Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Xét $6x^2+5x-4>0$. Tam thức có $a=6>0$, $\Delta =5^2-4\cdot 6\cdot (-4)=25+96=121>0$ với hai nghiệm $x=\frac{-5-11}{12}=-\frac{4}{3}$ và $x=\frac{-5+11}{12}=\frac{1}{2}$. Vì $a>0$, tam thức dương khi $x<-\frac{4}{3}$ hoặc $x>\frac{1}{2}$. Vậy tập nghiệm là $\left(-\infty ;-\frac{4}{3}\right)\cup \left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, trùng với đáp án A (khớp bảng đáp án mã đề 103, câu 10 chọn A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2+mx+n$ có hệ số $a=1>0$. Để $f(x)⩾0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì tam thức phải vô nghiệm hoặc nghiệm kép, tức biệt thức $\Delta =m^2-4n⩽0$. Kiểm tra: nếu $\Delta >0$ thì $f$ có hai nghiệm phân biệt và $f<0$ giữa hai nghiệm, mâu thuẫn. Ngược lại nếu $\Delta ⩽0$ thì $f(x)=(x+\frac{m}{2}{)}^2+n-\frac{m^2}{4}⩾0$ với mọi $x$. Vậy điều kiện cần và đủ là $m^2-4n⩽0$, khớp với đáp án D (Mã đề 103, Câu 11 chọn D).

Nghiệm của bất phương trình $$-4,9t^2+19,6t+1,7⩾16,4$$ hay $$-49t^2+196t-147⩾0$$ là $$1⩽t⩽3.$$

(AI giải đề cho tôi)
Xét $15x^2-23x+4>0$. Ta có $\Delta =(-23{)}^2-4\cdot 15\cdot 4=529-240=289=17^2$. Phương trình $15x^2-23x+4=0$ có hai nghiệm $x_1=\frac{23-17}{30}=\frac{1}{5}$ và $x_2=\frac{23+17}{30}=\frac{4}{3}$. Vì $a=15>0$ nên tam thức dương ngoài khoảng hai nghiệm, do đó tập nghiệm là $\left(-\infty ;\frac{1}{5}\right)\cup \left(\frac{4}{3};+\infty \right)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: chọn C.

Nghiệm của bất phương trình $$-4,9t^2+49t+15⩾93,4$$ hay $$-49t^2+490t-784⩾0$$ là $$2⩽t⩽8.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2+mx+n$ có hệ số $a=1>0$. Để $f(x)⩾0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì parabol phải nằm hoàn toàn phía trên (hoặc tiếp xúc) trục hoành, tức là phương trình $x^2+mx+n=0$ không có hai nghiệm phân biệt, tương đương với biệt thức $\Delta =m^2-4n⩽0$. Điều kiện này vừa cần vừa đủ. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 102 (Câu 2 chọn A).

Nghiệm của bất phương trình $$-4,9t^2+49t+15⩾117,9$$ hay $$-49t^2+490t-1029⩾0$$ là $$3⩽t⩽7.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2+mx+n$ có hệ số $a=1>0$. Để $f(x)⩾0,\forall x\in \mathbb{R}$ thì tam thức phải vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, tức $\Delta =m^2-4n⩽0$. Điều này khớp với đáp án C và với bảng đáp án mã đề 101 (Câu 7 chọn C).

(AI giải đề cho tôi)
a) $-2x^2+11x-12\ge 0\iff 2x^2-11x+12\le 0$. Phương trình $2x^2-11x+12=0$ có nghiệm $x=\frac{11\pm 5}{4}$, tức $x=\frac{3}{2}$ và $x=4$. Vì parabol hướng lên nên $S=\left[\frac{3}{2};4\right]$. Khẳng định đúng.
b) Đồ thị parabol hướng lên cắt trục hoành tại $x=-2$ và $x=\frac{5}{2}$, nên $f(x)<0\iff -2<x<\frac{5}{2}$, tức $S=\left(-2;\frac{5}{2}\right)$ (khoảng mở, không gồm hai đầu mút). Khẳng định sai.
c) $3x(x-2)<5x^2+4\iff 3x^2-6x<5x^2+4\iff 2x^2+6x+4>0\iff x^2+3x+2>0\iff (x+1)(x+2)>0\iff x<-2$ hoặc $x>-1$. Vậy $S=(-\infty ;-2)\cup (-1;+\infty )$. Khẳng định đúng.
d) Thay $x=1$: $-2(1{)}^2+11(1)-12=-3<0$, nên $x=1$ không thỏa $-2x^2+11x-12\ge 0$ (và $1\notin \left[\frac{3}{2};4\right]$). Khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$-2x^2+11x-12\ge 0\iff 2x^2-11x+12\le 0$ với nghiệm $x=\frac{3}{2},4$, suy ra $S=\left[\frac{3}{2};4\right]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có $a>0$, cắt trục hoành tại $-2$ và $\frac{5}{2}$ nên $f(x)<0\iff -2<x<\frac{5}{2}$, tập nghiệm là khoảng mở $\left(-2;\frac{5}{2}\right)$, không phải đoạn đóng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Rút gọn được $2x^2+6x+4>0\iff (x+1)(x+2)>0\iff x<-2$ hoặc $x>-1$, tức $S=(-\infty ;-2)\cup (-1;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1$: $-2+11-12=-3<0$, không thỏa mãn; hơn nữa $1\notin \left[\frac{3}{2};4\right]$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $\Delta =b^2-4ac$.
- A sai: khi $\Delta =0$, tại $x=-\frac{b}{2a}$ ta có $f(x)=0$, không cùng dấu với $a$.
- B sai: cùng lý do, tại nghiệm kép $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=0$.
- C sai: khi $\Delta >0$, tam thức có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu trong khoảng giữa hai nghiệm, nên không cùng dấu với $a$ với mọi $x$.
- D đúng: khi $\Delta =0$, $f(x)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2$, do đó với mọi $x\ne -\frac{b}{2a}$ thì $f(x)$ cùng dấu với $a$.
Đáp án khớp với bảng đáp án chính thức (mã đề 1002, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ có $\Delta =b^2-4ac$. Xét từng mệnh đề: Nếu $\Delta <0$ thì tam thức vô nghiệm, khi đó $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ — đây là định lý dấu của tam thức bậc hai, nên B đúng. Nếu $\Delta =0$ thì $f(x)=0$ tại nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}$, tức $f(x)$ không cùng dấu với $a$ tại điểm đó, nên C sai (và do đó A cũng sai vì $\Delta \le 0$ bao gồm trường hợp $\Delta =0$). Nếu $\Delta >0$ thì tam thức có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các khoảng, nên D sai. Đáp án khớp với đáp án nguồn (đề 1001, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho thấy $f(x)=0$ tại $x=1$ và $x=3$, $f(x)>0$ khi $x<1$ hoặc $x>3$, $f(x)<0$ khi $1<x<3$. Xét các phương án: A: $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$ có nghiệm $-1,-3$ (loại). B: $-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)$ có dấu ngược lại: âm ngoài khoảng, dương trong $(1;3)$ (loại). C: $x^2+4x-5=(x-1)(x+5)$ có nghiệm $1,-5$ (loại). D: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ với $a=1>0$ nên $f(x)>0$ khi $x<1$ hoặc $x>3$, $f(x)<0$ khi $1<x<3$ — khớp hoàn toàn với bảng xét dấu. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho thấy f(x) dương khi x<1, âm trên (1;3), dương khi x>3, với nghiệm x=1 và x=3. Vậy f(x) có hai nghiệm 1 và 3 và nhận giá trị âm giữa hai nghiệm, tức f(x)=a(x-1)(x-3) với a>0. Xét các phương án: f(x)=x²-4x+3=(x-1)(x-3) thỏa mãn (a=1>0). Kiểm tra: f(0)=3>0, f(2)=-1<0, f(4)=3>0, đúng bảng dấu. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: C).

Lập bảng xét dấu như sau: Để cho $f(x)\le 0$ thì $x\in [-3;2]$. Chọn đáp án (A)

a) (S) $\Delta =b^2-4ac=1^2-\mathrm{4.1.}(-6)=25$. b) (S) $g(x)=0$ có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $ac<0$ mà $c=0\Rightarrow ac=0$ (Mâu thuẫn). Vậy $g(x)$ không có hai nghiệm trái dấu. c) (Đ) Bấm máy tính (chế độ giải bất phương trình) hoặc là lập bảng xét dấu như sau: Nhận thấy $f(x)>0\iff x\in (-\infty ;-3)\cup (2;+\infty )$. d) (Đ) $$\sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)}\iff \sqrt{x^2-x}=\sqrt{x^2+x-6}\iff x^2-x=x^2+x-6\iff -2x=-6\iff x=3$$ Thay lại vào phương trình ban đầu và thoả mãn. Vậy $\sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)}$ phương trình có 1 nghiệm là $x=3$. Chọn đáp án [a sai | b sai | c đúng | d đúng]
a) (S) $\Delta =b^2-4ac=1^2-\mathrm{4.1.}(-6)=25$.
b) (S) $g(x)=0$ có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $ac<0$ mà $c=0\Rightarrow ac=0$ (Mâu thuẫn). Vậy $g(x)$ không có hai nghiệm trái dấu.
c) (Đ) Bấm máy tính (chế độ giải bất phương trình) hoặc là lập bảng xét dấu như sau: Nhận thấy $f(x)>0\iff x\in (-\infty ;-3)\cup (2;+\infty )$.
d) (Đ) $$\sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)}\iff \sqrt{x^2-x}=\sqrt{x^2+x-6}\iff x^2-x=x^2+x-6\iff -2x=-6\iff x=3$$ Thay lại vào phương trình ban đầu và thoả mãn. Vậy $\sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)}$ phương trình có 1 nghiệm là $x=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, parabol $y=f(x)$ có bề lõm hướng lên ($a>0$) và cắt trục hoành tại hai điểm $x=1$ và $x=4$. Với $a>0$, $f(x)<0\iff 1<x<4$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình $f(x)<0$ là $(1;4)$. Loại D vì tại $x=1$ và $x=4$ thì $f(x)=0$, không thỏa $f(x)<0$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $(2x-1)(3x+2)\le 0$ có hai nghiệm $x=\frac{1}{2}$ và $x=-\frac{2}{3}$. Vì hệ số của $x^2$ là $6>0$, bất phương trình nghiệm khi $-\frac{2}{3}\le x\le \frac{1}{2}$. Các giá trị nguyên trong khoảng này chỉ có $x=0$. Vậy số nghiệm nguyên là $1$, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2022, Câu 2: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $(2x-1)(3x+2)\le 0$ có hai nghiệm của vế trái là $x=\frac{1}{2}$ và $x=-\frac{2}{3}$. Vì hệ số của $x^2$ là $6>0$, tam thức âm giữa hai nghiệm, nên tập nghiệm là $-\frac{2}{3}\le x\le \frac{1}{2}$. Các số nguyên trong khoảng này chỉ có $x=0$. Vậy số nghiệm nguyên là $1$, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2014, Phần III, Câu 1: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=-x^2+4x-3>0$. Tam thức có $a=-1<0$ nên parabol hướng xuống. Nghiệm của $-x^2+4x-3=0$ là $x^2-4x+3=0\iff (x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì $a<0$, tam thức dương giữa hai nghiệm, tức $f(x)>0\iff 1<x<3$. Điều này khớp với đồ thị parabol cắt trục hoành tại $x=1$ và $x=3$ và phần đồ thị nằm trên trục $Ox$ giữa hai điểm này. Vậy đáp án là $x\in (1;3)$, trùng với đáp án B trong bảng mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=-x^2+4x-3>0$. Vì $a=-1<0$ nên parabol hướng xuống. Giải $-x^2+4x-3=0\iff x^2-4x+3=0\iff (x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$ (khớp với đồ thị cắt trục hoành tại $x=1$ và $x=3$). Với $a<0$, tam thức dương giữa hai nghiệm: $f(x)>0\iff 1<x<3$. Vậy $x\in (1;3)$, trùng đáp án A (bảng đáp án mã đề 101, câu 5: A).