Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường cao $A{A}^{\prime }$ đi qua $A(1;-2)$ và vuông góc với $BC$. Ta có $\overrightarrow{BC}=(-6;8)$. Lấy $\overrightarrow{BC}$ làm vectơ pháp tuyến của đường cao: $-6(x-1)+8(y+2)=0\iff -6x+8y+22=0\iff 3x-4y-11=0$. Thử điểm $A(1;-2)$: $3-(-8)-11=0$ đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-2)$ và ${\Delta }_2:-3x+6y-10=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(-3;6)$. Ta thấy $\overrightarrow{n_2}=-3\overrightarrow{n_1}$ nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương, do đó hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau. Xét tỉ số hệ số tự do: $\frac{1}{-10}\ne \frac{-2}{6}=\frac{1}{-3}$, tức $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$, nên hai đường thẳng song song (không trùng nhau). Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 0001: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n_1=(\sqrt{3};1)$ và $n_2=(1;\sqrt{3})$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $$\cos \phi =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{|\sqrt{3}\cdot 1+1\cdot \sqrt{3}|}{\sqrt{3+1}\cdot \sqrt{1+3}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$ Suy ra $\phi =30^{\circ }$, tức $a=30$. Kết quả trùng với đáp án của đề (đề 102, Câu 1: 30).

HD chấm (1,0 điểm): $\overrightarrow{AB}=(-3;5)$ (0,25 điểm). $\Delta$ qua $A(1;-4)$, có VTCP $\overrightarrow{AB}$ (0,25 điểm). PTTS $\Delta$: $\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=-4+5t\end{array}$ (0,5 điểm, mỗi hàng 0,25).

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n_1=(1;\sqrt{3})$ và $n_2=(1;-\sqrt{3})$. $\cos \phi =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{|1-3|}{2\cdot 2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, nên góc giữa hai đường thẳng là $60^0$. Vậy $a=60$, trùng với đáp án nguồn (đề 101, Phần III Câu 1 = 60).

HD chấm (1,0 điểm): $\overrightarrow{AB}=(-3;-3)$ (0,25 điểm). $\Delta$ qua $A(1;4)$, có VTCP $\overrightarrow{AB}$ (hoặc $\vec{u}=(1;1)$) (0,25 điểm). PTTS $\Delta$: $\{\begin{array}{l}x=1-3t\\ y=4-3t\end{array}$ (0,5 điểm, mỗi hàng 0,25).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (Phần II, mã đề 1002): Cho ${\Delta }_1:x-2y+3=0$ và ${\Delta }_2:3x+y-5=0$.

a) Từ phương trình ${\Delta }_1:x-2y+3=0$, hệ số của $x$ và $y$ cho vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2)$ → Đúng.

b) Thay $M(5;0)$ vào ${\Delta }_2$: $3\cdot 5+0-5=10\ne 0$, nên $M$ không thuộc ${\Delta }_2$ → Sai.

c) Giải hệ $\{\begin{array}{l}x-2y+3=0\\ 3x+y-5=0\end{array}$: từ phương trình thứ hai $y=5-3x$, thay vào phương trình thứ nhất: $x-2(5-3x)+3=0\iff 7x-7=0\iff x=1$, suy ra $y=2$. Giao điểm là $(1;2)$, kiểm tra lại: $1-2\cdot 2+3=0$ và $3\cdot 1+2-5=0$ → Đúng.

d) $\cos \phi =\frac{|1\cdot 3+(-2)\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{3^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{50}}{50}\approx 0,1414\ne \frac{1}{50}$ → Sai.

Kết quả: Đúng – Sai – Đúng – Sai (ĐSDS), khớp đáp án mã đề 1002 trong bảng đáp án trang 7.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $x-2y+3=0$, hệ số của $x$ và $y$ cho vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(5;0)$ vào $3x+y-5=0$ được $3\cdot 5+0-5=10\ne 0$, nên $M$ không thuộc ${\Delta }_2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ hai phương trình được $x=1$, $y=2$; giao điểm $(1;2)$ thỏa cả hai phương trình.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \phi =\frac{|1\cdot 3+(-2)\cdot 1|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{50}}{50}\approx 0,1414$, khác $\frac{1}{50}$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(2;3)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-y+7=0$ là $d=\frac{|3\cdot 2-3+7|}{\sqrt{3^2+(-1{)}^2}}=\frac{10}{\sqrt{10}}=\sqrt{10}$. Vậy $b=10$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, Phần III câu 2 = 10).

a) Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}(1;2)$. PTTS: $\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=3+2t\end{array},t\in \mathbb{R}$.
b) Bán kính: $R=IN=5\sqrt{2}$. PT đường tròn: $(x-1{)}^2+(y+3{)}^2=50$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :2x-3y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3)$. Hai đường thẳng song song khi vectơ pháp tuyến của chúng tỉ lệ nhưng phương trình không trùng nhau. Xét đáp án D: $-2x+3y-1=0$ có ${\vec{n}}_D=(-2;3)=-1\cdot (2;-3)$, tỉ lệ với $\vec{n}$, và hệ số tự do khác (nhân $-1$ vào phương trình D được $2x-3y+1=0\ne \Delta$), nên D song song với $\Delta$. Đáp án B: $-2x+3y+1=0$ chính là $\Delta$ (nhân $-1$), nên trùng chứ không song song. Các đáp án A, C có $\vec{n}=(3;2)$ không tỉ lệ với $(2;-3)$, nên cắt $\Delta$. Vậy đáp án đúng là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 Phần II (mã đề 1001): a) Đường thẳng Δ₁: 3x−2y+2=0 có vectơ pháp tuyến n=(3;−2) → Đúng. b) Thay M(0;1) vào Δ₂: 0+1−6=−5≠0 nên M không thuộc Δ₂ → Sai. c) cosin góc giữa hai đường thẳng: cosφ = |3·1+(−2)·1|/(√13·√2) = 1/√26 ≈ 0,196, khác 1/26 → Sai. d) Giải hệ 3x−2y+2=0 và x+y−6=0: từ phương trình thứ hai y=6−x, thay vào: 3x−2(6−x)+2=0 ⇒ 5x=10 ⇒ x=2, y=4. Giao điểm (2;4) → Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001: Đ-S-S-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ax+by+c=0 có vectơ pháp tuyến (a;b), nên Δ₁: 3x−2y+2=0 có n=(3;−2).
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(0;1) vào Δ₂: 0+1−6=−5≠0, nên M không nằm trên Δ₂.
c) (AI giải đề cho tôi)
cosφ = |n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) = |3−2|/(√13·√2) = 1/√26 ≈ 0,196 ≠ 1/26.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ hai phương trình: y=6−x, thay vào 3x−2(6−x)+2=0 ⇒ 5x=10 ⇒ x=2, y=4, giao điểm (2;4).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(3;1)$ đến đường thẳng $\Delta :x-2y+4=0$ là $d=\frac{|3-2\cdot 1+4|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$. Vậy $a=5$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1001, Phần III câu 1 = 5).

a) Vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}(2;1)$. PTTS: $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=1+t\end{array},t\in \mathbb{R}$.
b) Bán kính: $R=IN=4\sqrt{2}$. PT đường tròn: $(x-1{)}^2+(y+4{)}^2=32$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta :3x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(3;-2)$. Hai đường thẳng $ax+by+c=0$ và $a^{\prime }x+b^{\prime }y+c^{\prime }=0$ song song khi $\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{b}{b^{\prime }}\ne \frac{c}{c^{\prime }}$. Xét các phương án: A) $-3x+2y-1=0$ nhân $-1$ được $3x-2y+1=0$, trùng với $\Delta$ nên không song song. B) $2x+3y-1=0$ có ${\vec{n}}^{\prime }=(2;3)$ không cùng phương với $(3;-2)$, loại. C) $-3x+2y+1=0$ nhân $-1$ được $3x-2y-1=0$: có $\frac{3}{3}=\frac{-2}{-2}\ne \frac{1}{-1}$, nên song song với $\Delta$. D) $2x+3y+1=0$ tương tự B, loại. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(2;5)$ đến $\Delta :3x+4y-m=0$ là $d=\frac{|3\cdot 2+4\cdot 5-m|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|26-m|}{5}$. Theo đề, $d=2\Rightarrow |26-m|=10\Rightarrow m=16$ hoặc $m=36$. Tổng các giá trị của $m$ là $16+36=52$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (52).

Đường thẳng $d$ có 1 vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(3;2)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(4;-3)$ và song song với $d$ nên $\Delta$ nhận $\vec{n}=(3;2)$ làm vecto pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là

$$3(x-4)+2(y+3)=0\iff 3x+2y-6=0.$$

(Điểm: 0,25 + 0,75)

Đường thẳng $d$ có 1 vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3)$.

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1;2)$ và song song với $d$ nên $\Delta$ nhận $\vec{n}=(2;-3)$ làm vecto pháp tuyến.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là

$$2(x-1)-3(y-2)=0\iff 2x-3y+4=0.$$

(Điểm: 0,25 + 0,75)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d:x-2y-1=0$ (vtô pháp tuyến ${\vec{n}}_1=(1;-2)$) và $d^{\prime }:x+3y-11=0$ (${\vec{n}}_2=(1;3)$). Góc $\phi$ giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|1\cdot 1+(-2)\cdot 3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2}\cdot \sqrt{1^2+3^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, nên $\phi =45^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của AB là $I\left(\frac{4+1}{2};\frac{-1-4}{2}\right)=I\left(\frac{5}{2};-\frac{5}{2}\right)$. Vecto $\overrightarrow{AB}=(-3;-3)$ nên đường trung trực có vecto pháp tuyến cùng phương với $\overrightarrow{AB}$, lấy $\vec{n}=(1;1)$. Phương trình: $1\left(x-\frac{5}{2}\right)+1\left(y+\frac{5}{2}\right)=0\iff x+y=0$. Kiểm tra: $A(4;-1)$ và $B(1;-4)$ đều có $x+y=3\ne 0$ (không thuộc đường), còn điểm $I$ có $\frac{5}{2}-\frac{5}{2}=0$ (thuộc đường). Vậy đáp án B.

a) Sai. Đường thẳng ${\Delta }_1$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1=(3;4)$ nên có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_1=(4;-3)$.
b) Đúng. Đường thẳng ${\Delta }_2$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3,b=4$ nên ${\overrightarrow{n}}_2=(3;4)$ là VTPT.
c) Đúng. Ta có ${\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2=4\cdot 3+(-3)\cdot 4=0$, suy ra hai đường thẳng vuông góc.
d) Sai. Bán kính đường tròn $R=d(B,{\Delta }_2)=\frac{|3(-2)+4(5)+1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3$. Phương trình đường tròn là $(x+2{)}^2+(y-5{)}^2=9\ne 3$.
Chọn đáp án [a sai | b đúng | c đúng | d sai]
a) Sai. Đường thẳng ${\Delta }_1$ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1=(3;4)$ nên có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_1=(4;-3)$.
b) Đúng. Đường thẳng ${\Delta }_2$ có dạng $ax+by+c=0$ với $a=3,b=4$ nên ${\overrightarrow{n}}_2=(3;4)$ là VTPT.
c) Đúng. Ta có ${\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2=4\cdot 3+(-3)\cdot 4=0$, suy ra hai đường thẳng vuông góc.
d) Sai. Bán kính đường tròn $R=d(B,{\Delta }_2)=\frac{|3(-2)+4(5)+1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{15}{5}=3$. Phương trình đường tròn là $(x+2{)}^2+(y-5{)}^2=9\ne 3$.