Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

Một bồn chứa hình trụ có diện tích đáy $S=100{\text{ m}}^2$ đang chứa $1000{\text{ m}}^3$ hóa chất lỏng. Do sự cố, hóa chất bị rò rỉ ra ngoài qua một lỗ hổng ở đáy. Đồng thời, do nhiệt độ cao, hóa chất cũng bị bốc hơi khỏi bề mặt. Tốc độ rò rỉ tại thời điểm $t$ (giờ) kể từ lúc bắt đầu sự cố tỉ lệ thuận với căn bậc hai của chiều cao cột chất lỏng $h(t)$ còn lại trong bồn: $v_r(t)=10\sqrt{h(t)}$ (${\text{m}}^3/$giờ). Tốc độ bốc hơi tỉ lệ thuận với diện tích bề mặt tiếp xúc (là đáy trên của hình trụ) và thay đổi theo thời gian: $v_b(t)=\frac{200}{t+1}$ (${\text{m}}^3/$giờ). Gọi $V(t)$ là thể tích hóa chất còn lại trong bồn tại thời điểm $t$ (giờ). Biết $V(0)=1000{\text{ m}}^3$.

Một quần thể vi khuẩn $(A)$ có số lượng cá thể là $P(t)$ tại thời điểm $t$ phút quan sát được phát hiện thay đổi với tốc độ là $P^{\prime }(t)=a\cdot e^{0,1t}+150e^{-0,03t}$ (vi khuẩn/phút), $(a\in \mathbb{R})$. Biết rằng lúc bắt đầu quan sát, quần thể có $200000$ vi khuẩn và đạt tốc độ tăng trưởng là $350$ vi khuẩn/phút.

Một vật đang chuyển động với vận tốc $v=72\text{ (km/h)}$ thì thay đổi vận tốc với gia tốc được tính theo thời gian $t$ là $a(t)=-4+2t{\text{ (m/s}}^2\text{)}$.

Nhiệt độ trung bình của Trái Đất có xu hướng tăng do nồng độ ${\text{CO}}_2$ trong khí quyển. Giả sử lượng ${\text{CO}}_2$ trong khí quyển (tính bằng ppm - parts per million) được mô tả bởi phương trình: $C(t)=100+20t-2t^2$, trong đó $t$ được tính theo năm, $t=0$ ứng với năm $2025$. Mối quan hệ giữa nhiệt độ trung bình của Trái Đất $T(t)$ (tính bằng ${}^{\circ }\text{C}$) và nồng độ ${\text{CO}}_2$ được mô tả bởi phương trình: $T(t)={\int }_0^{t}kC(x)\mathrm{d}x$ với hằng số $k=0,005$ (mức độ ảnh hưởng của ${\text{CO}}_2$ lên nhiệt độ). Nếu không có biện pháp giảm phát thải ${\text{CO}}_2$, nhiệt độ trung bình của Trái Đất có thể tăng thêm bao nhiêu ${}^{\circ }\text{C}$ từ năm $2025$ đến năm $2040$?

Nhiệt độ trung bình của Trái Đất có xu hướng tăng do nồng độ ${\text{CO}}_2$ trong khí quyển. Giả sử lượng ${\text{CO}}_2$ trong khí quyển (tính bằng ppm - parts per million) được mô tả bởi phương trình: $C(t)=200+20t-2t^2$, trong đó $t$ được tính theo năm, $t=0$ ứng với năm $2025$. Mối quan hệ giữa nhiệt độ trung bình của Trái Đất $T(t)$ (tính bằng ${}^{\circ }\text{C}$) và nồng độ ${\text{CO}}_2$ được mô tả bởi phương trình: $T(t)={\int }_0^{t}kC(x)\mathrm{d}x$ với hằng số $k=0,005$ (mức độ ảnh hưởng của ${\text{CO}}_2$ lên nhiệt độ). Nếu không có biện pháp giảm phát thải ${\text{CO}}_2$, nhiệt độ trung bình của Trái Đất có thể tăng thêm bao nhiêu ${}^{\circ }\text{C}$ từ năm $2025$ đến năm $2040$?

Một quần thể vi khuẩn ban đầu có $500$ con. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ ($t\ge 0$). Tốc độ tăng trưởng vi khuẩn của quần thể này tại thời điểm $t$ được cho bởi hàm số $P^{\prime }(t)=kt$, trong đó $k$ là một hằng số. Biết rằng sau $2$ giờ, số lượng vi khuẩn của quần thể tăng lên thành $1200$ vi khuẩn.

Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu chuyển động. Trong $6$ phút đầu tiên với tốc độ được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol; biết rằng sau $5$ phút thì xe đạt đến tốc độ cao nhất $1000\text{ m/phuˊt}$ và bắt đầu giảm tốc độ. Sau khi đi được $6$ phút thì xe chuyển động đều (tham khảo hình vẽ). Quãng đường xe đi được sau $8$ phút đầu tiên kể từ khi hết đèn đỏ là bao nhiêu mét?

Trong một nhà máy, tốc độ tiêu thụ điện năng của một dây chuyền sản xuất sau khi khởi động có xu hướng giảm dần theo thời gian và tiến về mức ổn định. Giả sử sau khi bắt đầu vận hành được $t$ giờ, tốc độ tiêu thụ điện năng của dây chuyền sản xuất này được mô hình bởi hàm số $E^{\prime }(t)=A+e^{-0,4t}$ (đơn vị: $\text{kWh}$/giờ) ($0\le t\le 10$), trong đó $E(t)$ ($\text{kWh}$) là lượng điện năng tiêu thụ tính từ lúc bắt đầu vận hành, $A$ là hằng số dương. Biết rằng trong $10$ giờ đầu tiên, dây chuyền đã tiêu thụ tổng cộng $150\text{ kWh}$.

Một lon sữa cho trẻ em được lấy ra khỏi tủ lạnh và đặt trên bàn để rã đông. Nhiệt độ của lon sữa tại thời điểm lấy ra khỏi tủ lạnh là $-4^{\circ }\text{C}$ và sau $t$ giờ, tốc độ tăng nhiệt độ của lon sữa được cho bởi công thức: $T^{\prime }(t)=7{\text{e}}^{-0,35t}$ (${}^{\circ }\text{C}$/giờ) cho đến khi lon sữa đạt nhiệt độ môi trường là $10^{\circ }\text{C}$.

Tại thời điểm $t=0$, một chiếc xe đang chuyển động về một hướng với vận tốc ban đầu $v_0=10\text{ (m/s)}$, gia tốc của xe từ thời điểm đó được tính bằng công thức $a(t)=-2t+4{\text{ (m/s}}^2\text{)}$. Sau thời điểm đó 3 giây, do gặp chướng ngại vật nên xe bắt đầu phanh gấp và chuyển động biến đổi đều với gia tốc mới $a_m(t)=-6{\text{ (m/s}}^2\text{)}$.

Một người chuyển động trên một quãng đường thẳng, mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian được minh họa như hình vẽ. Đường cong trong hình vẽ là một phần của parabol.

Trong một trò chơi điện tử, có bốn chất điểm $A,B,C,D$ đang di chuyển trên các đường thẳng song song như hình vẽ. Lập trình viên đã lập trình vận tốc của các chất điểm $A,B,C$ lần lượt là $v_A(t)=t+2$; $v_B(t)=2t$ và $v_C(t)=11-2t$ (Với $t$ tính bằng giây từ lúc bắt đầu chuyển động và $v$ tính bằng $\text{m/s}$ và giả thiết rằng khi $v<0$ thì chất điểm đang di chuyển từ phải qua trái)

Biết vận tốc của chất điểm $D$ tại một thời điểm bất kì được tính bằng vận tốc nhỏ nhất của ba chất điểm $A,B,C$. Quãng đường chất điểm $D$ đi được trong $5$ giây đầu tiên bằng bao nhiêu mét?

Cây cà chua khi trồng có chiều cao $5\text{ cm}$. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng $t$ tuần được cho bởi hàm số $v(t)=-0,1t^3+t^2$, đơn vị: centimét/tuần. Gọi $h(t)$ là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ $t$, đơn vị: centimét. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Có hai chất điểm $A,B$ đang chuyển động thì xảy ra va chạm (tham khảo hình vẽ bên dưới). Biết rằng sau khi va chạm hai chất điểm di chuyển về hai hướng ngược nhau, chất điểm $A$ di chuyển tiếp với tốc độ $v_1(t)=6-3t\text{ (m/s)}$, chất điểm $B$ di chuyển với tốc độ $v_2(t)=12-4t\text{ (m/s)}$ trước khi cả hai dừng lại, $t$ là thời gian tính bằng giây, thời điểm ban đầu $t=0$ là lúc xảy ra va chạm.

Giả sử rằng khi $t$ năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ $R^{\prime }(t)=783-3t^2$ (triệu đồng/năm), thời điểm $t=0$ tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động, ở đây $R(t)$ là doanh thu của máy A khi nó được $t$ năm tuổi. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là $C^{\prime }(t)=48+12t^2$ (triệu đồng/năm).

Giả sử rằng khi $t$ năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ $R^{\prime }(t)=588-3t^2$ (triệu đồng/năm), thời điểm $t=0$ tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là $C^{\prime }(t)=48+12t^2$ (triệu đồng/năm), ở đây $C(t)$ là chi phí vận hành và bảo trì của máy A khi nó được $t$ năm tuổi.

Những ngày giáp Tết Nguyên Đán cũng là dịp bước vào vụ Đông Xuân, bà con nông dân tích cực xuống đồng cấy lúa. Cây lúa sau khi được cấy trải qua quá trình tăng trưởng đẻ nhánh và phát triển chiều cao trước khi làm đòng, trổ bông. Qua nghiên cứu một giống lúa mới, các nhà khoa học nhận thấy một cây lúa tính từ lúc được cấy bằng một cây mạ với chiều cao 20 cm có tốc độ tăng trưởng chiều cao cho bởi hàm số $v(t)=-0,1t^3+1,1t^2$, trong đó $t$ tính theo tuần, $v(t)$ tính bằng cm/tuần. Gọi $h(t)$ là chiều cao của cây lúa ở tuần thứ $t$ ($t\ge 0$).

Vệ tinh Van Allen Probes được phóng lên không gian để nghiên cứu các vành đai bức xạ bao quanh Trái Đất. Vệ tinh này bay theo một quỹ đạo có chu kỳ $10$ giờ - nghĩa là mỗi vòng bay quanh Trái Đất kéo dài đúng $10$ giờ. Cứ mỗi vòng bay, vệ tinh lại xuyên qua vùng bức xạ mạnh và tích lũy thêm *liều bức xạ*. Biết rằng đơn vị của bức xạ là Gray (Gy), và khi tổng *liều bức xạ* chiếu vào vệ tinh đạt $1000\text{ Gray}$, thì vệ tinh hỏng hoàn toàn. Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vệ tinh được mô hình hóa bằng hàm số $R(T)=7000+3000T\text{ (km)}$, trong đó $T$ là thời gian tính bằng giờ, $0\le T\le 10$, kể từ đầu vòng bay. Công thức *suất liều bức xạ* - tức là lượng bức xạ vệ tinh nhận được trong $1$ giờ, phụ thuộc vào khoảng cách $R\text{ (km)}$ từ vệ tinh tới tâm Trái Đất, là $D(R)=60\cdot {\left(\frac{R}{25000}\right)}^2\text{ milliGray/giờ}$. Biết rằng do tính đối xứng và chu kỳ của quỹ đạo bay, tổng liều bức xạ vệ tinh nhận được trong một vòng bay $10$ giờ được tính bằng công thức $L=2{\int }_0^{5}D(R(T))dT$, và $1\text{ Gray}=1000\text{ milliGray}$. Tính số năm hoạt động của vệ tinh từ lúc bắt đầu hoạt động tới khi hỏng hoàn toàn *(không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hai chữ số thập phân sau dấu phẩy, coi một năm có $365$ ngày, mỗi ngày có $24$ giờ)*.

Một hồ thủy lợi được tạo ra để điều hòa giữa lượng nước thu vào (từ các nguồn như nước sông, nước suối, nước mưa,...) và lượng nước xả ra (để tưới tiêu, nuôi trồng thủy sản,...), hồ vận hành an toàn khi thể tích nước bên trong nó nằm trong khoảng từ $20000{\text{ m}}^3$ đến $60000{\text{ m}}^3$. Sau một cơn mưa, người ta quan sát hồ trong $6$ giờ liên tục và đo được lưu lượng nước (tức là tốc độ thay đổi của lượng nước theo thời gian) trong hồ là
$Q(t)=1000t^3-8000t^2+12000t$
$t$ có đơn vị là giờ, $Q(t)$ có đơn vị là ${\text{m}}^3/\text{giờ}$.
Lưu ý: Tại cùng một thời điểm
- $Q(t)>0$ thể hiện lượng nước thu vào lớn hơn lượng nước xả ra.
- $Q(t)<0$ thể hiện lượng nước thu vào nhỏ hơn lượng nước xả ra.
Biết rằng tại thời điểm bắt đầu quan sát, trong hồ có $50000{\text{ m}}^3$.

Một hạt chuyển động thẳng trên trục $Ox$ và xuất phát tại $O$. Phương trình chuyển động của hạt là $x(t)=t-2\ln (t+1)$ (đơn vị: mét), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Hàm số $v(t)=x^{\prime }(t)$ (đơn vị: mét/giây) biểu thị vận tốc chuyển động của hạt.