Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Xét bảng dấu của $f^{\prime }(x)$ trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{2\}$: Tại $x=0$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=0$ là điểm cực đại. Tại $x=1$: hàm số xác định, $f^{\prime }(x)$ không xác định nhưng đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Tại $x=2$: hàm số không xác định nên không phải điểm cực trị. Tại $x=3$: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=3$ là điểm cực tiểu. Vậy hàm số có 3 điểm cực trị, khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$, $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Vì hệ số $a=-3<0$, hàm số đạt cực đại tại $x=0$ với $f(0)=2$, đạt cực tiểu tại $x=2$ với $f(2)=-8+12+2=6$. a) ĐÚNG: điểm cực tiểu là $(2;6)$. b) SAI: với $x\in (0;2)$, $f^{\prime }(x)=-3x(x-2)>0$ nên hàm số đồng biến trên $(0;2)$, không nghịch biến. c) SAI: hai điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;6)$, đường thẳng qua chúng có hệ số góc $\frac{6-2}{2-0}=2$, phương trình $y=2x+2$, không phải $y=2x-1$. d) SAI: đường thẳng qua hai điểm cực trị có hệ số góc $2$; để vuông góc cần $(2m+1)\cdot 2=-1\iff m=-\frac{3}{4}\ne 2$.
a) $f^{\prime }(x)=-3x^2+6x=-3x(x-2)$; $f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Vì $a=-3<0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$ với $f(2)=-8+12+2=6$. Vậy điểm cực tiểu là $(2;6)$: ĐÚNG.
b) Với $x\in (0;2)$: $x>0$ và $x-2<0$ nên $f^{\prime }(x)=-3x(x-2)>0$. Vậy hàm số đồng biến trên $(0;2)$, mệnh đề nghịch biến là SAI.
c) Hai điểm cực trị là $(0;2)$ và $(2;6)$. Đường thẳng qua chúng có hệ số góc $\frac{6-2}{2-0}=2$, phương trình $y=2x+2$, không phải $y=2x-1$: SAI.
d) Đường thẳng qua hai điểm cực trị có hệ số góc $2$. Để $d$ vuông góc với nó cần $(2m+1)\cdot 2=-1\iff 2m+1=-\frac{1}{2}\iff m=-\frac{3}{4}\ne 2$: SAI.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên ở trang 72: $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=-1$ nên $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=0$ hàm số không xác định (có vạch đôi trong bảng biến thiên) nên không phải điểm cực trị. Sau $x=0$, $y^{\prime }$ mang dấu $+$ rồi đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$ nên $x=1$ cũng là một điểm cực đại. Vậy hàm số có 2 điểm cực trị, đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm bậc ba đi lên, có điểm cực đại tại x≈0,5 và điểm cực tiểu tại x=2 (dấu chấm trên đồ thị), hàm nghịch biến trên (0,5; 2) và đồng biến trên (-∞; 0,5) và (2; +∞).
a) Đúng: đồ thị có hai điểm cực trị (một cực đại, một cực tiểu).
b) Đúng: sau x=2 hàm đồng biến, nên đồng biến trên (3; +∞).
c) Sai: g(x)=f(3x) có đạo hàm g'(x)=3f'(3x), g'(x)=0 khi f'(3x)=0, tức 3x=0,5 hoặc 3x=2, cho hai nghiệm x=1/6 và x=2/3, đổi dấu đạo hàm tương ứng, nên g có hai cực trị chứ không phải một.
d) Sai: khi x→-∞ thì f(x)→-∞ nên hàm không có giá trị nhỏ nhất trên ℝ; x=2 chỉ là điểm cực tiểu (cực trị địa phương).
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có một điểm cực đại (x≈0,5) và một điểm cực tiểu (x=2), nên f có hai cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hàm đồng biến trên (2; +∞), do đó đồng biến trên (3; +∞).
c) (AI giải đề cho tôi)
g'(x)=3f'(3x)=0 khi 3x là điểm cực trị của f, tức x=1/6 và x=2/3: g có hai cực trị, không phải một.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì f(x)→-∞ khi x→-∞, hàm không đạt GTNN trên ℝ; x=2 chỉ là điểm cực tiểu.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dấu $f^{\prime }(x)=x^2(x-1)(x-2{)}^3$. Với $x<1$: $x^2>0$, $(x-1)<0$, $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)>0$. Với $1<x<2$: $x^2>0$, $(x-1)>0$, $(x-2{)}^3<0$ nên $f^{\prime }(x)<0$. Với $x>2$: cả ba nhân tố dương nên $f^{\prime }(x)>0$. Tại $x=1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại. Tại $x=2$, $f^{\prime }$ không đổi dấu (vẫn dương) nên không phải cực trị; $x=0$ cũng không phải nghiệm đổi dấu. Vậy hàm số có đúng 1 điểm cực đại.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3-3x^2-9x+5$, ta có $y^{\prime }=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)$. $y^{\prime }=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$. Tại $x=-1$: $y=-1-3+9+5=10$, điểm cực đại $A(-1;10)$. Tại $x=3$: $y=27-27-27+5=-22$, điểm cực tiểu $B(3;-22)$. Khoảng cách $AB=\sqrt{(3+1{)}^2+(-22-10{)}^2}=\sqrt{16+1024}=\sqrt{1040}=4\sqrt{65}\approx 64,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=x^2-4x+3$. Cho $y^{\prime }=0\Rightarrow x=1$ hoặc $x=3$. Vì hệ số $a=\frac{1}{3}>0$, hàm số đạt cực đại tại $x=1$ và cực tiểu tại $x=3$. Tọa độ điểm cực tiểu: $y(3)=\frac{1}{3}\cdot 27-2\cdot 9+9+1=9-18+9+1=1$, tức điểm cực tiểu là $(3;1)$. Vậy chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm số $y=f(x)$: hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên $(0;1)$. Tại $x=0$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ dương sang âm nên hàm số đạt cực đại tại điểm $M(0;0)$, tức cực đại tại $x=0$. Tại $x=1$, $f^{\prime }(x)$ đổi dấu từ âm sang dương nên hàm số đạt cực tiểu tại $N(1;-1)$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Cho $y=x^3+9x^2-10$, ta có $y^{\prime }=3x^2+18x=3x(x+6)$. Cho $y^{\prime }=0$ được $x=0$ hoặc $x=-6$. Xét dấu $y^{\prime }$: $y^{\prime }>0$ khi $x<-6$, $y^{\prime }<0$ khi $-6<x<0$, $y^{\prime }>0$ khi $x>0$. Vậy hàm số đạt cực đại tại $x=-6$, tức $a=-6$, và $b=(-6{)}^3+9\cdot (-6{)}^2-10=-216+324-10=98$. Do đó $b-a=98-(-6)=104$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: tại $x=-3$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ nên $x=-3$ là điểm cực tiểu với giá trị cực tiểu $f(-3)=5$. Tại $x=-2$ hàm số không xác định (tiệm cận đứng), không phải cực trị. Tại $x=1$, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ nên $x=1$ là điểm cực đại, và bảng cho $f(1)=0$. Vậy giá trị cực đại của hàm số là $f(1)=0$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x(x+1)(x+2{)}^2$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$: $x=0$, $x=-1$, $x=-2$ (nghiệm kép). Xét dấu: với $x<-2$, $f^{\prime }(x)<0$; qua $x=-2$ (nghiệm bậc chẵn) dấu không đổi, vẫn $f^{\prime }(x)<0$; qua $x=-1$ dấu đổi từ $-$ sang $+$; qua $x=0$ dấu đổi từ $+$ sang $-$. Vậy $f^{\prime }$ đổi dấu tại $x=-1$ và $x=0$, tức hàm số có đúng 2 điểm cực trị (một cực tiểu tại $x=-1$, một cực đại tại $x=0$). Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị hàm bậc ba: hàm đạt cực tiểu tại điểm $(0;-4)$ nên $y_{CT}=-4$; đạt cực đại tại điểm $(2;0)$ nên $y_{CĐ}=0$. Tổng $y_{CĐ}+y_{CT}=0+(-4)=-4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn ở trang 28 (bảng Phần III, Mã đề 2101, Câu 5: -4).

Từ đồ thị, hàm số đạt giá trị cực đại bằng 0 (tại $x=2$) và giá trị cực tiểu bằng $-4$ (tại $x=0$). Tổng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng $0+(-4)=-4$. (Nguồn: lời giải in trong tài liệu, trang 11 của lời giải - Trả lời: $-4$.)

Tổng giá trị cực đại và cực tiểu của hàm số bằng $0+(-4)=-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=x^2(x+1{)}^3(x^2-3x)=x^3(x+1{)}^3(x-3)$. Nghiệm của $f^{\prime }(x)$ là $x=0$, $x=-1$, $x=3$, tất cả đều là nghiệm bội lẻ (do các lũy thừa $x^3$, $(x+1{)}^3$ và nhân tử đơn $x-3$), nên $f^{\prime }(x)$ đổi dấu qua mỗi nghiệm đó. Cụ thể: qua $x=-1$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương (cực tiểu); qua $x=0$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ dương sang âm (cực đại); qua $x=3$, $f^{\prime }$ đổi dấu từ âm sang dương (cực tiểu). Vậy hàm số có $3$ điểm cực trị, khớp với đáp án nguồn (Câu 15: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị $y=f^{\prime }(x)$ (parabol bậc ba cắt trục hoành tại $x=-2$, $x=3$, $x=6$): $f^{\prime }(x)>0$ trên $(-2;3)$, $f^{\prime }(x)<0$ trên $(3;6)$, $f^{\prime }(x)>0$ với $x>6$. Vậy $f$ đồng biến trên $(-2;3)$, nghịch biến trên $(3;6)$, nên hàm số đạt cực đại tại $x=3$ (đạt cực tiểu tại $x=6$; tại $x=-2$ hàm đi từ âm sang dương nên là cực tiểu). Đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng biến thiên: $f^{\prime }(x)$ đổi dấu tại $x=-3$ (từ $-$ sang $+$: cực tiểu, $f(-3)=-2$), tại $x=1$ (từ $+$ sang $-$: cực đại, $f(1)=3$), tại $x=4$ (từ $-$ sang $+$: cực tiểu, $f(4)=1$).
a) Đúng: hàm số có đúng ba điểm cực trị $x=-3,1,4$.
b) Sai: trên đoạn $[-3;4]$, ta so sánh $f(-3)=-2$, $f(1)=3$, $f(4)=1$ nên giá trị nhỏ nhất là $-2$, không phải $3$.
c) Sai: trên khoảng $(1;3)$ ta có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến, không đồng biến.
d) Sai: giá trị cực tiểu của hàm số là $f(-3)=-2$ (và $f(4)=1$); $f(1)=3$ là giá trị cực đại. Kết quả Đúng–Sai–Sai–Sai khớp đáp án mã đề 1202 (DSSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)$ đổi dấu ba lần tại $x=-3,1,4$ nên hàm số có đúng ba điểm cực trị.
b) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[-3;4]$: $f(-3)=-2$, $f(1)=3$, $f(4)=1$ nên $\min f=-2\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $(1;3)$ có $f^{\prime }(x)<0$ nên hàm số nghịch biến.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giá trị cực tiểu là $f(-3)=-2$; $f(1)=3$ là giá trị cực đại.

a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng. (Theo bảng đáp án mã đề 1201, câu 13: ĐĐSĐ)

Tập xác định $\mathbb{R}$ (0,25 điểm)
Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+6x+9$. (0,25 điểm)
$y^{\prime }=0\iff -3x^2+6x+9=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}$.
BBT: (0,25 điểm)

Hàm số đạt cực đại tại $x=3$ và giá trị cực đại là $y=28$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ và giá trị cực tiểu $y=-4$. (0,25 điểm)

Tập xác định $\mathbb{R}$ (0,25 điểm)
Ta có: $y^{\prime }=-3x^2+6x+9$. (0,25 điểm)
$y^{\prime }=0\iff -3x^2+6x+9=0\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}$.
BBT: (0,25 điểm)

Hàm số đạt cực đại tại $x=3$ và giá trị cực đại là $y=28$.
Hàm số đạt cực tiểu tại $x=-1$ và giá trị cực tiểu $y=-4$. (0,25 điểm)