Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dấu tam thức, BPT bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức $x^2-3x+2$ có hai nghiệm $x=1$ và $x=2$ (vì $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$), hệ số $a=1>0$ nên parabol hướng lên. Bất phương trình $x^2-3x+2\ge 0$ nghiệm khi $x\le 1$ hoặc $x\ge 2$. Vậy tập nghiệm là $(-\infty ;1]\cup [2;+\infty )$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$ với $\Delta =b^2-4ac$.
- A sai: khi $\Delta =0$, tại $x=-\frac{b}{2a}$ ta có $f(x)=0$, không cùng dấu với $a$.
- B sai: cùng lý do, tại nghiệm kép $f\left(-\frac{b}{2a}\right)=0$.
- C sai: khi $\Delta >0$, tam thức có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu trong khoảng giữa hai nghiệm, nên không cùng dấu với $a$ với mọi $x$.
- D đúng: khi $\Delta =0$, $f(x)=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2$, do đó với mọi $x\ne -\frac{b}{2a}$ thì $f(x)$ cùng dấu với $a$.
Đáp án khớp với bảng đáp án chính thức (mã đề 1002, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Tam thức bậc hai $f(x)=a{x}^2+bx+c$ $(a\ne 0)$ có $\Delta =b^2-4ac$. Xét từng mệnh đề: Nếu $\Delta <0$ thì tam thức vô nghiệm, khi đó $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ — đây là định lý dấu của tam thức bậc hai, nên B đúng. Nếu $\Delta =0$ thì $f(x)=0$ tại nghiệm kép $x=-\frac{b}{2a}$, tức $f(x)$ không cùng dấu với $a$ tại điểm đó, nên C sai (và do đó A cũng sai vì $\Delta \le 0$ bao gồm trường hợp $\Delta =0$). Nếu $\Delta >0$ thì tam thức có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu qua các khoảng, nên D sai. Đáp án khớp với đáp án nguồn (đề 1001, câu 11: B).

Lập bảng xét dấu như sau: Vậy $f(x)\ge 0\iff x\in [1;2]$. Chọn đáp án (C)

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho thấy $f(x)=0$ tại $x=1$ và $x=3$, $f(x)>0$ khi $x<1$ hoặc $x>3$, $f(x)<0$ khi $1<x<3$. Xét các phương án: A: $x^2+4x+3=(x+1)(x+3)$ có nghiệm $-1,-3$ (loại). B: $-x^2+4x-3=-(x-1)(x-3)$ có dấu ngược lại: âm ngoài khoảng, dương trong $(1;3)$ (loại). C: $x^2+4x-5=(x-1)(x+5)$ có nghiệm $1,-5$ (loại). D: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ với $a=1>0$ nên $f(x)>0$ khi $x<1$ hoặc $x>3$, $f(x)<0$ khi $1<x<3$ — khớp hoàn toàn với bảng xét dấu. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2-5x+6<0$. Tam thức có hai nghiệm $x=2$ và $x=3$ (vì $2+3=5$, $2\cdot 3=6$), hệ số $a=1>0$ nên tam thức âm giữa hai nghiệm. Vậy $S=(2;3)$, trùng với đáp án B của mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Bảng xét dấu cho thấy f(x) dương khi x<1, âm trên (1;3), dương khi x>3, với nghiệm x=1 và x=3. Vậy f(x) có hai nghiệm 1 và 3 và nhận giá trị âm giữa hai nghiệm, tức f(x)=a(x-1)(x-3) với a>0. Xét các phương án: f(x)=x²-4x+3=(x-1)(x-3) thỏa mãn (a=1>0). Kiểm tra: f(0)=3>0, f(2)=-1<0, f(4)=3>0, đúng bảng dấu. Đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $x^2-5x+6<0$. Tam thức có hai nghiệm $x=2$ và $x=3$ (vì $2+3=5$, $2\cdot 3=6$), hệ số $a=1>0$ nên tam thức âm giữa hai nghiệm. Vậy $S=(2;3)$, trùng với đáp án C của đề (mã đề 101).

Lập bảng xét dấu như sau: Để cho $f(x)\le 0$ thì $x\in [-3;2]$. Chọn đáp án (A)

a) (S) $\Delta =b^2-4ac=1^2-\mathrm{4.1.}(-6)=25$. b) (S) $g(x)=0$ có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $ac<0$ mà $c=0\Rightarrow ac=0$ (Mâu thuẫn). Vậy $g(x)$ không có hai nghiệm trái dấu. c) (Đ) Bấm máy tính (chế độ giải bất phương trình) hoặc là lập bảng xét dấu như sau: Nhận thấy $f(x)>0\iff x\in (-\infty ;-3)\cup (2;+\infty )$. d) (Đ) $$\sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)}\iff \sqrt{x^2-x}=\sqrt{x^2+x-6}\iff x^2-x=x^2+x-6\iff -2x=-6\iff x=3$$ Thay lại vào phương trình ban đầu và thoả mãn. Vậy $\sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)}$ phương trình có 1 nghiệm là $x=3$. Chọn đáp án [a sai | b sai | c đúng | d đúng]
a) (S) $\Delta =b^2-4ac=1^2-\mathrm{4.1.}(-6)=25$.
b) (S) $g(x)=0$ có 2 nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $ac<0$ mà $c=0\Rightarrow ac=0$ (Mâu thuẫn). Vậy $g(x)$ không có hai nghiệm trái dấu.
c) (Đ) Bấm máy tính (chế độ giải bất phương trình) hoặc là lập bảng xét dấu như sau: Nhận thấy $f(x)>0\iff x\in (-\infty ;-3)\cup (2;+\infty )$.
d) (Đ) $$\sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)}\iff \sqrt{x^2-x}=\sqrt{x^2+x-6}\iff x^2-x=x^2+x-6\iff -2x=-6\iff x=3$$ Thay lại vào phương trình ban đầu và thoả mãn. Vậy $\sqrt{g(x)}=\sqrt{f(x)}$ phương trình có 1 nghiệm là $x=3$.

Lập bảng xét dấu: Suy ra $$f(x)\le 0\iff x\in [2;5]\iff x\in \{2;3;4;5\}$$ Vậy tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình bằng 14. Đáp án: [14]

Chọn đáp án B

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu là $149x$ (nghìn đồng). Không bị lỗ khi $149x\ge x^2-3551x+3360000$, tức $x^2-3700x+3360000\le 0$. Biệt thức $\Delta =3700^2-4\cdot 3360000=13690000-13440000=250000$, $\sqrt{\Delta }=500$. Nghiệm: $x=\frac{3700\pm 500}{2}$, tức $x=1600$ hoặc $x=2100$. Vậy $1600\le x\le 2100$, nên $a=1600$, $b=2100$ và $T=b-a=500$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, parabol $y=f(x)$ có bề lõm hướng lên ($a>0$) và cắt trục hoành tại hai điểm $x=1$ và $x=4$. Với $a>0$, $f(x)<0\iff 1<x<4$. Vậy tập nghiệm của bất phương trình $f(x)<0$ là $(1;4)$. Loại D vì tại $x=1$ và $x=4$ thì $f(x)=0$, không thỏa $f(x)<0$. Chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $(2x-1)(3x+2)\le 0$ có hai nghiệm $x=\frac{1}{2}$ và $x=-\frac{2}{3}$. Vì hệ số của $x^2$ là $6>0$, bất phương trình nghiệm khi $-\frac{2}{3}\le x\le \frac{1}{2}$. Các giá trị nguyên trong khoảng này chỉ có $x=0$. Vậy số nghiệm nguyên là $1$, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2022, Câu 2: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Bất phương trình $(2x-1)(3x+2)\le 0$ có hai nghiệm của vế trái là $x=\frac{1}{2}$ và $x=-\frac{2}{3}$. Vì hệ số của $x^2$ là $6>0$, tam thức âm giữa hai nghiệm, nên tập nghiệm là $-\frac{2}{3}\le x\le \frac{1}{2}$. Các số nguyên trong khoảng này chỉ có $x=0$. Vậy số nghiệm nguyên là $1$, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 2014, Phần III, Câu 1: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=-x^2+4x-3>0$. Tam thức có $a=-1<0$ nên parabol hướng xuống. Nghiệm của $-x^2+4x-3=0$ là $x^2-4x+3=0\iff (x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Vì $a<0$, tam thức dương giữa hai nghiệm, tức $f(x)>0\iff 1<x<3$. Điều này khớp với đồ thị parabol cắt trục hoành tại $x=1$ và $x=3$ và phần đồ thị nằm trên trục $Ox$ giữa hai điểm này. Vậy đáp án là $x\in (1;3)$, trùng với đáp án B trong bảng mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=-x^2+4x-3>0$. Vì $a=-1<0$ nên parabol hướng xuống. Giải $-x^2+4x-3=0\iff x^2-4x+3=0\iff (x-1)(x-3)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$ (khớp với đồ thị cắt trục hoành tại $x=1$ và $x=3$). Với $a<0$, tam thức dương giữa hai nghiệm: $f(x)>0\iff 1<x<3$. Vậy $x\in (1;3)$, trùng đáp án A (bảng đáp án mã đề 101, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét tam thức $f(x)=x^2-2x-3$. Ta có $f(2)=4-4-3=-3<0$; $f(4)=16-8-3=5>0$; $f(0)=-3<0$; $f(-1)=1+2-3=0$ (không dương). Vậy chỉ có $x=4$ làm tam thức nhận giá trị dương, tương ứng phương án B. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 2: B).

a) Khi $m=5$, $y=f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-10x+9}}$. Đkxd của hàm số là $x^2-10x+9>0\iff x<1$ hoặc $x>9$. Vậy $D=(-\infty ;1)\cup (9;+\infty )$.

b) Hàm số $f(x)$ có tập xác định $D=\mathbb{R}\iff x^2-2mx+9>0,\forall x\in \mathbb{R}$ $\iff {\Delta }^{\prime }<0\iff m^2-9<0\iff -3<m<3$.