Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

Trong một mô hình kinh tế, hàm cung $y=S(x)$ là giá của một sản phẩm khi nhà sản xuất sẵn sàng bán ra $x$ sản phẩm, hàm cầu $y=D(x)$ là giá của một sản phẩm khi người tiêu dùng có nhu cầu mua $x$ sản phẩm. Điểm cắt nhau $(x_0;y_0)$ của đồ thị hàm cầu và hàm cung được gọi là điểm cân bằng thị trường. Các nhà kinh tế gọi *thặng dư tiêu dùng* là diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang $y=y_0$ và trục tung. Tương tự, *thặng dư sản xuất* là diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường ngang $y=y_0$ và trục tung (Hình vẽ).

Xem xét thị trường tấm pin năng lượng mặt trời thế hệ mới được mô hình hóa theo mô hình kinh tế này. Hàm cầu là $p=D(x)=4-0,2x$ (triệu đồng/tấm). Hàm cung là $p=S(x)=0,4+0,1x+\frac{1}{m}{x}^2$ (triệu đồng/tấm). Trong đó $x$ là sản lượng (đơn vị: nghìn sản phẩm), $p$ là giá bán (đơn vị: triệu đồng/sản phẩm) và $m$ là chỉ số hiệu quả công nghệ ($m>0$). Biết rằng tại trạng thái cân bằng thị trường, thặng dư sản xuất đạt được là $4,2$ tỷ đồng. Tại thời điểm này, thặng dư tiêu dùng là bao nhiêu tỷ đồng?

Để thiết kế một loại xe mới, một nhà máy đã tiến hành khảo sát hai chiếc xe $A,B$. Tại thời điểm $t$ giây ($0\le t\le 5$) kể từ khi bắt đầu khảo sát, mỗi xe di chuyển theo tốc độ như sau:
- Xe $A$ di chuyển với tốc độ $v_A(t)=t^2-t+20(\text{m/s})$.
- Xe $B$ di chuyển với tốc độ $v_B(t)=t^3-6t^2+9t+20(\text{m/s})$.

Nhà máy tiến hành khảo sát trong khoảng thời gian $5$ giây.

Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y=3x-4$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ được xác định bằng công thức

Câu 2. Một thùng trộn tại một nhà máy sản xuất kem hiện chứa $2000\text{ lıˊt}$ nước, trong đó có hòa tan $5\text{ kg}$ đường. Nước đường có nồng độ $20\text{ gam/lıˊt}$ được bơm vào thùng với tốc độ $50\text{ lıˊt/phuˊt}$. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Câu 2: Ở nhiệt độ $37^{\circ }\text{C}$, một phản ứng hóa học từ chất đầu $A$, chuyển hóa thành chất sản phẩm $B$ theo phương trình $A\to B$. Nồng độ của chất $A$ tại thời điểm $x$ giây là $y(x)$ (đơn vị $\text{mol}/\text{L}$), với $x\ge 0$, thỏa mãn hệ thức: $y^{\prime }(x)=-7\cdot 10^{-4}y(x)$ với $x\ge 0$. Biết rằng tại $x=0$, nồng độ (đầu) của $A$ là $0,05\text{ mol}/\text{L}$. Xét hàm số $f(x)=\ln y(x)$ với $x\ge 0$. Khi đó, ta có:

Một vật chuyển động thẳng theo phương trình là $s(t)=t^3-6t^2+16t$; $t\ge 0$, với $t$ tính bằng giây ($\mathrm{s}$) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s(t)$ được tính bằng mét ($\mathrm{m}$) là quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian đó. Mỗi khẳng định sau đúng hay sai?

Trong một cuộc đua thuyền, đội $A$ chèo thuyền với vận tốc không đổi $v_A=12\text{m/s}$. Tại thời điểm đội $B$ cách vạch đích $100\text{m}$ thì đội $A$ ở phía sau đội $B$ một khoảng $15\text{m}$. Lúc này đội $B$ đang chèo thuyền với vận tốc $v_B=8\text{m/s}$ bắt đầu tăng tốc với gia tốc $a=0,5{\text{m/s}}^2$.

Cá hồi Thái Bình Dương đến mùa sinh sản thường bơi từ biển ngược dòng vào sông và đến thượng nguồn các dòng sông để đẻ trứng. Giả sử cá bơi ngược dòng với tốc độ là $v(t)=-\frac{2}{5}t+4(\text{km/h})$. Nếu coi thời điểm ban đầu $t=0$ là lúc cá bắt đầu bơi vào dòng sông thì khoảng cách xa nhất mà con cá có thể bơi được là bao nhiêu $\text{km}$?

Ông An bơm nước vào bể chứa nước. Gọi $h(t)$ là thể tích nước bơm được sau $t$ giây. Cho $h^{\prime }(t)=2at+5b$ $({\text{m}}^3/\text{s})$ và ban đầu bể không có nước. Sau $4$ giây thì thể tích nước trong bể là $2080{\text{m}}^3$. Sau $8$ giây thì thể tích nước trong bể là $4320{\text{m}}^3$. Hỏi thể tích nước trong bể sau khi bơm được $10$ giây là bao nhiêu?

Ông An muốn xây dựng một chuồng nuôi bò trên một khu đất phẳng được giới hạn bởi các đoạn thẳng $AB,BC,CD$ và một đường parabol đi qua hai điểm $A,D$ (như hình vẽ bên dưới). Biết $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng $4\text{ m}$. Đỉnh $I$ của parabol nằm trên đường trung trực của $BC$ và cách cạnh $BC$ một khoảng bằng $5\text{ m}$. Chi phí để xây dựng mỗi mét vuông mặt sàn của chuồng bò là $350000$ đồng. Tính tổng số tiền ông An cần chi phí để xây dựng chuồng bò đó? (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng nghìn)

Tại một trại tôm ở một địa phương, do sự cố mất điện tạm thời, khi hệ thống hoạt động trở lại ($t=0$), mức nước trong bể hình hộp chữ nhật (diện tích đáy $S=40{\text{ m}}^2$) đang ở mức $0,5$ mét. Để bù đắp lượng oxy thiếu hụt, máy bơm hoạt động với công suất tăng cường theo thời gian: $V_{\text{vao}}=4t+12$ (${\text{m}}^3$/giờ). Hệ thống xả tự động vẫn vận hành theo công thức: $V_{\text{ra}}=\frac{40h(t)}{t+2}$ (${\text{m}}^3$/giờ) để đảm bảo áp suất đáy, với $h(t)$ là chiều cao mực nước tại thời điểm $t$ (tính bằng mét). Sau $2$ giờ vận hành kể từ khi có điện lại, mực nước trong bể tăng bao nhiêu mét so với lúc ban đầu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Trong một cơ sở chế biến nông sản, tốc độ rút nước của một hệ thống sấy lạnh sau khi khởi động có xu hướng giảm dần theo thời gian và tiến về mức ổn định. Giả sử sau khi bắt đầu vận hành được $t$ giờ, tốc độ rút nước của hệ thống này được mô hình bởi hàm số $W^{\prime }(t)=A+3e^{-0,2t}$ (đơn vị: kg/giờ) với $0\le t\le 10$, trong đó $W(t)$ (kg) là lượng nước tổng cộng được rút ra tính từ lúc bắt đầu vận hành. Biết rằng trong $10$ giờ đầu tiên, hệ thống đã rút được tổng cộng $65$ kg nước.

Một viên pin xe đạp điện có dung lượng thiết kế $30000\text{ mAh}$. Tốc độ nạp điện vào pin được mô tả bởi hàm số $I(t)=600e^{-0,01t}$ (mAh/phút) và tốc độ tiêu hao do nhiệt của mạch điện là $n(t)=10e^{0,04t}$ (mAh/phút), với $t\ge 0$ là thời gian tính bằng phút. Gọi $Q(t)$ là lượng điện tích lũy được trong pin tại thời điểm $t$. Biết $Q(t)=\int [I(t)-n(t)]dt$ và ban đầu khi pin xe cạn điện thì $Q(0)=0$. Xét tính đúng sai các ý sau:

Câu 4: Một bể chứa dầu ban đầu có $50000$ lít dầu. Gọi $V(t)$ là thể tích dầu trong bể tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ và $0\le t\le 24$. Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số $V^{\prime }(t)=k\sqrt{t}$, với $k$ là hằng số dương. Sau $4$ giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $58000$ lít.

Trên vùng thảo nguyên Châu Phi rộng lớn, một con sư tử đang chuẩn bị cuộc đi săn mồi. Từ trạng thái nghỉ, con sư tử bắt đầu tăng tốc đuổi theo một con linh dương. Vận tốc của con sư tử khi tăng tốc được biểu diễn bởi hàm số $v(t)=k{t}^3+4t,(k\in \mathbb{R})$ với $t$ là thời gian kể từ khi rời khỏi trạng thái nghỉ đến khi đạt vận tốc tối đa, $t$ tính bằng giây (s), $v(t)$ tính bằng m/s. Từ khoảng cách $50\text{ m}$, cùng thời điểm con sư tử bắt đầu tăng tốc đuổi, con linh dương bỏ chạy theo hướng di chuyển của con sư tử với vận tốc $10\text{ m/s}$. Biết rằng sau $3$ giây kể từ khi rời khỏi trạng thái nghỉ, con sư tử đã di chuyển được quãng đường $17,25\text{ m}$ và vẫn đang trong quá trình tăng tốc.

Một người điều khiển xe ô tô với vận tốc $72\text{ km/h}$ thì phát hiện ở phía trước cách vị trí xe một đoạn $100\text{ meˊt}$ có công trường đang thi công có gắn biển báo giới hạn tốc độ tối đa cho phép là $36\text{ km/h}$. Hai giây sau đó, tài xế bắt đầu đạp phanh giảm tốc với vận tốc $v_1(t)=at+b$ (m/s) ($a,b\in \mathbb{R},a<0$), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi xe bắt đầu giảm tốc độ. Khi ô tô vừa đến vị trí đặt biển báo thì tốc độ đạt đúng $36\text{ km/h}$. Sau khi đi qua hết đoạn đường công trường dài $200\text{ meˊt}$ với vận tốc không đổi, xe bắt đầu tăng tốc với vận tốc $v_2(t_1)=m{t}_1+n$ (m/s) ($m,n\in \mathbb{R},m>0$), trong đó $t_1$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi ô tô vừa ra khỏi công trường. Biết rằng đúng 10 giây sau khi tăng tốc, xe đạt vận tốc $72\text{ km/h}$.

Câu 6. Ông Duy có mảnh vườn hình vuông cạnh 8 m và muốn làm một bể bơi (phần tô đậm). Biết $AM=\frac{AB}{4}$, đường cong là một phần Parabol đi qua $M$ và có đỉnh tại $C$. Tính chi phí xây dựng theo triệu đồng nếu đơn giá là 5 triệu đồng/m${}^2$. (Làm tròn đến hàng đơn vị của triệu đồng).

Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như hình dưới đây. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy một khoảng $x$ (mét) ($0\le x\le 3$) thì được hình chữ nhật có các kích thước lần lượt là $x$ và $\sqrt{9-x^2}$. Thể tích cái lều bằng bao nhiêu (đơn vị ${\text{m}}^3$)?

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=2x+1$, trục hoành và hai đường thẳng $x=1,x=2$ được xác định bằng công thức

Một chuyên gia kinh tế nghiên cứu tốc độ thay đổi lượng điện tiêu thụ của hai khu vực công nghiệp $A$ và $B$ từ đầu năm 2020 đến đầu năm 2024. Tốc độ thay đổi lượng điện tiêu thụ (đơn vị: triệu kWh/năm) của khu vực $A$ và khu vực $B$ lần lượt được mô tả bởi các hàm số: $E_A^{\prime }(t)=2^t+8$ và $E_B^{\prime }(t)=3,75t+n$ ($n$ là một hằng số), trong đó $t$ là số năm kể từ đầu năm 2020 ($0\le t\le 4$). Biết rằng tại thời điểm bắt đầu khảo sát ($t=0$) và đầu năm 2024 ($t=4$), tốc độ thay đổi lượng điện tiêu thụ của cả hai khu vực là bằng nhau (như hình vẽ).