Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy $x\text{ (cm)}$ ($0\le x\le 16$) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $R=10+\sqrt{x}\text{ (cm)}$. Tìm $x$ (đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng $\frac{1}{2}$ thể tích của chậu?

Một xe ô tô đang chạy với tốc độ $72\text{ km/h}$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $50\text{ meˊt}$. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-10t+20\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

Một chất điểm chuyển động trên đường thẳng nằm ngang (chiều dương hướng sang phải) với gia tốc phụ thuộc vào thời gian $t\text{ (s)}$ là $a(t)=2t-7{\text{ (m/s}}^2\text{)}$. Biết vận tốc đầu bằng $6\text{ (m/s)}$.

Một xe ô tô sau khi chờ hết đèn đỏ đã bắt đầu chuyển động với vận tốc được biểu thị bằng đồ thị là đường cong parabol. Biết rằng sau $5$ phút thì xe đạt đến vận tốc cao nhất $1000\text{ m/phuˊt}$ và bắt đầu giảm tốc, đi được $6$ phút thì xe chuyển động đều (tham khảo hình vẽ). Quãng đường xe đi được sau $10$ phút đầu tiên kể từ khi hết đèn đỏ là bao nhiêu mét?

Một hộ gia đình sản xuất cơ khí nhỏ mỗi ngày sản xuất được $x$ sản phẩm $(0\le x\le 20)$. Chi phí biên để sản xuất $x$ sản phẩm, tính bằng nghìn đồng, cho bởi hàm số sau $C^{\prime }(x)=3x^2-4x+10$. Biết rằng chi phí cố định ban đầu để sản xuất là $500$ nghìn đồng. Giả sử cơ sở này bán hết sản phẩm mỗi ngày với giá $270$ nghìn đồng/sản phẩm. Tính lợi nhuận tối đa mà gia đình đó thu được khi sản xuất và bán sản phẩm?

Một viên đạn được bắn lên trời với vận tốc là $72\text{ (m/s)}$ bắt đầu từ độ cao $2\text{ m}$. Hãy xác định chiều cao của viên đạn sau thời gian $5\text{ s}$ kể từ lúc bắn biết gia tốc trọng trường là $9,8{\text{ (m/s}}^2\text{)}$ (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Vật thể chuyển động trong 10 phút với vận tốc là giá trị hàm số $v(t)=\{\begin{array}{ll}a{t}^2+bt+c& (0\le t<6)\\ m& (6\le t\le 10)\end{array}$ (đơn vị: m/phút), phụ thuộc vào thời gian $t$ (đơn vị: phút). Đồ thị của hàm số vận tốc như hình vẽ sau:

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0008x+10,4$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm.

Tốc độ tăng cân nặng của một bé gái trong độ tuổi từ 0 tháng đến 36 tháng được ước tính bởi hàm số $f^{\prime }(t)=0,00093t^2-0,04792t+0,76806\text{ (kg/thaˊng)}$, với $f(t)$ là cân nặng của bé gái lúc $t$ tháng tuổi (Nguồn: http://www.vinmec.com). Hãy ước tính cân nặng của một bé gái 5 tháng tuổi, biết cân nặng của bé gái đó khi mới sinh là $3,3\text{ kg}$ (đơn vị: kg, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một đoàn tàu đang đứng yên trong sân ga, ngay trước đầu tàu có một cái cây. Đoàn tàu khởi hành từ trạng thái đứng yên với gia tốc $a=0,004t$ (${\text{m/s}}^2$) và đi qua cái cây trong thời gian 60 giây. Sau 90 giây đoàn tàu chuyển sang trạng thái chuyển động đều. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Tại thời điểm $t=0$, một chiếc xe đang chuyển động về một hướng với vận tốc ban đầu $v_0=10\text{ (m/s)}$, gia tốc của xe từ thời điểm đó được tính bằng công thức $a(t)=-2t+4{\text{ (m/s}}^2\text{)}$. Sau thời điểm đó $3$ giây, do gặp một chướng ngại vật nên xe bắt đầu phanh gấp và chuyển động biến đổi đều với gia tốc mới $a_m(t)=-6{\text{ (m/s}}^2\text{)}$.

Tốc độ di chuyển $v(t)\text{ (m/s)}$ của một ca nô trong khoảng thời gian 51 giây được xác định như hình vẽ.

Một chất điểm chuyển động thẳng trong 24 giây với vận tốc $v(t)$ (đơn vị: m/s) là hàm số phụ thuộc thời gian $t$ (đơn vị: giây) có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:

Một ô tô đang chạy với tốc độ $108\text{ km/h}$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường. Người lái xe phản ứng một giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t)=-10t+30\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được tính bằng đơn vị $\text{m}$ trong $t\text{ (s)}$ kể từ lúc đạp phanh.

Một ô tô đang di chuyển với vận tốc $21\text{ (m/s)}$, khi còn cách trạm thu phí một đoạn thì người lái xe bắt đầu đạp phanh lần một, xe chuyển động thẳng chậm dần đều với vận tốc biến thiên theo thời gian được xác định bởi quy luật $v_1(t)=-6t+21\text{ (m/s)}$, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây, đến đúng trạm thu phí thì xe dừng hẳn. Sau khi trả phí, xe ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_2(t)=5t\text{ (m/s)}$, đi được $4$ giây, ô tô gặp chướng ngại vật nên phải phanh gấp lần hai.

Sữa chua là một sản phẩm tốt cho sức khỏe, hỗ trợ tiêu hóa, làm đẹp da. Sữa chua được tạo ra từ sữa nhờ vi khuẩn lên men lactic. Trong dây chuyền sản xuất sữa chua của một nhà máy, công đoạn lên men là công đoạn quyết định chất lượng của sữa chua. Số lượng vi khuẩn lactic trong bồn lên men tại thời điểm $t$ (giờ) được kí hiệu là $N(t)$. Ban đầu ($t=0$ giờ), số lượng vi khuẩn là $N(0)=10$ tỷ tế bào. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi số lượng vi khuẩn $N^{\prime }(t)$ được mô hình hóa bởi công thức $N^{\prime }(t)=10\cdot 2^{2t}$ (tỷ tế bào/giờ) với $t$ là thời gian tính bằng giờ ($0\le t\le 5$). Quá trình lên men kết thúc sau 5 giờ.

Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu là $12\text{ m/s}$ thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc $a(t)=t^2+4t{\text{ (m/s}}^2\text{)}$.

Dũng sĩ Hesman là một robot khổng lồ do năm con robot mãnh sư ghép lại mà thành. Cùng với thanh gươm ánh sáng vô cùng lợi hại, Hesman đã giúp đỡ các bạn của mình chống lại các thế lực xấu nhằm bảo vệ hòa bình cho vũ trụ và hành tinh Arus xinh đẹp. Tác giả: Hùng Lân (1956-2025).
Một trong những thế lực ấy chính là tên người đá Gac-nô, sau khi chống phá các bạn không thành, hắn trở lại phi thuyền và bay thẳng lên bầu trời hòng trốn thoát với vận tốc $v=2t\text{ (km/phuˊt)}$ trong 8 phút liên tiếp, từ phút thứ 9 trở đi Gác-nô chuyển động thẳng đều.
Khi ấy từ lâu đài Mãnh sư, Hesman và các bạn cũng phát hiện ra điều này, mọi người tức tốc vào buồng lái và khởi động để Hesman bay thẳng về phía Gác-nô, hợp với phương ngang một góc $60^{\circ }$ (tham khảo hình vẽ) với gia tốc $3{\text{ km/phuˊt}}^2$. Biết rằng Hesman xuất phát sau Gac-nô 3 phút và khoảng cách hai vị trí xuất phát bằng $15\text{ km}$. Ta xem các đường bay của Hesman và Gác-nô là đồng phẳng.

Một bể cá hình trụ thủy tinh có bán kính đáy bằng $6\text{ dm}$, chiều cao bằng $5\text{ dm}$; bên trong bể cá người ta đặt một vật trang trí là khối nón đặc (đỉnh hình nón sẽ được bố trí vòi bơm nước cho bể cá), đáy hình nón có bán kính bằng $3\text{ dm}$ và có tâm trùng với đáy hình trụ, chiều cao hình nón bằng với chiều cao hình trụ. Người ta bơm nước vào bể với tốc độ $0,5\text{ lıˊt/phuˊt}$; đến phút thứ 40 thì tốc độ dâng lên của nước là bao nhiêu cm/phút (làm tròn đến hàng phần trăm)?

Nước chảy ra từ một chiếc bể với tốc độ $v(t)=(500-5t)\text{ lıˊt/phuˊt}$, (với $t$ là thời gian tính bằng phút). Tính tổng lượng nước chảy ra trong 20 phút đầu tiên.