Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng tam thức:
- A: $-4x^2+4x-1=-(2x-1{)}^2\le 0$, tại $x=\frac{1}{2}$ bằng $0$, nên không luôn âm.
- B: $-x^2+5x-8$ có $a=-1<0$, $\Delta =25-32=-7<0$ nên tam thức luôn âm với mọi $x$.
- C: $x^2+3x+8$ có $a=1>0$, $\Delta =9-32<0$ nên luôn dương.
- D: $-x^2+5x-2$ có $\Delta =25-8=17>0$ nên có hai nghiệm, đổi dấu.
Vậy chỉ biểu thức B luôn nhận giá trị âm, khớp đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=3x^2-4x-7$ có $a=3>0$, $\Delta =(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot (-7)=16+84=100>0$, nên hai nghiệm là $x_{1,2}=\frac{4\pm 10}{6}$, tức $x_1=-1$ và $x_2=\frac{7}{3}$.
a) Đúng: vì $a>0$ nên $f(x)>0$ ngoài hai nghiệm và $f(x)<0$ giữa hai nghiệm; bảng xét dấu $+|0|-|0|+$ với các mốc $-1$ và $\frac{7}{3}$ là đúng.
b) Đúng: nghiệm của $f(x)$ là $-1$ và $\frac{7}{3}$ (kiểm tra: $f(-1)=3+4-7=0$, $f\left(\frac{7}{3}\right)=\frac{49}{3}-\frac{28}{3}-7=0$).
c) Đúng: với $a>0$, $f(x)\le 0$ trên đoạn giữa hai nghiệm gồm cả hai đầu mút, nên $S=\left[-1;\frac{7}{3}\right]$.
d) Sai: $g(x)=f(x)+2x-5=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=(-1{)}^2-3\cdot (-12)=1+36=37>0$, nên $g$ có hai nghiệm phân biệt $x=\frac{1\pm \sqrt{37}}{3}$ và nhận giá trị âm giữa hai nghiệm, do đó không luôn dương với mọi $x$.
So sánh với đáp án nguồn (Mã đề 102, Phần II câu 2): a) Đ, b) Đ, c) Đ, d) S — khớp hoàn toàn.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $a=3>0$ nên $f(x)$ dương ngoài khoảng hai nghiệm $-1$ và $\frac{7}{3}$, âm giữa hai nghiệm; bảng xét dấu $+0-0+$ là đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\Delta =100>0$, $x=\frac{4\pm 10}{6}$ cho $x=-1$ và $x=\frac{7}{3}$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $a>0$, $f(x)\le 0$ trên đoạn giữa hai nghiệm gồm cả hai đầu: $S=\left[-1;\frac{7}{3}\right]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $g(x)=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=37>0$ nên có hai nghiệm phân biệt và nhận giá trị âm, không luôn dương.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $3x^2+x-14<0$. Phương trình $3x^2+x-14=0$ có $\Delta =1+168=169$, nghiệm $x=\frac{-1\pm 13}{6}$, tức $x=2$ và $x=-\frac{7}{3}$. Vì hệ số $a=3>0$ nên tam thức âm khi $-\frac{7}{3}<x<2$. Các nghiệm nguyên trong khoảng này là $x\in \{-2,-1,0,1\}$, gồm 4 giá trị. Vậy số nghiệm nguyên là 4, khớp đáp án C của đề (Mã đề 102, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=3x^2-4x-7$ có $a=3>0$, $\Delta =(-4{)}^2-4\cdot 3\cdot (-7)=16+84=100>0$, nghiệm $x=\frac{4\pm 10}{6}$ tức $x_1=-1$, $x_2=\frac{7}{3}$. a) Đúng: vì $a>0$ nên $f(x)>0$ ngoài hai nghiệm, $f(x)<0$ giữa hai nghiệm, bảng xét dấu đúng như đề. b) Đúng: nghiệm là $-1$ và $\frac{7}{3}$. c) Đúng: $f(x)\le 0\iff x\in \left[-1;\frac{7}{3}\right]$. d) Sai: $g(x)=f(x)+2x-5=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=(-1{)}^2-3\cdot (-12)=37>0$ nên $g(x)$ có hai nghiệm phân biệt và nhận giá trị âm, không luôn dương với mọi $x$. Khớp đáp án nguồn: a Đ, b Đ, c Đ, d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=3>0$ và hai nghiệm là $-1$, $\frac{7}{3}$ nên $f(x)$ dương ngoài khoảng hai nghiệm, âm giữa hai nghiệm; bảng xét dấu đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =100$, $x=\frac{4\pm 10}{6}$ cho $x=-1$ và $x=\frac{7}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam thức có $a>0$ nên $f(x)\le 0$ trên đoạn giữa hai nghiệm $\left[-1;\frac{7}{3}\right]$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=3x^2-2x-12$ có ${\Delta }^{\prime }=37>0$ nên có nghiệm, do đó không luôn dương với mọi $x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng biểu thức:
- A: $-x^2+5x-8$ có $a=-1<0$ và $\Delta =25-4(-1)(-8)=25-32=-7<0$, nên tam thức luôn âm với mọi $x$.
- B: $x^2+3x+8$ có $a=1>0$ nên luôn dương, không âm.
- C: $-x^2+5x-2$ có $\Delta =25-8=17>0$ nên có khoảng giá trị dương.
- D: $-4x^2+4x-1=-(2x-1{)}^2\le 0$ và bằng $0$ tại $x=\frac{1}{2}$, không luôn âm.
Vậy chỉ biểu thức A luôn nhận giá trị âm, khớp với đáp án nguồn (Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $3x^2+x-14<0$. Phương trình $3x^2+x-14=0$ có $\Delta =1+168=169$, nên $x=\frac{-1\pm 13}{6}$, tức $x_1=-\frac{7}{3}$, $x_2=2$. Vì hệ số $a=3>0$, bất phương trình nghiệm khi $-\frac{7}{3}<x<2$. Các nghiệm nguyên là $x\in \{-2,-1,0,1\}$, gồm 4 nghiệm. Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chuyển vế: $x^2+3x+1\le 2x^2-2x-5\iff x^2-5x-6\ge 0\iff (x-6)(x+1)\ge 0$. Vì parabol $y=x^2-5x-6$ hướng lên và có hai nghiệm $x=-1$ và $x=6$, bất phương trình thỏa mãn khi $x\le -1$ hoặc $x\ge 6$. Vậy $S=(-\infty ;-1]\cup [6;+\infty )$.

(AI giải đề cho tôi)
Bóng cao hơn vành rổ khi $h(x)>0$: $-0,1x^2+x-1>0\iff x^2-10x+10<0\iff 5-\sqrt{15}<x<5+\sqrt{15}$. Vì $\sqrt{15}\approx 3,873$ nên $1,127<x<8,873$, các giá trị nguyên là $x\in \{2;3;4;5;6;7;8\}$, gồm 7 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho thấy $f(x)=0$ tại $x=4$ và $f(x)<0$ ở cả hai bên $x=4$, tức $x=4$ là nghiệm kép và tam thức có hệ số $a<0$. Xét các phương án: $f(x)=-x^2+8x-16=-(x-4{)}^2\le 0$ với mọi $x$, bằng $0$ tại $x=4$ và âm ở hai bên — khớp bảng xét dấu. Các phương án khác: A có hai nghiệm $0;4$ (dấu đổi); B $=(x-4{)}^2\ge 0$ (dương hai bên); D có nghiệm kép $x=2$ và $a<0$ nhưng nghiệm là $2$ chứ không phải $4$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $f(x)=-2x^2-3x+5$ có $a=-2<0$ nên $f(x)>0$ giữa hai nghiệm. Giải $-2x^2-3x+5=0\iff 2x^2+3x-5=0$. Với $a=2,b=3,c=-5$: $\Delta =9+40=49$, $\sqrt{\Delta }=7$, nên $x_1=\frac{-3-7}{4}=-\frac{5}{2}=-2,5$ và $x_2=\frac{-3+7}{4}=1$. Vậy $f(x)>0,\forall x\in \left(-\frac{5}{2};1\right)$, tức $(a;b)=(-2,5;1)$, suy ra $a=-2,5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-2,5).

(AI giải đề cho tôi)
a) $f(x)=x^2-4$ là tam thức bậc hai với $a=1>0$, hai nghiệm $x=\pm 2$ → đúng.
b) Bảng xét dấu đúng phải có nghiệm $x=-2$ và $x=2$ (không phải $0$ và $4$). Với bảng trong đề dùng $0$ và $4$ thì sai, vì $f(0)=-4\ne 0$ và $f(4)=12\ne 0$ → sai.
c) $f(x)\ge 0\iff x^2-4\ge 0\iff x\le -2$ hoặc $x\ge 2$, tập nghiệm $S=(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$ (phải lấy đóng hai đầu). Đề cho khoảng mở nên sai.
d) $\sqrt{x^2-4}=\sqrt{5}\iff x^2-4=5\iff x^2=9\iff x=\pm 3$, hai nghiệm phân biệt → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=x^2-4$ là tam thức bậc hai với $a=1>0$, hai nghiệm $x=\pm 2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu đúng phải có nghiệm $x=-2$ và $x=2$; bảng trong đề dùng $0$ và $4$ là sai vì $f(0)=-4\ne 0$, $f(4)=12\ne 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)\ge 0\iff x\le -2$ hoặc $x\ge 2$, tập nghiệm là $S=(-\infty ;-2]\cup [2;+\infty )$, không phải khoảng mở.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sqrt{x^2-4}=\sqrt{5}\iff x^2=9\iff x=\pm 3$: hai nghiệm phân biệt.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho thấy $f(x)\le 0$ trên $\mathbb{R}$ và $f(-2)=0$, tức $f(x)=-(x+2{)}^2=-x^2-4x-4$. Kiểm tra: $f(x)=-x^2-4x-4=-(x+2{)}^2\le 0$ với mọi $x$, dấu bằng tại $x=-2$. Các phương án khác: A có $f(x)=(x+2{)}^2\ge 0$ (sai dấu); B có nghiệm $x=0$ và $x=-2$ (bảng có hai nghiệm, sai); D không có nghiệm $f(x)=0$ tại $x=-2$ vì $-4-2=-6\ne 0$ (sai). Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
f(x) = x² + (m+2)x + 8m + 1 luôn dương với mọi x ∈ ℝ khi và chỉ khi hệ số a = 1 > 0 và Δ < 0. Ta có Δ = (m+2)² − 4(8m+1) = m² + 4m + 4 − 32m − 4 = m² − 28m = m(m − 28). Điều kiện Δ < 0 cho m(m − 28) < 0, tức 0 < m < 28. Các giá trị nguyên m ∈ {1, 2, ..., 27} nên có 27 giá trị. Kết quả trùng với đáp án nguồn (27).

(AI giải đề cho tôi)
Từ bảng xét dấu, tam thức có hai nghiệm $x=-3$ và $x=2$, và $f(x)>0$ ngoài khoảng nghiệm, $f(x)<0$ trong khoảng nghiệm, nên hệ số $a>0$. Xét phương án A: $f(x)=x^2+x-6=(x+3)(x-2)$, có $a=1>0$, hai nghiệm $x=-3$, $x=2$, đúng bảng xét dấu. Các phương án B, D có $a<0$ (dấu ngược lại), phương án C có nghiệm $x=-2$ và $x=3$ (sai nghiệm). Vậy đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (đề 0101, câu 4 = A).

Tam thức $f(x)=x^2+x-6$ có $\Delta =25>0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm $x_1=-3$; $x_2=2$. Mặt khác $a=1>0$, do đó ta có bảng xét dấu: $f(x)$ dương trên $(-\infty ;-3)$, âm trên $(-3;2)$, dương trên $(2;+\infty )$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty ;-3]\cup [2;+\infty )$.

Tam thức $f(x)=x^2-x-6$ có $\Delta =25>0$ nên $f(x)$ có hai nghiệm $x_1=-2$; $x_2=3$. Mặt khác $a=1>0$, do đó ta có bảng xét dấu: $f(x)$ dương trên $(-\infty ;-2)$, âm trên $(-2;3)$, dương trên $(3;+\infty )$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S=(-\infty ;-2]\cup [3;+\infty )$.

$-t^2+4t+5>7$
$-t^2+4t-2>0$
$2-\sqrt{2}<t<2+\sqrt{2}$
$t\in (0,59;3,41)$

$-5t^2+20t+1>6$
$-5t^2+20t-5>0$
$2-\sqrt{3}<t<2+\sqrt{3}$
$t\in (0,27;3,73)$

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, parabol có bậc dẫn dương (nhọn hướng lên), đỉnh $(1;-3)$ và cắt trục hoành tại hai điểm $x=0$ và $x=2$. Vậy $f(x)=3(x-1{)}^2-3=3x^2-6x$. Bất phương trình $f(x)\le 0$ có tập nghiệm $[0;2]$, các nghiệm nguyên là $x\in \{0;1;2\}$, tức có 3 nghiệm nguyên. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$.
a) $f(0)=0-0+3=3$ → Đúng.
b) $f(x)=x^2-4x+3=(x-2{)}^2-1$ có giá trị nhỏ nhất bằng $-1$ tại $x=2$. BPT $f(x)\ge m-5$ đúng với mọi $x$ khi và chỉ khi $-1\ge m-5\iff m\le 4$. Các giá trị nguyên dương: $m\in \{1,2,3,4\}$, tổng $=1+2+3+4=10$ → Đúng.
c) $f(x)\le 0\iff 1\le x\le 3$, các nghiệm nguyên: $x\in \{1,2,3\}$, có 3 nghiệm → Đúng.
d) $f(x)>3\iff x^2-4x>0\iff x<0$ hoặc $x>4$, tập nghiệm là $S=(-\infty ;0)\cup (4;+\infty )$ (khoảng mở), không phải $(-\infty ;0]\cup [4;+\infty )$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(0)=0^2-4\cdot 0+3=3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\min f=-1$ tại $x=2$; cần $-1\ge m-5\iff m\le 4$; $m$ nguyên dương: $1,2,3,4$, tổng bằng 10.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)\le 0\iff 1\le x\le 3$, nghiệm nguyên $1,2,3$: đúng 3 nghiệm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)>3\iff x(x-4)>0\iff x<0$ hoặc $x>4$, tập nghiệm $(-\infty ;0)\cup (4;+\infty )$, các đầu mút 0 và 4 không thuộc tập nghiệm.