Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Cực trị (Toán học Lớp 12)

Chọn A
$y^{\prime }=x^3-3x^2+1-m$.
Để hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình $y^{\prime }=0\iff x^3-3x^2+1=m$ phải có 3 nghiệm phân biệt.
Xét $f(x)=x^3-3x^2+1$: $f^{\prime }(x)=3x^2-6x=0\iff x=0;x=2$.
$f(0)=1,f(2)=-3$.
Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi $-3<m<1$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2;-1;0\}$. Có 3 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Chọn A.
Hàm số đạt cực đại tại $x=2$.

Chọn B.
Số điểm cực trị của hàm số là số lần đổi dấu của $f^{\prime }(x)$.
Dựa vào bảng biến thiên ta có $f^{\prime }(x)$ đổi dấu hai lần nên hàm số có $2$ điểm cực trị tại $x=-2;x=0$.

Chọn A.
Đặt $g(x)=3x^4-4x^3-12x^2+m\Rightarrow g^{\prime }(x)=12x^3-12x^2-24x$.
Xét $g^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr><tr><td>x=2</td></tr></tbody></table>$. Nhận xét $y=g(x)$ có $3$ điểm cực trị.
Do đó $y=|g(x)|$ có $5$ điểm cực trị $\Rightarrow g(x)=0$ có $2$ nghiệm bội lẻ $\iff h(x)=3x^4-4x^3-12x^2=-m$ có $2$ nghiệm bội lẻ.
Khảo sát và lập bảng biến thiên của hàm $h(x)$ ta được:

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy yêu cầu bài toán $\iff [<table><tbody><tr><td>-m\ge 0</td></tr><tr><td>-32<-m\le -5</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>m\le 0</td></tr><tr><td>5\le m<32</td></tr></tbody></table>$.
Lời giải gốc (trang 21) tính cả $m=0$: $m\in \{0\}\cup \{5;6;\dots ;30;31\}$, vậy có tất cả $27$ giá trị thỏa mãn (Chọn A; nếu chỉ lấy $m$ nguyên dương $m\ge 1$ thì có $26$ giá trị $m\in \{5;6;\dots ;31\}$).

Ta có $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ khi qua $x=1$ nên hàm số đã cho đạt cực đại tại $x=1$. Chọn B.

Ta có $f^{\prime }(x)=(x-1{)}^2(x-2{)}^3(x-3)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=3</td></tr></tbody></table>$.
Bảng biến thiên:

Đạo hàm $f^{\prime }(x)$ đổi dấu khi qua $x=2$ và $x=3$ (không đổi dấu qua nghiệm bội chẵn $x=1$) nên hàm số có $2$ cực trị. Chọn A.

Với $a=-3$: $y=3$ là hàm hằng nên không có cực trị.
Với $a=3$: $y=-6x^2+3$ đạt cực đại tại $x=0$.
Với $a\ne \pm 3$: $y^{\prime }=4(a^2-9)x^3-2(a+3)x=2x\left[2(a^2-9)x^2-(a+3)\right]=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x^2=\frac{1}{2(a-3)}(\ast )</td></tr></tbody></table>$.
- TH1: $a>3$, khi đó $(\ast )$ có $2$ nghiệm phân biệt $x=\pm \sqrt{\frac{1}{2(a-3)}}$, hàm số có $3$ cực trị nên luôn có điểm cực đại.
- TH2: $-3<a<3$, khi đó $a^2-9<0$ và $-(a+3)<0$ nên $(\ast )$ vô nghiệm, $y^{\prime }$ đổi dấu từ $+$ sang $-$ qua $x=0$ nên hàm số đạt cực đại tại $x=0$.
- TH3: $a<-3$, khi đó $a^2-9>0$ và $-(a+3)>0$ nên $(\ast )$ vô nghiệm, hàm số chỉ đạt cực tiểu tại $x=0$.
Vậy $a>-3$, kết hợp $a\in [-10;10]$ và $a\in \mathbb{Z}$ ta có $a\in \{-2;-1;0;1;\dots ;10\}$ gồm $13$ số nguyên. Chọn A.

Từ bảng xét dấu của $f^{\prime }(2x+1)$ suy ra $f^{\prime }(2x+1)$ đổi dấu tại $x\in \left\{-1;0;\frac{1}{2}\right\}$, do đó hàm số $f(u)$ có $3$ điểm cực trị là $u=-1,u=1,u=2$.
Nhận xét: hàm số $g(x)=f\left(|x^{2023}+2023x|+m\right)$ là hàm số chẵn nên $g(x)$ có ít nhất $5$ điểm cực trị khi và chỉ khi hàm số $g(x)=f(x^{2023}+2023x+m)$ có ít nhất $2$ điểm cực trị dương.
Xét trên $(0;+\infty )$, ta có $g^{\prime }(x)=(2023x^{2022}+2023)f^{\prime }(x^{2023}+2023x+m)=0\iff x^{2023}+2023x\in \{-1-m;1-m;2-m\}$.
Vì hàm số $h(x)=x^{2023}+2023x$ đồng biến trên $(0;+\infty )$ với $h(0)=0$ và ${\lim }_{x\to +\infty }h(x)=+\infty$, đồng thời $-1-m<1-m<2-m$, nên $g^{\prime }(x)=0$ có ít nhất $2$ nghiệm dương bội lẻ khi và chỉ khi $1-m>0\iff m<1$.
Kết hợp $m\in [-2023;2023]$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta có $m\in \{-2023;-2022;\dots ;0\}$, tức là có $2024$ giá trị nguyên của $m$. Chọn C.

Quan sát đồ thị hàm số, điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là $(0;-2)$. (Nguồn: đề trang 2, bảng đáp án Mã đề [101] trang 7).

Từ bảng biến thiên, giá trị cực đại của hàm số đã cho bằng $4$ (đạt tại $x=-1$). (Nguồn: đề trang 3, bảng đáp án Mã đề [101] trang 7).

Hàm số có $3$ điểm cực trị khi và chỉ khi $y^{\prime }=12x^3-18x^2+m=0$ có $3$ nghiệm thực phân biệt $\iff m=-12x^3+18x^2$ có $3$ nghiệm phân biệt. Xét $g(x)=-12x^3+18x^2$ có $g^{\prime }(x)=-36x^2+36x=0\iff x=0$ hoặc $x=1$, $g(0)=0,g(1)=6$. Do đó $0<m<6$, suy ra $m\in \{1;2;3;4;5\}$ (có $5$ giá trị nguyên). (Nguồn: đề trang 5, bảng đáp án Mã đề [101] trang 7).

Phương trình $f^{\prime }(x)=0\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=\frac{1}{2}</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>$. Do $x=0$ và $x=\frac{1}{2}$ là các nghiệm bội chẵn nên $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua nghiệm đơn $x=-1$. Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đã cho có $1$ điểm cực trị.

Dựa vào bảng biến thiên, hàm số đạt cực tiểu tại $x=1$ và giá trị cực tiểu của hàm số bằng $y_{\text{CT}}=0$.

Xét hàm số $h(x)=f(x^3-3x)$ với $x>0$. Ta có $h^{\prime }(x)=(3x^2-3)f^{\prime }(x^3-3x)=0$ (với $x>0$) tại $x\in \{1;\sqrt{3};2\}$. Lập bảng biến thiên của hàm chẵn $u(x)=f(|x{|}^3-3|x|)$, hàm số $u(x)$ có $7$ điểm cực trị với các giá trị cực đại là $5$ và các giá trị cực tiểu là $-5,-10$. Để hàm số $y=|u(x)-5m|$ có đúng $9$ điểm cực trị thì phương trình $u(x)=5m$ phải cắt đồ thị $u(x)$ tại đúng $2$ điểm đơn (khác các điểm cực trị), điều này xảy ra khi $5m\ge 5\iff m\ge 1$. Kết hợp $m\in \mathbb{Z},m\in [-20;20]$ suy ra $1\le m\le 20$, có $20$ giá trị nguyên của $m$.

Do $1<b\le 2$ nên $(b-1)(b^2-4)\le 0\iff b^2+4b-4\ge b^3$. Suy ra $P\ge 2{\log }_a{b}^3+{\left(\frac{1}{{\log }_{a}b-1}\right)}^2=6{\log }_{a}b+\frac{1}{({\log }_{a}b-1{)}^2}$. Đặt $t={\log }_{a}b>1$ (vì $1<a<b$). Xét $f(t)=6t+\frac{1}{(t-1{)}^2}$ với $t>1$, ta có $f^{\prime }(t)=6-\frac{2}{(t-1{)}^3}=0\iff t=1+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$. Khi đó ${\min }_{t>1}f(t)=f\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)=6+3\sqrt[3]{9}$. Suy ra $m=6,n=9\Rightarrow S=2m+n=21$.

Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho là $(0;-1)$.

Chọn B
$f^{\prime }(x)=0\iff x=0$ (nghiệm bội 2), $x=2$ (nghiệm đơn), $x=-1$ (nghiệm đơn).
Đạo hàm chỉ đổi dấu khi qua $x=-1$ và $x=2$, do đó hàm số có 2 điểm cực trị.

Từ bảng biến thiên ta thấy $f^{\prime }(x)$ đổi dấu $2$ lần khi đi qua $x=-1$ và $x=3$ nên hàm số đã cho có $2$ điểm cực trị.

Ta có $f^{\prime }(x)=0\iff (x+1)(x-1{)}^2=0\iff [\begin{array}{rl}& x=-1\\ & x=1\end{array}$. Vì $(x-1{)}^2\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$ nên $f^{\prime }(x)$ chỉ đổi dấu khi đi qua nghiệm đơn $x=-1$. Vậy hàm số chỉ có $1$ điểm cực trị.

Xét hàm số $y=x^4+2x^2$, ta có $y^{\prime }=4x^3+4x=4x(x^2+1)$. Phương trình $y^{\prime }=0$ có đúng một nghiệm đơn $x=0$ và đổi dấu qua $x=0$, do đó hàm số có đúng một điểm cực trị. Chọn B.