Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

Tại một hệ thống phân phối điện thoại di động, lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng/sản phẩm) của một dòng điện thoại thông minh được mô hình hóa bởi hàm số $P^{\prime }(x)=-0,002x+4$. Trong đó, $P(x)$ là hàm tổng lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) thu được khi bán ra $x$ sản phẩm ($x\ge 0$). Biết rằng lợi nhuận bằng $0$ khi chưa bán được sản phẩm nào. Xét tính đúng – sai của các khẳng định sau:

Tốc độ thay đổi dòng tiền (triệu đồng/tháng) của một dự án khởi nghiệp được mô tả bởi hàm số $f(t)=t^2+at+b$, với $t$ là số tháng tính từ lúc bắt đầu ($t=0$). Tại tháng thứ $3$ ($t=3$), tốc độ dòng tiền bằng $0$. Biết rằng sau $3$ tháng đầu tiên, tổng dòng tiền tích lũy của dự án quay về mức $0$ (hòa vốn tạm thời), và trong giai đoạn dự án bị thâm hụt tốc độ dòng tiền không dương.

Câu 1. Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm $500$ vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo ngày ($0\le t\le 10$). Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số $P^{\prime }(t)=\frac{k}{2}\cdot t$, trong đó $k$ là hằng số. Sau $1$ ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó là $600$ vi khuẩn. Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau $9$ ngày.

Câu 2. Một ô tô đang chuyển động đều với vận tốc $v_0\text{ (m/s)}$ thì người lái xe đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-5t+v_0\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây với $t=0$ là thời điểm kể từ lúc đạp phanh. Biết rằng kể từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường $40\text{ m}$. Hỏi tốc độ ban đầu $v_0$ là bao nhiêu?

Câu 1. Một ô tô đang chạy với vận tốc $18\text{ m/s}$ thì người lái xe phát hiện có chướng ngại vật ở phía trước nên người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-3t+18\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ là thời gian được tính bằng giây, tính từ lúc người lái đạp phanh. Tính quãng đường xe di chuyển được kể từ khi người lái đạp phanh đến khi xe dừng hẳn.

Câu 2. Một vật chuyển động với vận tốc $10\text{ m/s}$ thì tăng tốc với gia tốc $a(t)=-3t+t^2$. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $10$ giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Câu 4. Hai vận động viên $A$ và $B$ tham dự một cuộc thi chạy bộ trên một đường thẳng, xuất phát cùng một thời điểm, cùng vạch xuất phát và chạy cùng chiều với vận tốc lần lượt là $v_A$ và $v_B$. Trong khoảng thời gian $32$ giây chạy đầu tiên ta có $v_A=\frac{1}{648}{t}^3-\frac{5}{54}{t}^2+\frac{14}{9}t\text{ (m/s)}$; $v_B=a{t}^2+bt\text{ (m/s)}$ (với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng giây). Hàm số $y=a{t}^2+bt$ có đồ thị là một phần của parabol như hình vẽ bên.

Câu 1. Hai vận động viên $A$ và $B$ tham dự một cuộc thi chạy bộ trên một đường thẳng, xuất phát cùng một thời điểm, cùng vạch xuất phát và chạy cùng chiều với vận tốc lần lượt là $v_A$ và $v_B$. Trong khoảng thời gian $32$ giây chạy đầu tiên ta có $v_A=\frac{1}{450}{t}^3-\frac{47}{450}{t}^2+\frac{64}{45}t\text{ (m/s)}$; $v_B=a{t}^2+bt\text{ (m/s)}$ (với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng giây). Hàm số $y=a{t}^2+bt$ có đồ thị là một phần của parabol như hình vẽ bên.

Hình bên dưới là mặt cắt dọc của một chiếc cầu bê tông (phần tô đậm, các đơn vị đều đo bằng mét).

Biết chiều rộng của cầu bằng $9\text{ m}$. Thể tích bê tông ít nhất cần có để đúc cầu là

Câu 5: Một ô tô đang chạy với vận tốc $12\text{ (m/s)}$ thì người lái xe đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-2t+12\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ là khoảng thời gian được tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Quãng đường ô tô di chuyển được trong $10$ giây cuối cùng bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hai vận động viên $A$ và $B$ tham dự một cuộc thi chạy bộ trên một đường thẳng, xuất phát cùng một thời điểm, cùng vạch xuất phát và chạy cùng chiều với vận tốc lần lượt là $v_A$ và $v_B$. Trong khoảng thời gian $32$ giây chạy đầu tiên ta có $v_A=\frac{1}{450}{t}^3-\frac{47}{450}{t}^2+\frac{64}{45}t(\text{m/s})$; $v_B=a{t}^2+bt(\text{m/s})$ (với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng giây). Hàm số $y=a{t}^2+bt$ có đồ thị là một phần của parabol như hình vẽ bên.

Câu 5. Xét hình vuông $ABCD$ cạnh $8\text{ cm}$, tâm $O$. Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ, với tia $Ox$ cùng hướng $\overrightarrow{AB}$, tia $Oy$ cùng hướng $\overrightarrow{DA}$. Vẽ parabol $(P)$ đi qua $O,E$ và tiếp xúc với cạnh $CD$. Điểm $T$ xuất phát từ $B$, chuyển động trên cạnh $BC$ theo chiều từ $B$ đến $C$ với tốc độ $v(t)=0,2t+0,6\text{ (cm/s)}$.
Đường thẳng $ET$ cắt $(P)$ tại điểm thứ hai $F$. Gọi $S(t)$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đoạn $EF$ và cung $EF$ của parabol $(P)$. Hỏi tại thời điểm $t=3$ giây, diện tích $S(t)$ đang giảm với tốc độ bao nhiêu ${\text{cm}}^2/\text{s}$? Làm tròn kết quả đến hàng phần chục.

Câu 3. Trên đoạn đường thẳng $AC$ dài $300\text{ m}$, điểm $B$ nằm giữa $A$ và $C$, biết $BC=250\text{ m}$. Chọn chiều dương hướng từ $A$ đến $C$, gốc tọa độ là $A$. Lấy $t=0$ là thời điểm chất điểm $M$ xuất phát từ $A$. Chất điểm $M$ chuyển động thẳng về phía $C$ với tốc độ $v_1(t)={\mathrm{e}}^{\frac{t}{10}+a}\text{ (m/s)}$ ($a$ là tham số). Tại thời điểm $t=4$ giây, chất điểm $N$ bắt đầu chuyển động từ $B$ về phía $C$ với tốc độ $v_2(t)=b(t-4)+\frac{6}{5}\text{ (m/s)},t\ge 4$ ($b$ là tham số). Biết rằng trong quá trình chuyển động, chất điểm $N$ luôn nằm bên phải chất điểm $M$. Tại thời điểm $t=4$ giây, khoảng cách giữa hai chất điểm là $90-40{\mathrm{e}}^{\frac{2}{5}}\text{ m}$; tại thời điểm $t=6$ giây, khoảng cách giữa hai chất điểm là $\frac{482}{5}-40{\mathrm{e}}^{\frac{3}{5}}\text{ m}$. Hỏi trong khoảng thời gian từ $t=6$ đến $t=18$ giây, khoảng cách gần nhất giữa hai chất điểm bằng bao nhiêu mét? Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Câu 2. Để thúc đẩy kinh tế số, một tỉnh phê duyệt gói ngân sách $20$ tỷ đồng để xây dựng hạ tầng công nghệ cho dự án Công viên phần mềm trong vòng $20$ tháng. Gọi $t$ (tháng) là thời gian tính từ lúc bắt đầu dự án $(0\le t\le 20)$ và $V(t)$ (triệu đồng) là số tiền còn lại chưa giải ngân tại thời điểm $t$. Biết rằng tốc độ giải ngân $V^{\prime }(t)$ tại thời điểm $t$ là $V^{\prime }(t)=k\cdot {\mathrm{e}}^{0,1t}$, trong đó $k$ là hệ số tỉ lệ $(k<0)$. Toàn bộ số tiền $20$ tỷ đồng được giải ngân vừa hết sau đúng $20$ tháng.

Cho hàm số
()
=
y
f x có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ . Biết rằng ()
()
2
4
2
2
=
-
+
F x
x f x
x
x là một
nguyên hàm của hàm số (
)
()
2
1
'
-
x
f
x và
()
0
4
=-
f
. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
()
2
=
+
y
f x
và
()
2
'
=
-
y
f
x
bằng

Để đảm bảo an toàn khi lưu thông trên đường, các xe ô tô khi dừng đèn đỏ phải cách nhau tối thiểu $1\text{ m}$. Một ô tô A đang chạy với vận tốc $16\text{ m/s}$ bỗng gặp ô tô B đang đứng đèn đỏ nên ô tô A hãm phanh và chuyển động chậm dần đều bởi vận tốc được biểu thị bởi công thức $v_A(t)=16-4t$ (đơn vị tính bằng $\text{m/s}$), thời gian tính bằng giây. Hỏi rằng để hai ô tô A và B đạt khoảng cách an toàn khi dừng lại thì ô tô A phải hãm phanh khi cách ô tô B một khoảng ít nhất là bao nhiêu mét?

Viết công thức tính thể tích $V$ của phần vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại các điểm $x=a,x=b$ ($a<b$), có $S(x)$ là thiết diện cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $x$ ($a\le x\le b$) ($S(x)$ liên tục trên đoạn $[a;b]$).

Một ô tô đang chạy với vận tốc $12\text{ m/s}$ thì người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-4t+12\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ là khoảng thời gian tính bằng giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Câu 3. Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_1(t)=2t\text{ (m/s)}$, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây. Sau khi chuyển động được $12$ giây thì ô tô gặp chướng ngại vật và người tài xế phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v_2(t)$ và gia tốc là $a=-8{\text{ (m/s}}^2\text{)}$ cho đến khi dừng hẳn.

Một chiếc xe ô tô đang chuyển động với vận tốc $18\text{ (m/s)}$ thì hãm phanh và chạy với vận tốc là $v(t)=18-3t\text{ (m/s)}$ cho đến khi xe dừng hẳn. Quãng đường xe đi được từ lúc hãm phanh đến khi đừng hẳn là bao nhiêu?