Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (Phần II): a) Thay A(4;3) vào d₂: 4·4 − 3·3 + 1 = 8 ≠ 0 nên d₂ không đi qua A → Sai. b) d₁: 3x+4y+3=0 có pháp tuyến n₁=(3;4) → Đúng. c) d(M,d₁) = |3·4+4·3+3|/√(3²+4²) = 27/5 = 5,4 ≠ 5 → Sai. d) n₁·n₂ = 3·4 + 4·(−3) = 0 nên d₁ ⊥ d₂ → Đúng. Kết quả: Đ, S, Đ, Đ, khớp đáp án chính thức ĐSĐĐ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(4;3) vào d₂: 4·4 − 3·3 + 1 = 8 ≠ 0, nên A không thuộc d₂.
b) (AI giải đề cho tôi)
d₁: 3x+4y+3=0 có hệ số của x, y là 3 và 4 nên pháp tuyến n₁=(3;4).
c) (AI giải đề cho tôi)
d(M,d₁) = |3·4+4·3+3|/√(9+16) = 27/5 = 5,4 ≠ 5.
d) (AI giải đề cho tôi)
n₁·n₂ = 3·4 + 4·(−3) = 12 − 12 = 0 nên d₁ vuông góc d₂.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 4 (Mã 2014): a) Thay A(4;3) vào d2: 4·4 − 3·3 + 1 = 8 ≠ 0 nên A không thuộc d2 → Sai. b) Từ 3x + 4y + 3 = 0, pháp tuyến n1 = (3; 4) → Đúng. c) n1·n2 = 3·4 + 4·(−3) = 0 nên d1 ⊥ d2 → Đúng. d) d(M, d1) = |3·4 + 4·3 + 3|/√(3²+4²) = 27/5 = 5,4 ≠ 5 → Sai. Kết quả SĐĐS trùng khớp đáp án chính thức trang 7.
a) Thay $x=4,y=3$ vào $d_2$: $4(4)-3(3)+1=8\ne 0$, nên $A$ không thuộc $d_2$ → Sai.
b) Từ phương trình $3x+4y+3=0$, véc tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=(3;4)$ → Đúng.
c) $\overrightarrow{n_1}=(3;4)$, $\overrightarrow{n_2}=(4;-3)$; $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=12-12=0$ nên $d_1\perp d_2$ → Đúng.
d) $d(M,d_1)=\frac{|3(4)+4(3)+3|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{27}{5}=5,4\ne 5$ → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét Δ1: 2x+3y−1=0 (pháp tuyến n1=(2;3)) và Δ2: x−2y+5=0 (pháp tuyến n2=(1;−2)).
a) Cosin góc giữa hai đường thẳng: cosφ = |n1·n2|/(|n1||n2|) = |2·1 + 3·(−2)|/(√13·√5) = 4/√65 = 4√65/65. Mệnh đề ĐÚNG.
b) Khoảng cách từ A(3;−1) đến Δ1: d = |2·3 + 3·(−1) − 1|/√(2²+3²) = |6−3−1|/√13 = 2/√13. Mệnh đề ĐÚNG.
c) Hai đường thẳng song song khi pháp tuyến cùng phương: n1=(2;3) và n2=(1;−2) không cùng phương (2/1 ≠ 3/(−2)), hơn nữa 2·(−2) − 1·3 = −7 ≠ 0 nên chúng cắt nhau. Mệnh đề SAI.
d) Δ2 có pháp tuyến n=(1;−2), nên vecto chỉ phương u = (2;1) (vì u·n = 2−2 = 0). Mệnh đề ĐÚNG.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
cosφ = |2·1 + 3·(−2)|/(√13·√5) = 4/√65 = 4√65/65.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ1) = |2·3 + 3·(−1) − 1|/√13 = 2/√13.
c) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến (2;3) và (1;−2) không cùng phương, hai đường thẳng cắt nhau nên không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
Δ2 có pháp tuyến (1;−2) nên vecto chỉ phương là (2;1).

(AI giải đề cho tôi)
Xét Δ₁: 2x+3y−1=0 có pháp tuyến n₁=(2;3) và Δ₂: x−2y+5=0 có pháp tuyến n₂=(1;−2).
a) Vectơ chỉ phương của Δ₂ vuông góc với n₂=(1;−2), chẳng hạn u=(2;1) vì 1·2+(−2)·1=0 → đúng.
b) Cosin góc giữa hai đường thẳng: cos(Δ₁,Δ₂)=|2·1+3·(−2)|/(√13·√5)=|−4|/√65=4/√65=4√65/65 → đúng.
c) n₁=(2;3) không tỉ lệ với n₂=(1;−2) nên hai đường thẳng cắt nhau, không song song → sai.
d) d(A,Δ₁)=|2·3+3·(−1)−1|/√13=|6−3−1|/√13=2/√13 → đúng.
Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Sai, d Đúng, khớp với đáp án nguồn (2a D, 2b D, 2c S, 2d D).
a) (AI giải đề cho tôi)
Δ₂ có pháp tuyến (1;−2) nên vectơ chỉ phương u=(2;1) vuông góc với pháp tuyến, thỏa mãn.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos(Δ₁,Δ₂)=|2·1+3·(−2)|/(√13·√5)=4/√65=4√65/65.
c) (AI giải đề cho tôi)
n₁=(2;3) không tỉ lệ n₂=(1;−2) nên hai đường thẳng cắt nhau, không song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ₁)=|2·3+3·(−1)−1|/√13=2/√13.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. Vectơ chỉ phương của AB là $\overrightarrow{AB}=(3-4;0-1)=(-1;-1)$, phương trình qua $B(3;0)$: $y=x-3\iff x-y-3=0$, không phải $x+y-3=0$ (đường $x+y-3=0$ không qua $A(4;1)$ vì $4+1-3=2\ne 0$).
b) Đúng. $\overrightarrow{AB}=(1;1)$ (tính từ $B$ đến $A$) là một vectơ chỉ phương của AB.
c) Đúng. $d(A,d)=\frac{|2\cdot 4+1-4|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$.
d) Đúng. $\overrightarrow{OA}=(4;1)$, $\overrightarrow{OB}=(3;0)$, tích vô hướng $=12>0$ nên $\cos (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})>0$, góc giữa hai đường $OA$ và $OB$ nhỏ hơn $90^{\circ }$. Kết quả khớp đáp án nguồn: a S, b Đ, c Đ, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình AB là $x-y-3=0$; đường $x+y-3=0$ không qua $A(4;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;1)$ là vectơ chỉ phương của AB.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,d)=|8+1-4|/\sqrt{5}=\sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=12>0$ nên góc nhỏ hơn $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:5x-3y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(5;-3)$ và $d_2:10x-6y-7=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(10;-6)=2\overrightarrow{n_1}$. Vì $\overrightarrow{n_2}=2\overrightarrow{n_1}$ nên hai đường thẳng song song (kiểm tra: $\frac{5}{10}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}\ne \frac{-1}{7}$, tức khác hệ số tự do nên không trùng nhau). Do đó góc giữa hai đường thẳng bằng $0°$. Kết quả khớp với đáp án nguồn: 0.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(0;-3)$ và $N(4;0)$ nên cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ $b=-3$ và cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $a=4$. Phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\Rightarrow \frac{x}{4}-\frac{y}{3}=1$. Kiểm tra: tại $N(4;0)$: $\frac{4}{4}-0=1$ đúng; tại $M(0;-3)$: $0-\frac{-3}{3}=1$ đúng. Vậy đáp án B, trùng với đáp án nguồn (Câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x+2y-5=0$ và $d_2:3x+my+1=0$ song song khi và chỉ khi $\frac{1}{3}=\frac{2}{m}\ne \frac{5}{-1}$. Từ $\frac{1}{3}=\frac{2}{m}$ suy ra $m=6$; kiểm tra $\frac{5}{-1}=-5\ne \frac{1}{3}$ nên hai đường thẳng thực sự song song (không trùng nhau). Vậy $m=6$, chọn đáp án A, trùng với đáp án của đề (Đề 102, Câu 6: A).

a) $\overrightarrow{BC}=(8;4)$, chọn $\vec{n}=(2;1)$ là vtpt của đường cao kẻ từ A. Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ A là $2(x-0)+(y-9)=0\iff 2x+y-9=0$.

b) Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$ là $\frac{x}{-3}+\frac{y}{9}=1\iff 3x-y+9=0$. $d(C/AB)=\frac{\left|3.5-4+9\right|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{20}{\sqrt{10}}=2\sqrt{10}=R$. Phương trình đường tròn cần tìm là $(x-5{)}^2+(y-4{)}^2=40$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-3y+2=0$ (có $a_1=1,b_1=-3,c_1=2$) và $d_2:2x+my+3=0$ (có $a_2=2,b_2=m,c_2=3$) song song khi và chỉ khi $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$, tức $\frac{1}{2}=\frac{-3}{m}\ne \frac{2}{3}$. Suy ra $m=-6$. Kiểm tra: với $m=-6$ thì $\frac{1}{2}=\frac{-3}{-6}=\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}$, nên hai đường thẳng song song (không trùng nhau). Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Đề 101, Câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(a_1;b_1)$ và ${\Delta }_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(a_2;b_2)$. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến (hoặc bù của nó), nên $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$. Điều này khớp với phương án B (mẫu số là $\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}$, tử số có giá trị tuyệt đối). Phương án A sai mẫu số ($\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2}$), C thiếu giá trị tuyệt đối, D sai tử số. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. VTPT của Δ là n₁=(3;-4), của d là n₂=(3;2). n₁·n₂ = 9 + (-8) = 1 ≠ 0 nên d không vuông góc với Δ.
b) Đúng. d(A,Δ) = |3·3 - 4·(-2) + 8| / √(3²+4²) = |9+8+8|/5 = 25/5 = 5.
c) Đúng. Giải hệ 3x+2y=4 và 3x-4y=-8: trừ hai phương trình được 6y=12 ⇒ y=2, suy ra 3x+4-4=0 ⇒ x=0. Giao điểm là (0;2).
d) Sai. Đường tròn tâm A(3;-2) tiếp xúc với Δ có bán kính R = d(A,Δ) = 5, phương trình đúng là (x-3)² + (y+2)² = 25, không phải (x+3)²+(y-2)²=25. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1002: S, Đ, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
n₁·n₂ = 3·3 + (-4)·2 = 1 ≠ 0 nên d không vuông góc với Δ.
b) (AI giải đề cho tôi)
d(A,Δ) = |3·3 - 4·(-2) + 8|/5 = 25/5 = 5.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ hai phương trình được x=0, y=2, giao điểm (0;2).
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn đúng phải là (x-3)²+(y+2)²=25 với tâm A(3;-2), R=5.

Đáp số: 2.

Khoảng cách ngắn nhất từ tàu cứu hộ $C$ đến thuyền $T$ trong quá trình chuyển động của nó là:
$d=\frac{\left|5.3-12.4+7\right|}{\sqrt{5^2+12^2}}=2$.

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tàu cứu hộ đến thuyền đánh cá là 2 hải lý.

a) Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng $d$. (0,5 điểm)

$d:4x+3y-2=0$ có một vecto pháp tuyến $\vec{n}=(4;3)$. (0,25 điểm)

Suy ra một vecto chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(3;-4)$. (0,25 điểm)

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và song song với đường thẳng $d$. (0,5 điểm)

Phương trình tham số của $d$ là $\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=-5-4t\end{array},t\in \mathbb{R}$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
a) $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot 3-4\cdot (-2)+8|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|9+8+8|}{5}=\frac{25}{5}=5$ → Đúng. b) VTCP của $\Delta$ là $\overrightarrow{n_{\Delta }}=(3;-4)$, của $d$ là $\overrightarrow{n_d}=(3;2)$. Kiểm tra vuông góc: $\overrightarrow{n_{\Delta }}\cdot \overrightarrow{n_d}=3\cdot 3+(-4)\cdot 2=9-8=1\ne 0$ → không vuông góc → Sai. c) Giải hệ $\{\begin{array}{l}3x+2y-4=0\\ 3x-4y+8=0\end{array}$: trừ hai phương trình được $6y-12=0\Rightarrow y=2$, suy ra $3x+4-4=0\Rightarrow x=0$. Giao điểm $(0;2)$ → Đúng. d) Đường tròn tâm $A(3;-2)$ bán kính $R=d(A,\Delta )=5$ có phương trình $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=25$, khác với $(x+3{)}^2+(y-2{)}^2=25$ (tâm $(-3;2)$) → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: Đ, S, Đ, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot 3-4\cdot (-2)+8|}{5}=\frac{25}{5}=5$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{n_{\Delta }}\cdot \overrightarrow{n_d}=3\cdot 3+(-4)\cdot 2=1\ne 0$ nên $d$ không vuông góc với $\Delta$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ hai phương trình được $x=0,y=2$, giao điểm $(0;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đường tròn đúng là $(x-3{)}^2+(y+2{)}^2=25$ với tâm $A(3;-2)$, bán kính $5$; phương trình đã cho có tâm $(-3;2)$.

Đáp số: 2.

Khoảng cách ngắn nhất từ tàu cứu hộ $C$ đến thuyền $T$ trong quá trình chuyển động của nó là:
$d=\frac{\left|5.3-12.4+7\right|}{\sqrt{5^2+12^2}}=2$.

Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tàu cứu hộ đến thuyền đánh cá là 2 hải lý.

a) Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng $d$. (0,5 điểm)

$d:4x+3y-2=0$ có một vecto pháp tuyến $\vec{n}=(4;3)$. (0,25 điểm)

Suy ra một vecto chỉ phương của $d$ là $\vec{u}=(3;-4)$. (0,25 điểm)

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ qua $A$ và song song với đường thẳng $d$. (0,5 điểm)

Phương trình tham số của $d$ là $\{\begin{array}{l}x=3+3t\\ y=-5-4t\end{array},t\in \mathbb{R}$. (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:a_{1}x+b_{1}y+c_1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(a_1;b_1)$ và ${\Delta }_2:a_{2}x+b_{2}y+c_2=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(a_2;b_2)$. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai vectơ pháp tuyến (lấy góc nhọn, nên cosin dương, tức lấy giá trị tuyệt đối của tích vô hướng). Theo công thức tích vô hướng: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=a_1{a}_2+b_1{b}_2$, $|\overrightarrow{n_1}|=\sqrt{a_1^2+b_1^2}$, $|\overrightarrow{n_2}|=\sqrt{a_2^2+b_2^2}$. Do đó $\cos \phi =\frac{|a_1{a}_2+b_1{b}_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}$. So sánh các phương án: A thiếu giá trị tuyệt đối (có thể cho cosin âm, không đúng với góc nhọn giữa hai đường thẳng); B sai mẫu số ($\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2}$); D sai tử số ($|a_1{b}_1+a_2{b}_2|$). Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 8: C).

Ta có $\overrightarrow{BC}(5;3)$ là một vectơ pháp tuyến của đường cao AH. Phương trình AH: $5(x-2)+3(y-1)=0\iff 5x+3y-13=0$. (Điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $I(0;6)$ và $J(2;5)$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=\overrightarrow{IJ}=(2;-1)$, lấy $\vec{u}=(-2;1)$. Qua điểm $J(2;5)$: $\{\begin{array}{l}x=2-2t\\ y=5+t\end{array}$. Kiểm tra: $t=0$ cho $J(2;5)$; $t=1$ cho $(0;6)=I$. Vậy đáp án B, trùng đáp án nguồn (Mã đề A, câu 10: B).