Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc 72 km/h thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó 50 m. Người lái xe phải xử lý mất 2 giây mới đưa ra được quyết định đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t)=-10t+20$ (m/s), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

Giả sử, hàm cầu và hàm cung của một loại sản phẩm lần lượt được mô hình hóa bởi các hàm số: $D(p)=-0,05p^2-0,15p+45$ và $S(p)=0,1p^2+0,15p$, trong đó $p$ là giá của sản phẩm ($10\le p\le 30$). Thặng dư của người tiêu dùng là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm cầu $D(p)$, đường thẳng nằm ngang $q=q_0$ và đường thẳng thẳng đứng $p=0$. Thặng dư của người sản xuất là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm cung $S(p)$, đường thẳng nằm ngang $q=q_0$ và đường thẳng thẳng đứng $p=0$, ở đây $(p_0;q_0)$ là điểm cân bằng thị trường (điểm giao nhau của đồ thị hàm cung và đồ thị hàm cầu).

Vi nhựa (microplastics) là các hạt nhựa có kích thước rất nhỏ, có thể xâm nhập vào cơ thể người qua nhiều con đường như thực phẩm, nước uống và không khí. Nhiều chuyên gia cảnh báo rằng việc phơi nhiễm vi nhựa kéo dài có thể làm tăng nguy cơ suy giảm sức khỏe và rút ngắn tuổi thọ. Giả sử kể từ thời điểm người đó tròn $20$ tuổi, tốc độ xâm nhập của vi nhựa vào cơ thể (tính theo thời gian sống sau tuổi $20$) được mô hình hóa bởi hàm số $m(t)=2t+4\sqrt{t}+100$ ($0\le t\le 30$, đơn vị: microgram/năm), trong đó $t$ là số năm kể từ khi người đó tròn $20$ tuổi, còn $m(t)$ là tốc độ xâm nhập của vi nhựa vào cơ thể tại thời điểm $t$.
Gọi $M(t)$ (đơn vị: microgram) là tổng lượng vi nhựa đã tích lũy trong cơ thể người đó tại thời điểm $t$ năm sau $20$ tuổi. Biết rằng $M^{\prime }(t)=m(t)$ và tại thời điểm người đó vừa tròn $20$ tuổi cơ thể đã tích lũy sẵn $800$ microgram vi nhựa.

Một hạt chuyển động trên một đường thẳng có gắn một trục tọa độ với gốc tọa độ là vị trí hạt bắt đầu chuyển động. Tọa độ của hạt trên trục tại thời điểm $t$ (đơn vị: giây) kể từ khi xuất phát được cho bởi công thức $x(t)=2t-3\ln (t+1)$ (đơn vị: mét), $t\ge 0$. Hàm số $v(t)=x^{\prime }(t)$ (đơn vị: mét/giây) biểu thị vận tốc chuyển động của hạt.

Cây cà chua khi trồng có chiều cao 6 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số $v(t)=-0,1t^3+t^2$, trong đó $t$ tính theo tuần, $v(t)$ tính bằng cm/tuần. Gọi $h(t)$ (tính bằng cm) là chiều cao của cây cà chua ở tuần thứ $t$.

Xe A xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật $v_A(t)=\frac{1}{180}{t}^2+\frac{11}{18}t\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ (đơn vị: giây (s)) là khoảng thời gian tính từ lúc xe A bắt đầu chuyển động và $t\le 60\text{ (giaˆy)}$. Từ trạng thái nghỉ, xe B cũng xuất phát từ $O$, chuyển động thẳng cùng hướng với xe A nhưng chậm hơn 5 giây so với xe A và có gia tốc bằng $a{\text{ (m/s}}^2)$ ($a$ là hằng số). Sau khi xe B chạy được 10 giây thì đuổi kịp xe A. Tính vận tốc (đơn vị m/s) của xe B tại thời điểm đuổi kịp xe A.

Bác An lên kế hoạch làm một cái biển quảng cáo phẳng, có thiết kế là phần được tô màu đậm trong hình vẽ bên. Đường cong $(P)$ là một parabol có đỉnh là điểm $F$, có trục đối xứng là $FH$ và đi qua các điểm $A,B$. Tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=8$ m, $BC=3$ m, $EH=6$ m, $FH=2$ m. Bác An kí hợp đồng với công ty X với đơn giá là 1,1 triệu đồng/$1{\text{m}}^2$. Hỏi số tiền mà bác An phải trả sau khi làm xong cái biển quảng cáo là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?

Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số $B^{\prime }(t)=20t^3-300t^2+1000t$, trong đó $t$ tính bằng giờ ($0\le t\le 15$), $B^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ. Sau hai giờ, $1375$ người đã có mặt tại lễ hội. Gọi $B(t)$ (tính bằng khách) là số lượng khách tới tham dự lễ hội sau $t$ giờ (Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).

Ông A có mảnh đất hình chữ nhật chiều dài $16\text{ m}$, chiều rộng $6\text{ m}$. Ông A muốn thiết kế mảnh đất đó thành ba phần bởi đường cong hypebol (như hình vẽ). Ông A dự định trồng hoa ở hai phần đất được giới hạn bởi đường cong hypebol và chiều dài mảnh đất, phần đất còn lại ông lát đá. Biết chi phí trồng hoa là $150.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$ và lát đá là $300.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Tính chi phí mà ông A bỏ ra để hoàn thành dự định của mình, (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần chục)

Tại khu nghỉ dưỡng Bocbandi ở Pù Luông Thanh Hóa, nhà đầu tư xây một cái bể bơi nhằm đáp ứng nhu cầu giải trí của khách du lịch. Theo bản thiết kế bể bơi hình chữ nhật chiều dài $25$m, chiều rộng $8$m, một đầu độ sâu là $1,2$m và đầu kia là $2,2$m (độ sâu là chiều cao tính từ đáy bể đến mép trên của bể), đáy bể được lát phẳng (tham khảo hình vẽ). Để bơm nước vào bể người ta lắp $1$ máy bơm công suất $1{\text{ m}}^3/\text{phuˊt}$. Trong thời gian bơm từ phút thứ $45$ đến phút thứ $120$, tính từ lúc bắt đầu bơm (bơm từ lúc bể không có nước), thì mực nước dâng lên được một độ cao là bao nhiêu. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm, đơn vị là mét).

Một vật chuyển động với vận tốc cho bởi hình vẽ.

Vào một buổi sáng, bạn Quyết đi xe đạp từ nhà tới trường với vận tốc $v(t)=2t^2+t$ (mét/phút) (với $t$ là thời gian tính bằng phút, kể từ lúc bắt đầu đi).

Một ô tô bắt đầu chuyển động thẳng nhanh dần đều với tốc độ $v(t)=5t$ (m/s); trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi ô tô bắt đầu chuyển động. Đi được $6$ (s) người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-5$ (m/s${}^2$).

Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v(t)=t\text{ (m/s)}$. Đi được 20 giây, người lái xe phát hiện chướng ngại vật cách đó $30\text{ m}$ và đạp phanh khẩn cấp, kể từ lúc đó ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-10{\text{ m/s}}^2$ cho đến khi dừng hẳn.

Một công ty A sở hữu một khu khai thác dầu, bắt đầu khai thác dầu tại thời điểm $t=0$. Dựa trên ước tính của trữ lượng dầu, giả sử tốc độ khai thác dự kiến được đưa ra bởi $Q^{\prime }(t)=3t^2(40-t{)}^2$, với $0\le t\le 40$, $Q$ được đo bằng hàng triệu thùng, $t$ được tính theo năm.

Một vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng $x=1$ và $x=3$, biết rằng khi cắt vật thể bởi một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x(1\le x\le 3)$ thì được thiết diện là một hình vuông có cạnh bằng $\sqrt{3}x$. Thể tích của vật thể bằng

Một chiếc xe đua F1 đạt tới vận tốc lớn nhất là $360\text{ km/h}$. Đồ thị bên biểu thị vận tốc $v$ của xe trong $5$ giây đầu tiên kể từ lúc xuất phát. Đồ thị trong $2$ giây đầu là một phần của một parabol đỉnh tại gốc tọa độ $O$, giây tiếp theo là đoạn thẳng và sau đúng ba giây thì xe đạt vận tốc lớn nhất. Biết rằng mỗi đơn vị trục hoành biểu thị $1$ giây, mỗi đơn vị trục tung biểu thị $10\text{ m/s}$ và trong $5$ giây đầu xe chuyển động theo đường thẳng. Hỏi trong $5$ giây đó xe đã đi được quãng đường là bao nhiêu?

Tại một khu du lịch vào ngày lễ hàng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ $(0\le t\le 13)$, $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ. Cho biết sau $2$ giờ đã có $500$ người có mặt.

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi $v(t)=5+3t(\text{m/s})$, với $t$ là thời gian kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau $35$ giây thì máy bay cất cánh trên đường băng. Gọi $s(t)$ là quãng đường máy bay di chuyển được sau $t$ giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Mỗi mệnh đề sau đúng hay sai?

Một ô tô đang chạy với vận tốc $10\text{ m/s}$ thì gặp chướng ngại vật, người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-2t+10(\text{m/s})$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong $8$ giây cuối cùng.