Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

Giả sử rằng khi $t$ năm tuổi, một máy công nghiệp A tạo ra doanh thu với tốc độ $R^{\prime }(t)=588-3t^2$ (triệu đồng/năm), thời điểm $t=0$ tính từ lúc máy A bắt đầu hoạt động. Biết rằng chi phí biên cho vận hành và bảo trì là $C^{\prime }(t)=48+12t^2$ (triệu đồng/năm), ở đây $C(t)$ là chi phí vận hành và bảo trì của máy A khi nó được $t$ năm tuổi.

Những ngày giáp Tết Nguyên Đán cũng là dịp bước vào vụ Đông Xuân, bà con nông dân tích cực xuống đồng cấy lúa. Cây lúa sau khi được cấy trải qua quá trình tăng trưởng đẻ nhánh và phát triển chiều cao trước khi làm đòng, trổ bông. Qua nghiên cứu một giống lúa mới, các nhà khoa học nhận thấy một cây lúa tính từ lúc được cấy bằng một cây mạ với chiều cao 20 cm có tốc độ tăng trưởng chiều cao cho bởi hàm số $v(t)=-0,1t^3+1,1t^2$, trong đó $t$ tính theo tuần, $v(t)$ tính bằng cm/tuần. Gọi $h(t)$ là chiều cao của cây lúa ở tuần thứ $t$ ($t\ge 0$).

Vệ tinh Van Allen Probes được phóng lên không gian để nghiên cứu các vành đai bức xạ bao quanh Trái Đất. Vệ tinh này bay theo một quỹ đạo có chu kỳ $10$ giờ - nghĩa là mỗi vòng bay quanh Trái Đất kéo dài đúng $10$ giờ. Cứ mỗi vòng bay, vệ tinh lại xuyên qua vùng bức xạ mạnh và tích lũy thêm *liều bức xạ*. Biết rằng đơn vị của bức xạ là Gray (Gy), và khi tổng *liều bức xạ* chiếu vào vệ tinh đạt $1000\text{ Gray}$, thì vệ tinh hỏng hoàn toàn. Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vệ tinh được mô hình hóa bằng hàm số $R(T)=7000+3000T\text{ (km)}$, trong đó $T$ là thời gian tính bằng giờ, $0\le T\le 10$, kể từ đầu vòng bay. Công thức *suất liều bức xạ* - tức là lượng bức xạ vệ tinh nhận được trong $1$ giờ, phụ thuộc vào khoảng cách $R\text{ (km)}$ từ vệ tinh tới tâm Trái Đất, là $D(R)=60\cdot {\left(\frac{R}{25000}\right)}^2\text{ milliGray/giờ}$. Biết rằng do tính đối xứng và chu kỳ của quỹ đạo bay, tổng liều bức xạ vệ tinh nhận được trong một vòng bay $10$ giờ được tính bằng công thức $L=2{\int }_0^{5}D(R(T))dT$, và $1\text{ Gray}=1000\text{ milliGray}$. Tính số năm hoạt động của vệ tinh từ lúc bắt đầu hoạt động tới khi hỏng hoàn toàn *(không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hai chữ số thập phân sau dấu phẩy, coi một năm có $365$ ngày, mỗi ngày có $24$ giờ)*.

Trong một chương trình giao lưu âm nhạc đón tết vui xuân, ban đầu với sự tham dự của $1700$ khán giả. Ban tổ chức đã thống kê được số lượng khán giả ở lại sân khấu xem âm nhạc theo thời gian, được mô tả bởi một hàm số liên tục trên $t\in [0;+\infty )$: $f^{\prime }(t)=\{\begin{array}{ll}1700-400t,& 0\le t\le 2\\ a(t-2{)}^2+b,& t>2\end{array}$ (trong đó $f^{\prime }(t)$ là số khán giả, $t$ là số giờ kể từ khi chương trình bắt đầu, $a,b$ là tham số thực), với hàm số $f(t)$ mô tả tổng sự hiện diện của khán giả theo thời gian $t$. Sau $2$ giờ $30$ phút số lượng khán giả ở lại sân khấu là $875$. Hỏi từ khi bắt đầu cho đến khi khán giả ra về hết, trung bình mỗi giờ còn bao nhiêu khán giả ở lại tham gia chương trình âm nhạc?

Một hồ thủy lợi được tạo ra để điều hòa giữa lượng nước thu vào (từ các nguồn như nước sông, nước suối, nước mưa,...) và lượng nước xả ra (để tưới tiêu, nuôi trồng thủy sản,...), hồ vận hành an toàn khi thể tích nước bên trong nó nằm trong khoảng từ $20000{\text{ m}}^3$ đến $60000{\text{ m}}^3$. Sau một cơn mưa, người ta quan sát hồ trong $6$ giờ liên tục và đo được lưu lượng nước (tức là tốc độ thay đổi của lượng nước theo thời gian) trong hồ là
$Q(t)=1000t^3-8000t^2+12000t$
$t$ có đơn vị là giờ, $Q(t)$ có đơn vị là ${\text{m}}^3/\text{giờ}$.
Lưu ý: Tại cùng một thời điểm
- $Q(t)>0$ thể hiện lượng nước thu vào lớn hơn lượng nước xả ra.
- $Q(t)<0$ thể hiện lượng nước thu vào nhỏ hơn lượng nước xả ra.
Biết rằng tại thời điểm bắt đầu quan sát, trong hồ có $50000{\text{ m}}^3$.

Một hạt chuyển động thẳng trên trục $Ox$ và xuất phát tại $O$. Phương trình chuyển động của hạt là $x(t)=t-2\ln (t+1)$ (đơn vị: mét), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây. Hàm số $v(t)=x^{\prime }(t)$ (đơn vị: mét/giây) biểu thị vận tốc chuyển động của hạt.

Một xe ô tô đang chạy trên đường cao tốc với tốc độ $90\text{ km/h}$ thì tài xế nhìn thấy biển báo trạm thu phí ở phía trước cách đó $400\text{ m}$. Sau 4 giây, tài xế đạp nhẹ phanh, kể từ đó xe chạy chậm dần đều với gia tốc $2{\text{ m/s}}^2$ cho đến khi tốc độ xe giảm về tốc độ quy định khi qua các làn thu phí tự động là $30\text{ km/h}$. Gọi $t$ (đơn vị giây) là thời gian kể từ lúc đạp phanh cho đến khi giảm về tốc độ $30\text{ km/h}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Khi thi công tuyến cao tốc Nghi Sơn - Bãi Vọt, đơn vị thi công cần san một ngọn núi nhỏ. Biết đường viền chân núi là một elip có trục lớn $AB=400\text{ m}$ và trục bé $CD=200\text{ m}$; mặt cắt bởi mặt phẳng chứa $AB$ và vuông góc với mặt đất là nửa hình tròn đường kính $AB$; mặt cắt bởi các mặt phẳng vuông góc với $AB$ có dạng parabol với đỉnh thuộc nửa đường tròn đường kính $AB$ (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích ngọn núi đó theo đơn vị triệu ${\text{m}}^3$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Một vật chuyển động thẳng với vận tốc tại thời điểm $t$ (giây) là $v(t)$ (m/s). Hình bên là đồ thị của $v(t)$, biết rằng trên $[0;2],[5;7]$ nó có dạng đường thẳng và trên $[2;5]$ nó có dạng đường parabol.

Tốc độ thay đổi của số lượng vi khuẩn trong 1 ml nước ở hồ bơi X tại thời điểm $t$ (ngày) kể từ lúc hồ nước được xử lý được mô hình bởi hàm số $f(t)=\frac{1000}{(1+0,2t{)}^2}$ (con/ngày), $t\ge 0$. Biết rằng số lượng vi khuẩn ban đầu là 500 con trên mỗi ml nước và mức độ an toàn cho người sử dụng hồ bơi là số vi khuẩn phải dưới 3000 con trên mỗi ml nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày thì người ta phải xử lí và thay nước mới cho hồ bơi.

Hình bên là hình ảnh một viên gạch men có dạng một hình vuông có độ dài cạnh $8\text{ dm}$. Hai hình Elip đều có độ dài trục lớn $8\text{ dm}$ và độ dài trục bé $4\text{ dm}$ (các trục song song các cạnh tương ứng của hình vuông và có tâm đối xứng là tâm hình vuông). Đường tròn tiếp xúc với tất cả các cạnh hình vuông. Ở công đoạn tráng men (chi phí nguyên liệu, thi công, kĩ thuật) với mỗi ${\text{m}}^2$: phần tô đen có chi phí 20 nghìn đồng, phần chấm bi (là 1 trong 2 elip như hình vẽ) có chi phí 15 nghìn đồng và phần còn lại có chi phí 10 nghìn đồng. Hãy tính chi phí $a$ triệu đồng của công đoạn tráng men khi doanh nghiệp sản xuất 100000 viên gạch như thế. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Trong Vật lí, chu kì bán rã $T$ (đơn vị thời gian) của một chất phóng xạ là thời gian để một nửa lượng chất phóng xạ đó phân rã và biến đổi thành chất khác. Giả sử tốc độ phân rã của một chất phóng xạ được cho bởi $N^{\prime }(t)=-\lambda N_0{e}^{-\lambda t}$, trong đó $N_0$ là lượng chất phóng xạ ban đầu tại $t=0$ và $\lambda >0$ là hằng số (hằng số phân rã).

Để chuẩn bị quảng bá sản phẩm, người ta trang trí tấm pano dạng parabol như hình vẽ, biết $OS=8\text{ m},AB=6\text{ m}$ với $O$ là trung điểm của $AB$. Tấm pano được chia thành ba phần để trang trí với mức chi phí khác nhau: phần trên là phần kẻ sọc giá $100000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần giữa là hình quạt tâm $O$ bán kính $3\text{ m}$ được tô đậm giá $200000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$, phần còn lại giá $150000{\text{ đoˆˋng/m}}^2$. Tính tổng chi phí để trang trí tấm pano (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
[IMAGE_1]

Một quần thể vi khuẩn A có số lượng cá thể là $P(t)$ sau $t$ phút quan sát được phát hiện thay đổi với tốc độ tăng trưởng là: $P^{\prime }(t)=a{e}^{0,1t}+150e^{-0,03t}$ (vi khuẩn/phút) ($a\in \mathbb{R}$). Biết rằng lúc bắt đầu quan sát, quần thể có $200000$ vi khuẩn và đạt tốc độ tăng trưởng là $300$ vi khuẩn/phút.

Câu 3: Một hạt proton chuyển động trong điện trường từ điểm $A(2;1;5)$ (đơn vị mm) theo một đường thẳng hướng lên trên. Hướng chuyển động của hạt tạo với mặt phẳng $(Oxy)$ một góc $30^{\circ }$. Biết hình chiếu vuông góc của hướng chuyển động lên mặt phẳng $(Oxy)$ hợp với trục $Ox$ một góc $45^{\circ }$. Vận tốc của hạt tại thời điểm $t$ (giây) là $v(t)=k{e}^{0.5t}$ (mm/s) với $k$ là hằng số dương. Biết rằng trong $2\ln 2$ giây đầu tiên, hạt đi được quãng đường là $20\text{ mm}$. Gọi $B(x_B;y_B;z_B)$ là vị trí của hạt tại thời điểm $t=2$ (giây).

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn $210\text{ m}$, tốc độ của ô tô là $36\text{ km/h}$. Ba giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v(t)=at+b\text{ (m/s)}$ ($a,b\in \mathbb{R},a>0$), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau $12$ giây và duy trì sự tăng tốc trong $24$ giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Câu 1. Một ô tô đang chuyển động thẳng đều với vận tốc $15\text{ m/s}$. Đi được $10$ giây người lái xe gặp chướng ngại vật nên phải phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc $a(t)=-2t-2{\text{ (m/s}}^2\text{)}$, (trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Trong một bể xử lý nước thải, số lượng vi khuẩn gây hại tại thời điểm $t$ được kí hiệu bằng $N(t)$ (đơn vị: con). Người ta nhận thấy rằng trong giai đoạn đầu (khi môi trường chưa bị hạn chế), tốc độ biến thiên của số lượng vi khuẩn tuân theo quy luật hàm mũ và được mô hình hóa bởi hàm số $N^{\prime }(t)=A\cdot e^{kt}$, trong đó: $A,k$ là các hằng số dương, $t$ là thời gian (đơn vị: giờ). Từ các nghiên cứu thực nghiệm (sau khi xử lý và làm tròn số liệu), người ta ước lượng được $A=1000\ln 2$ và tại thời điểm $t=1$ giờ có $3000$ vi khuẩn; $N^{\prime }(1)=2000\ln 2$. Biết rằng mức độ an toàn cho phép là không quá $65000$ vi khuẩn.

Hình vẽ bên mô tả hiệu suất làm việc của hai công nhân tại một nhà máy trong thời gian $6$ giờ. Công nhân $A$ đang sản xuất với hiệu suất $Q_1^{\prime }(t)=-2t^2+4t+58$ sản phẩm mỗi giờ, trong khi công nhân $B$ đang sản xuất với hiệu suất $Q_2^{\prime }(t)=53+at$ sản phẩm mỗi giờ ($a\in \mathbb{R}$). Biết rằng hàm $Q_1(t)$ và $Q_2(t)$ mô phỏng số lượng sản phẩm làm được của công nhân $A$ và công nhân $B$ sau $t$ giờ.

Câu 3. Một viên pin dự phòng có dung lượng thiết kế là $10000\text{ mAh}$ đang vừa sạc vừa cấp điện cho một thiết bị khác. Trong quá trình này, các kĩ sư sử dụng một mô hình gần đúng để mô tả tại thời điểm $t$ phút ($t\ge 0$) kể từ khi khảo sát như sau:
- Tốc độ nạp điện vào pin là $f(t)=250e^{-0,01t}\text{ (mAh/phuˊt)}$.
- Do thiết bị hoạt động và hao phí trên mạch điện nên điện tích bị tiêu hao. Tốc độ tiêu hao là $g(t)=10e^{0,04t}\text{ (mAh/phuˊt)}$.
Gọi $Q(t)$ là lượng điện tích tích lũy được trong pin tại thời điểm $t$ phút kể từ khi bắt đầu khảo sát. Biết rằng tốc độ biến thiên của $Q(t)$ là $Q^{\prime }(t)=f(t)-g(t)$ và tại thời điểm ban đầu, lượng điện tích tích lũy bằng 0.