Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

Câu 4. Cho một bể chứa nước và ban đầu chưa có nước. Người ta bắt đầu bơm nước vào bể với lưu lượng là $L_1(t)=6t+3$ (lít/phút). Cùng lúc đó, do bể có một vết nứt dưới đáy nên nước bị chảy ra ngoài với lưu lượng là $L_2(t)=2t$ (lít/phút). Dung tích tối đa của bể là $2015$ lít. Hỏi trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là đúng, mệnh đề nào là sai?

Một vật chuyển động với vận tốc v  t   3t 2  6t  m / s  , biết rằng tại thời điểm t  1 (giây) vật đi được quãng đường là 4 (mét). Hỏi tại thời điểm t  3 (giây) vật đi được quãng đường bao nhiêu mét?

Câu 3. Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0008x+10,4$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm.

Một khuôn viên dạng nửa hình tròn có đường kính bằng $4\sqrt{5}\text{ (m)}$. Trên đó người thiết kế hai phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình tròn và hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn (phần tô màu), cách nhau một khoảng bằng $4\text{ (m)}$, phần còn lại của khuôn viên (phần không tô màu) dành để trồng cỏ Nhật Bản.



Biết các kích thước cho như hình vẽ và kinh phí để trồng cỏ Nhật Bản là $100.000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Hỏi cần bao nhiêu tiền để trồng cỏ Nhật Bản trên phần đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).

Câu 4. Trên một đoạn đường thẳng, hai xe ô tô đang chạy ngược chiều nhau. Khi hai xe cách nhau $110\text{ m}$, hai người lái xe phát hiện ra nguy hiểm phía trước nên quyết định xử lí bằng cách đạp phanh để tránh va chạm. Kể từ lúc đạp phanh, xe 1 chuyển động chậm dần với gia tốc $a_1(t)=-4t{\text{ (m/s}}^2\text{)}$ và xe 2 chuyển động chậm dần với gia tốc $a_2(t)=-3t{\text{ (m/s}}^2\text{)}$ (trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc người lái xe đó bắt đầu đạp phanh). Biết vận tốc của xe 1 và xe 2 ngay lúc phát hiện nguy hiểm lần lượt là $18\text{ m/s}$ và $24\text{ m/s}$.

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh $40\text{ cm}$. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên):

Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng:

Câu 3. Sau một thời gian đi vào hoạt động, một khu vui chơi giải trí đã theo dõi sự thay đổi số lượng khách vui chơi trong $12$ giờ hoạt động (khu vui chơi mở cửa đón khách lúc 8h00 và đóng cửa lúc 20h00 hằng ngày). Vào một ngày trong tuần, người ta thống kê liên tục và xác định được *tốc độ thay đổi số lượng khách* trong khu vui chơi tại thời điểm $t$ ($0\le t\le 12$, đơn vị: giờ, tính từ lúc bắt đầu mở cửa đón khách) là

$K(t)=4t^3-36t^2+80t-48\text{ (người/giờ)}.$

Tại thời điểm bắt đầu mở cửa đón khách, khu vui chơi có $160$ vị khách. Biết rằng khu vui chơi sẽ *quá tải về mặt dịch vụ* nếu lượng khách vượt quá $3600$ người (việc phục vụ sẽ không đảm bảo chất lượng).

Trên một trục số thẳng đứng có chiều dương hướng lên trên, một chất điểm bắt đầu chuyển động dọc theo trục số. Giả sử, tại thời điểm $t$ giây ($t\ge 0$) tính từ lúc bắt đầu chuyển động thì vị trí $s(t)$ của chất điểm trên trục số thẳng đứng được xác định bởi công thức $s(t)=t^3-18t^2+96t$ (mét). Trong $10$ giây chuyển động đầu tiên thì chất điểm di chuyển được quãng đường bằng bao nhiêu mét?

Câu 3. Tốc độ giải ngân $2$ tỷ tiền trợ cấp $M^{\prime }(t)$ dành cho 1 vùng $A$ bị thiệt hại về lũ lụt tỉ lệ thuận với bình phương của $(100-t)$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng ngày ($0\le t\le 100$) và $M(t)$ là số tiền còn lại chưa giải ngân sau $t$ ngày. Hỏi số tiền còn lại chưa giải ngân sau $40$ ngày là bao nhiêu triệu đồng, biết rằng toàn bộ số tiền sẽ được giải ngân trong $100$ ngày.

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn $200\text{ m}$, tốc độ của ô tô là $36\text{ km/h}$. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v(t)=at+b$ ($a,b\in \mathbb{R},a>0$), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 12 giây và duy trì sự tăng tốc trong 24 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, sau 24 giây đó ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong 24 giây đầu trong thời gian còn lại trên cao tốc.

Một bể chứa dầu ban đầu có $50.000$ lít dầu. Gọi $V(t)$ là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ ($0\le t\le 24$). Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số $V^{\prime }(t)=k\cdot \sqrt{t}$, với $k$ là hằng số dương. Sau $4$ giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $58.000$ lít.

Một xe mô tô đang chạy với vận tốc $20\text{ m/s}$ thì tài xế giảm ga và kéo phanh. Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc được mô tả bởi phương trình: $v(t)=-4t+20\text{ (m/s)}$, trong đó thời gian $t$ được tính bằng giây. Hỏi từ lúc giảm ga và kéo phanh đến khi dừng hẳn, mô tô di chuyển được quãng đường bao nhiêu mét?

Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ ($0\le t\le 13$), $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ. Tại thời điểm $t=2$ giờ đã có $500$ người có mặt.

Một em học sinh đang điều khiển xe máy chạy trên đường thẳng với vận tốc $10$ m/s thì phát hiện chướng ngại vật lớn trên đường cách đó $50$ mét. Học sinh phản ứng hai giây sau đó bằng cách đạp phanh cho xe dừng lại. Kể từ thời điểm này, xe máy chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a=-2$ m/s${}^2$.

Một vận động viên đua xe Motor khi luyện tập trên đường đua đã kiểm tra tốc độ xe motor của mình bằng cách khi xuất phát bắt đầu phóng nhanh với vận tốc $v(t)$ ($\text{m/s}$) tăng liên tục theo thời gian $t$ giây được biểu thị bằng đồ thị là đường cong Parabol theo hình bên. Biết rằng sau $15\text{ s}$ thì xe đạt đến vận tốc cao nhất $80\text{ m/s}$ và bắt đầu giảm tốc cho đến khi dừng lại.

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0008x+10,4$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm.

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $65\text{ km/h}$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $50\text{ m}$. Người lái xe phản ứng một giây, sau đó đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t)=-10t+20\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong $t$ giây kể từ lúc đạp phanh.

Thành phố X theo dõi tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực A và B trong thời gian $6$ năm (kể từ đầu năm 2019 đến hết năm 2024). Hình vẽ sau mô tả tốc độ gia tăng dân số của hai khu vực trên trong $6$ năm, với đơn vị trên trục $Ot$ tính bằng năm, $t=0$ ứng với mốc từ đầu năm 2019. Đơn vị trên trục $Oy$ biểu diễn ngàn người tăng thêm mỗi năm.
Khu vực A có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm $P_A^{\prime }(t)=-\frac{1}{2}{t}^2+2t+8$.
Khu vực B có tốc độ gia tăng dân số theo thời gian được mô tả bởi hàm $P_B^{\prime }(t)=a-\frac{1}{2}t$.
Biết rằng $P_A(t),P_B(t)$ lần lượt biểu diễn tổng số dân tăng thêm tại khu vực A và B sau $t$ năm.

Một người đang lái xe ô tô thì bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đầu xe $25\text{m}$, ngay lúc đó người lái xe đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-10t+20\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.

Một ô tô đang di chuyển với vận tốc $21\text{ m/s}$, khi còn cách trạm thu phí một đoạn thì người lái xe bắt đầu đạp phanh lần một, xe chuyển động thẳng, chậm dần đều với vận tốc biến thiên theo thời gian được xác định bởi quy luật $v_1(t)=-6t+21\text{ (m/s)}$, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây, đến đúng trạm thu phí thì xe dừng hẳn. Sau khi trả phí, xe ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_2(t)=5t\text{ (m/s)}$; đi được 4 giây, ô tô gặp chướng ngại vật nên phải phanh gấp lần hai. Khi đó: