge {\log }_{1,006}\left(\frac{225}{200}\right)\approx 19,69$.

Vậy ít nhất 20 tháng thì bác An mới nhận tối thiểu 225 triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Cần $B(t)\ge 1,5P$, tức $P{e}^{0,08t}\ge 1,5P\Rightarrow e^{0,08t}\ge 1,5\Rightarrow t\ge \frac{\ln 1,5}{0,08}\approx \frac{0,405465}{0,08}\approx 5,07$ năm. Vậy sau khoảng 5,07 năm (khoảng 5 năm 1 tháng) số tiền đầu tư tăng thêm ít nhất 50%.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tiền sau 10 năm: $100(1,08{)}^{10}=100\cdot 2,\mathrm{158925...}=215,\mathrm{8925...}$ triệu đồng. Số tiền lãi là $215,8925-100=115,8925$ triệu đồng, có dạng $1a5,8b2$ nên $a=1$, $b=9$. Vậy $T=ab+1=1\cdot 9+1=10$.

Số tiền còn nợ mỗi tháng tạo thành cấp số cộng với số hạng đầu $u_1=300$, công sai $d=-25$ và số số hạng $n=12\Rightarrow S_n=\frac{n\left[2u_1+(n-1)d\right]}{2}=\frac{12\left[2\times 300+(12-1)\times (-25)\right]}{2}=1950$.

Lãi suất tương ứng theo tháng: $\frac{7,2\%}{12}=0,6\%$.

Tổng số tiền lãi anh Tú phải trả: $1950\times 0,6\%=11,7$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $x$ (triệu đồng) là số tiền rút mỗi tháng, $i=0,006$, $n=48$ tháng (4 năm). Số tiền gửi ban đầu sau 48 tháng tăng thành $300(1,006{)}^{48}$. Mỗi lần rút $x$ vào cuối tháng $k$ (kết quả rút vào ngày trả lãi của tháng $k$) làm mất đi khoản tương đương $x(1,006{)}^{48-k}$ tính đến hết tháng 48. Điều kiện vừa hết tiền sau 48 tháng là:
$$300(1,006{)}^{48}=x\left[(1,006{)}^{47}+(1,006{)}^{46}+\cdots +(1,006)+1\right]=x\cdot \frac{(1,006{)}^{48}-1}{0,006}.$$
Suy ra
$$x=\frac{300\cdot 0,006\cdot (1,006{)}^{48}}{(1,006{)}^{48}-1}=\frac{1,8\cdot (1,006{)}^{48}}{(1,006{)}^{48}-1}=\frac{1,8}{1-(1,006{)}^{-48}}.$$
Tính $(1,006{)}^{48}\approx 1,33257$, do đó $1-(1,006{)}^{-48}\approx 1-\frac{1}{1,33257}\approx 0,249545$, nên
$$x\approx \frac{1,8}{0,249545}\approx 7,2131.$$
Vậy mỗi tháng sinh viên đó rút được khoảng $7,21$ triệu đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Lãi suất 6%/năm, kì hạn 3 tháng (1 quý) nên lãi suất mỗi quý là 6%/4 = 1,5% → a) Đúng.
Sau 6 tháng (2 quý): 100·(1,015)^2 = 103,0225 triệu = 103.022.500 đồng → d) Đúng.
Sau 12 tháng (4 quý): 100·(1,015)^4 ≈ 106,136 triệu đồng < 110 triệu → c) Sai.
Sau 1 năm ông A có 100·(1,015)^4 ≈ 106,136 triệu; gửi thêm 100 triệu nên tổng 206,136 triệu. Sau thêm 1 năm nữa: 206,136·(1,015)^4 ≈ 218,786 triệu đồng = 218.786.000 đồng (làm tròn đến hàng nghìn) → b) Đúng. Khớp đáp án mã đề 1103: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Lãi suất mỗi quý = 6%/4 = 1,5%/quý.
b) (AI giải đề cho tôi)
Sau 1 năm: 100·(1,015)^4 ≈ 106,136 triệu; cộng thêm 100 triệu rồi nhân (1,015)^4: 206,136·(1,015)^4 ≈ 218,786 triệu = 218.786.000 đồng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Sau 12 tháng ông A có 100·(1,015)^4 ≈ 106,136 triệu < 110 triệu.
d) (AI giải đề cho tôi)
Sau 6 tháng: 100·(1,015)^2 = 103,0225 triệu = 103.022.500 đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền sau n quý: A = 85·(1,021)^n (triệu đồng).
a) Sau 6 quý: 85·(1,021)^6 ≈ 85·1,13275 ≈ 96,28 triệu ≠ 94,31 → sai.
b) Cần 85·(1,021)^n > 126 ⇔ (1,021)^n > 1,48235 ⇔ n > ln(1,48235)/ln(1,021) ≈ 18,92 → n ≥ 19 quý. Vậy 'ít nhất 18 quý' là sai (18 quý chỉ được 85·(1,021)^18 ≈ 123,15 triệu).
c) Sau 12 tháng = 4 quý: 85·(1,021)^4 ≈ 92,37 triệu. Cộng thêm 71 triệu rồi gửi tiếp 4 quý: (92,37+71)·(1,021)^4 ≈ 163,37·1,08668 ≈ 177,53 triệu → đúng.
d) Cần gửi ban đầu: 209/(1,021)^21 ≈ 209/1,54716 ≈ 135,08 triệu, không phải 183,70 triệu → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
85·(1,021)^6 ≈ 96,28 triệu đồng, không phải 94,31 triệu.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cần n ≥ 19 quý vì 85·(1,021)^18 ≈ 123,15 < 126; sau 19 quý ≈ 125,74... kiểm tra: 85·(1,021)^19 ≈ 128,34 > 126.
c) (AI giải đề cho tôi)
(85·(1,021)^4 + 71)·(1,021)^4 ≈ 177,53 triệu đồng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Cần gửi 209/(1,021)^21 ≈ 135,08 triệu, không phải 183,70 triệu.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi n là số tháng. Nợ sau mỗi tháng tăng hệ số 1,006 và người vay trả 9 triệu vào cuối mỗi tháng. Sau n tháng (sau lần trả thứ n), số nợ còn lại là: D_n = 200·1,006^n − 9(1,006^{n−1} + ... + 1) = 200·1,006^n − 9·(1,006^n − 1)/0,006. Hết nợ khi D_n ≤ 0, tức 200·0,006·1,006^n ≤ 9(1,006^n − 1) ⟺ 1,2·1,006^n ≤ 9·1,006^n − 9 ⟺ 7,8·1,006^n ≥ 9 ⟺ 1,006^n ≥ 15/13 ≈ 1,153846. Lấy logarit: n ≥ ln(15/13)/ln(1,006) ≈ 0,143101/0,0059821 ≈ 23,92. Vậy n = 24. Kiểm tra: với n = 23, 1,006^23 ≈ 1,14749, nợ còn lại ≈ 229,498 − 221,235 ≈ 8,26 triệu > 0; tháng thứ 24 người đó trả khoảng 8,26·1,006 ≈ 8,31 triệu (dưới 9 triệu) và hết nợ. Vậy sau 24 tháng người đó trả hết nợ ngân hàng.

Câu 2 (0,5đ):
Tiền thu được sau n kỳ (cả gốc)
$A=P(1+r{)}^n=34(1+7\%{)}^n\ge 62$ — 0,25đ
$⟺(1,07{)}^n\ge \frac{62}{34}⟺n\ge {\log }_{1,07}\frac{62}{34}\simeq 8,88$
$\Rightarrow n=9$ (năm) — 0,25đ

(AI giải đề cho tôi)
Cần $A=500\cdot (1,06{)}^n\ge 1000$ (triệu đồng), tức $(1,06{)}^n\ge 2$. Lấy logarit: $n\ge \frac{\ln 2}{\ln 1,06}\approx \frac{0,6931}{0,0583}\approx 11,90$. Vì $n$ nguyên năm nên $n$ nhỏ nhất là $12$. Kiểm tra: $500\cdot 1,06^{12}\approx 1004,83$ triệu đồng $\ge 1000$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn: 12.

(AI giải đề cho tôi)
Số tiền ban đầu 250 triệu gửi 4 quý (1 năm): $250\cdot (1,02{)}^4=250\cdot 1,08243216=270,60804$ triệu đồng. Số tiền gửi thêm sau 6 tháng nhận lãi trong 2 quý: $100\cdot (1,02{)}^2=104,04$ triệu đồng. Tổng: $270,60804+104,04=374,64804\approx 375$ triệu đồng, khớp với đáp án nguồn 375.

(AI giải đề cho tôi)
Kỳ hạn 3 tháng, lãi suất 2%/quý, lãi nhập gốc. Khoản 200 triệu gửi 4 quý: $200\cdot 1,02^2=208,08$ triệu sau 6 tháng, tiếp tục 2 quý nữa: $208,08\cdot 1,02^2=208,08\cdot 1,0404=216,486432$ triệu. Khoản 150 triệu gửi thêm sau 6 tháng nên chỉ sinh lãi 2 quý: $150\cdot 1,0404=156,06$ triệu. Tổng: $216,486432+156,06=372,546432\approx 373$ triệu đồng, khớp đáp án nguồn.

Gọi $A=50$ (triệu đồng) là số tiền gửi vào mỗi cuối năm, $r=12\%=0,12$ là lãi suất hằng năm và $n$ là số năm gửi tiền.

Số tiền ông B có được sau mỗi năm được tính như sau:
- Cuối năm thứ 1: Ông B gửi vào số tiền là $A$.
- Cuối năm thứ 2:
* Số tiền năm thứ 1 sinh lãi và cộng gốc là: $A(1+r)$.
* Gửi thêm số tiền cuối năm 2 là $A$.
* Tổng số tiền: $S_2=A(1+r)+A$.
- Cuối năm thứ 3:
* Số tiền năm thứ 2 sinh lãi là: $S_2(1+r)=[A(1+r)+A](1+r)=A(1+r{)}^2+A(1+r)$.
* Gửi thêm số tiền cuối năm 3 là $A$.
* Tổng số tiền: $S_3=A(1+r{)}^2+A(1+r)+A$.

Tổng quát, sau $n$ năm, tổng số tiền $S_n$ ông B nhận được là:

$$S_n=A(1+r{)}^{n-1}+A(1+r{)}^{n-2}+\cdots +A(1+r)+A$$

Đây là tổng của một cấp số nhân gồm $n$ số hạng với số hạng đầu $u_1=A$ và công bội $q=(1+r)$.

Áp dụng công thức tổng cấp số nhân $S_n=u_1\cdot \frac{q^n-1}{q-1}$, ta có:

$$S_n=A\cdot \frac{(1+r{)}^n-1}{(1+r)-1}=A\cdot \frac{(1+r{)}^n-1}{r}$$

Thay số vào bài toán:

$$320=50\cdot \frac{(1+0,12{)}^n-1}{0,12}$$
$$\iff 1,12^n=1,768$$
$$\iff n={\log }_{1,12}(1,768)\approx 5,02$$

Vì ông B gửi tiền vào cuối mỗi năm, nên để có ít nhất 320 triệu đồng, ông cần gửi trong $\boxed{\text{6 na˘m}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 1 năm, nợ gốc tăng do lãi kép: $500\cdot 1,098=549$ triệu đồng. Kể từ thời điểm này (sau đúng 1 năm kể từ ngày vay) anh Đạt bắt đầu trả góp, tức khoản trả đầu tiên thực hiện ngay tại thời điểm đó, sau đó mỗi năm một lần, tổng cộng 6 lần với số tiền mỗi lần là $x$ triệu đồng. Lãi suất $i=9,8\%=0,098$.

Phương trình cân bằng giá trị tại thời điểm bắt đầu trả nợ (dạng annuity-due):
$$549=x\cdot \frac{1-1,098^{-6}}{0,098}\cdot 1,098.$$

Tính $1,098^6\approx 1,7523$ nên $1,098^{-6}\approx 0,5707$; do đó
$$x=\frac{549\cdot 0,098}{1,098\cdot (1-0,5707)}\approx \frac{53,802}{0,4711}\approx 114,1.$$

Vậy mỗi lần anh Đạt phải trả khoảng $114$ triệu đồng (khớp với đáp án 114 của mã đề 3267).

(AI giải đề cho tôi)
Sau 1 năm, nợ gốc tăng lên: $500\cdot 1,098=549$ triệu đồng. Gọi $x$ là số tiền trả mỗi lần (triệu đồng), trả tại các thời điểm cách nhau 1 năm, bắt đầu ngay tại thời điểm đó (6 lần). Phương trình quy về thời điểm bắt đầu trả: $x\left(1+\frac{1}{1,098}+\frac{1}{1,098^2}+\cdots +\frac{1}{1,098^5}\right)=549$. Tính $1,098^5\approx 1,595921$, tổng cấp số nhân $=\frac{1,098^6-1}{0,098\cdot 1,098^5}\approx \frac{0,752321}{0,156400}\approx 4,8101$. Suy ra $x\approx \frac{549}{4,8101}\approx 114,13$ triệu đồng, làm tròn đến hàng đơn vị là $114$ triệu đồng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (114).

(AI giải đề cho tôi)
Sau $n$ quý, số tiền là $100\cdot (1,03{)}^n$ (triệu đồng). Cần $100\cdot (1,03{)}^n>130\iff (1,03{)}^n>1,3\iff n>\frac{\ln 1,3}{\ln 1,03}\approx \frac{0,262364}{0,029559}\approx 8,87$. Vậy số quý nguyên dương nhỏ nhất là $n=9$. Kiểm tra: $100\cdot (1,03{)}^9\approx 130,48>130$ và $100\cdot (1,03{)}^8\approx 126,68<130$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: 9.

(AI giải đề cho tôi)
Với $A=500$ (triệu đồng), $r=0,0042$, $X=10$ (triệu đồng). Bạn An rút hết tiền khi $S_n=0$: $$500(1,0042{)}^n-10\cdot \frac{(1,0042{)}^n-1}{0,0042}=0.$$ Suy ra $500(1,0042{)}^n=2380,9524\left((1,0042{)}^n-1\right)$, nên $(2380,9524-500)(1,0042{)}^n=2380,9524$, tức $(1,0042{)}^n=\frac{2380,9524}{1880,9524}\approx 1,26579$. Lấy logarit: $n=\frac{\ln 1,26579}{\ln 1,0042}\approx \frac{0,23564}{0,00419}\approx 56,2$. Làm tròn hàng đơn vị, sau khoảng 56 tháng bạn An rút hết số tiền bố tặng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: 56.