Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

a) Khi $m=5$, $y=f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-10x+9}}$. Đkxd của hàm số là $x^2-10x+9>0\iff x<1$ hoặc $x>9$. Vậy $D=(-\infty ;1)\cup (9;+\infty )$.

b) Hàm số $f(x)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\iff x^2-2mx+9>0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\iff {\Delta }^{\prime }<0\iff m^2-9<0\iff -3<m<3$.

a) Khi $m=5$, $y=f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-10x+9}}$. Đkxd của hàm số là $x^2-10x+9>0\iff x<1$ hoặc $x>9$. Vậy $D=(-\infty ;1)\cup (9;+\infty )$.

b) Hàm số $f(x)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\iff x^2-2mx+9>0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\iff {\Delta }^{\prime }<0\iff m^2-9<0\iff -3<m<3$.

Đáp số: 900.

Lợi nhuận của xí nghiệp khi bán hết $x$ sản phẩm là:
$1200x-\left(x^2+300x+200000\right)=-x^2+900x-200000$.

Để xí nghiệp không bị lỗ thì $-x^2+900x-200000\ge 0\iff 400\le x\le 500$.
Vậy để không bị lỗ, xí nghiệp cần sản xuất nhiều hơn hoặc bằng 400 sản phẩm và ít hơn hoặc bằng 500 sản phẩm.

Khi đó $\{\begin{array}{l}a=400\\ b=500\end{array}\Rightarrow S=a+b=900$.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $-x^2+6x-5\ge 0\iff x^2-6x+5\le 0\iff (x-1)(x-5)\le 0\iff 1\le x\le 5$. Các giá trị nguyên là $1,2,3,4,5$, tổng cộng 5 giá trị. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề B, câu 15 = 5).

(AI giải đề cho tôi)
Giải $4x^2-3x-1\le 0$. Tam thức có hai nghiệm: $4x^2-3x-1=0\iff x=1$ hoặc $x=-\frac{1}{4}$ (vì $\Delta =9+16=25$, $x=\frac{3\pm 5}{8}$). Với $a=4>0$, tam thức âm giữa hai nghiệm nên tập nghiệm là $-\frac{1}{4}\le x\le 1$. Nghiệm dương lớn nhất là $x=1$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã A: 1).

a) Bảng xét dấu: hàng $x$: $-\infty$, $\frac{2}{3}$, $1$, $+\infty$; hàng $f(x)$: $-$, $0$, $+$, $0$, $-$. $$f(x)\ge 0,\forall x\in \left[\frac{2}{3};1\right]$$ $$f(x)<0,\forall x\in \left(-\infty ;\frac{2}{3}\right)\cup (1;+\infty )$$ b) $$-3x^2+5x-2\ge 0\iff \frac{2}{3}\le x\le 1.$$ (Điểm: a) 0,25 + 0,25; b) 0,5. Lưu ý: Câu 19a học sinh ghi đúng 1 trong 2 hàng trong bảng xét dấu cho 0,25đ; học sinh lập đúng bảng xét dấu không kết luận cho 0,5đ.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $25x^2+70x+13\ge 0$. Giải phương trình $25x^2+70x+13=0$: $\Delta =70^2-4\cdot 25\cdot 13=4900-1300=3600$, $\sqrt{\Delta }=60$, nên $x=\frac{-70\pm 60}{50}$, tức $x=-\frac{13}{5}$ hoặc $x=-\frac{1}{5}$. Vì hệ số $a=25>0$, tam thức $\ge 0$ khi $x\le -\frac{13}{5}$ hoặc $x\ge -\frac{1}{5}$. Vậy $\mathcal{D}=\left(-\infty ;-\frac{13}{5}\right]\cup \left[-\frac{1}{5};+\infty \right)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{25x^2+70x+13}$ xác định khi $25x^2+70x+13\ge 0$. Tam thức có $a=25>0$, $\Delta =70^2-4\cdot 25\cdot 13=4900-1300=3600>0$, hai nghiệm $x=\frac{-70\pm 60}{50}$, tức $x=-\frac{13}{5}$ và $x=-\frac{1}{5}$. Vì $a>0$, tam thức không âm ngoài khoảng hai nghiệm, nên $\mathcal{D}=\left(-\infty ;-\frac{13}{5}\right]\cup \left[-\frac{1}{5};+\infty \right)$. Khớp với phương án C (được xác nhận trên trang 8).

(AI giải đề cho tôi)
Giải bất phương trình $-15x^2+780x-5280>2700\iff -15x^2+780x-7980>0\iff x^2-52x+532<0$. Tam thức có hai nghiệm $x=\frac{52\pm \sqrt{2704-2128}}{2}=\frac{52\pm 24}{2}$, tức $x=14$ và $x=38$. Vậy $P(x)>2700$ khi $x\in (14;38)$, nên $a=14$, $b=38$, $a+b=52$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số xác định khi $25x^2+70x+13\ge 0$. Tam thức có $\Delta =70^2-4\cdot 25\cdot 13=4900-1300=3600$, hai nghiệm $x=\frac{-70\pm 60}{50}$, tức $x=-\frac{13}{5}$ và $x=-\frac{1}{5}$. Vì hệ số $a=25>0$ nên tam thức dương ngoài khoảng hai nghiệm: $x\le -\frac{13}{5}$ hoặc $x\ge -\frac{1}{5}$. Vậy $\mathcal{D}=\left(-\infty ;-\frac{13}{5}\right]\cup \left[-\frac{1}{5};+\infty \right)$, tương ứng phương án D (lưu ý đề in gốc dùng $-\frac{1}{5}$, khớp với phương án D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần $P(x)>1000$: $-25x^2+550x-1800>1000\iff -25x^2+550x-2800>0\iff x^2-22x+112<0$. Phương trình $x^2-22x+112=0$ có $\Delta =484-448=36$, nghiệm $x=\frac{22\pm 6}{2}$, tức $x=8$ và $x=14$. Vậy $P(x)>1000\iff 8<x<14$, khoảng $(a;b)=(8;14)$ nên $a+b=8+14=22$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{25x^2+70x+13}$ xác định khi $25x^2+70x+13\ge 0$. Xét tam thức bậc hai: $\Delta =70^2-4\cdot 25\cdot 13=4900-1300=3600>0$, có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{-70\pm 60}{50}$, tức $x_1=-\frac{13}{5}$, $x_2=-\frac{1}{5}$. Vì hệ số $a=25>0$ nên tam thức dương ngoài khoảng hai nghiệm: $25x^2+70x+13\ge 0\iff x\le -\frac{13}{5}$ hoặc $x\ge -\frac{1}{5}$. Vậy $\mathcal{D}=\left(-\infty ;-\frac{13}{5}\right]\cup \left[-\frac{1}{5};+\infty \right)$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=x^2-x-2$ có $a=1>0$, nghiệm $x=-1$ và $x=2$ (vì $x^2-x-2=(x+1)(x-2)$). Với $a>0$, tam thức âm giữa hai nghiệm, tức $f(x)<0$ khi $x\in (-1;2)$. Vậy đáp án D, trùng với bảng đáp án mã đề 0101 (Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{2x^2-5x+2}$ xác định khi $2x^2-5x+2\ge 0$. Phương trình $2x^2-5x+2=0$ có nghiệm $x=\frac{1}{2}$ và $x=2$ (vì $\Delta =25-16=9$). Do hệ số $a=2>0$ nên tam thức dương ngoài khoảng nghiệm: $2x^2-5x+2\ge 0⟺x\le \frac{1}{2}$ hoặc $x\ge 2$. Vậy tập xác định là $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right]\cup [2;+\infty )$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 0003, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{2x^2-5x+2}$ xác định khi $2x^2-5x+2\ge 0$. Phương trình $2x^2-5x+2=0$ có nghiệm $x=\frac{1}{2}$ và $x=2$ (vì $\Delta =25-16=9$). Do hệ số $a=2>0$, tam thức $2x^2-5x+2$ dương ngoài khoảng hai nghiệm, nên điều kiện là $x\le \frac{1}{2}$ hoặc $x\ge 2$. Vậy tập xác định là $\left(-\infty ;\frac{1}{2}\right]\cup [2;+\infty )$, trùng với đáp án B (khớp với đáp án nguồn: mã đề 0001, câu 12 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức luôn âm khi $a<0$ và $\Delta <0$. Xét A: $-x^2+2x-5$ có $a=-1<0$, $\Delta =2^2-4(-1)(-5)=4-20=-16<0$ nên luôn âm với mọi $x$. B: $-x^2+4x-4$ có $\Delta =16-16=0$ nên $\le 0$, bằng $0$ tại $x=2$, không luôn âm. C: $x^2-2x+5$ có $a=1>0$ nên luôn dương. D: $-x^2+10x-2$ có $\Delta =100-8=92>0$ nên đổi dấu. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Giải $-2x^2+5x-2\ge 0\iff 2x^2-5x+2\le 0\iff (2x-1)(x-2)\le 0\iff \frac{1}{2}\le x\le 2$. Vậy $[a;b]=\left[\frac{1}{2};2\right]$, tức $a=\frac{1}{2},b=2$. Do đó $P=25b-2a=25\cdot 2-2\cdot \frac{1}{2}=50-1=49$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (49).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $-x^2+4x-3\ge 0\iff x^2-4x+3\le 0\iff (x-1)(x-3)\le 0\iff 1\le x\le 3$. Vậy tập nghiệm là $[1;3]$, tức $a=1,b=3$. Khi đó $P=3a-2b=3\cdot 1-2\cdot 3=3-6=-3$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-3).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, $f(x)$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=3$ với hệ số dương, nên $f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$, suy ra $a=4$, $b=3$.

a) $f(4)=16-16+3=3$ → Đúng.

b) $a+b=4+3=7$ → Đúng.

c) Vì hệ số $a=4>0$, tam thức âm giữa hai nghiệm: $f(x)<0\iff 1<x<3$ → Đúng.

d) $(x^2-3x+2)f(x)\le 0\iff (x-1{)}^2(x-2)(x-3)\le 0$. Vì $(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, bất đẳng thức tương đương với $(x-2)(x-3)\le 0$ hoặc $x=1$. Vậy tập nghiệm là $\{1\}\cup [2;3]$, không chỉ $[2;3]$ → Sai.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án ĐĐĐS của đề.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Vì $f(x)=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$ nên $f(4)=16-16+3=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$a=4$, $b=3$ nên $a+b=7$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Hệ số $a=4>0$ nên $f(x)<0$ trên khoảng giữa hai nghiệm $(1;3)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$(x^2-3x+2)f(x)\le 0\iff (x-1{)}^2(x-2)(x-3)\le 0$. Vì $(x-1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, bất đẳng thức tương đương $(x-2)(x-3)\le 0$ hoặc $x=1$, tức $x\in \{1\}\cup [2;3]$, không chỉ $[2;3]$ → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho thấy $f(x)$ có hai nghiệm $x=-2$ và $x=4$, âm ngoài khoảng $(-2;4)$ và dương trong khoảng $(-2;4)$, nên tam thức có hệ số $a<0$ và $f(x)=a(x+2)(x-4)$. Xét đáp án A: $f(x)=-x^2+2x+8=-(x-4)(x+2)$, có nghiệm $-2$ và $4$, $a=-1<0$ nên $f(x)>0$ khi $x\in (-2;4)$ và $f(x)<0$ khi $x<-2$ hoặc $x>4$: khớp bảng xét dấu. Đáp án B có nghiệm $-4$ và $2$ (sai nghiệm); C và D có $a>0$ nên dương ngoài, âm trong (sai dấu). Vậy chọn A.