Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

Vecto pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=(\sqrt{3};-1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(0;1)$. Ta có:
$$\cos \phi =\frac{\left|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|\cdot \left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|\sqrt{3}\cdot 0+(-1)\cdot 1\right|}{\sqrt{3+1}\cdot \sqrt{1}}=\frac{1}{2}.$$
Suy ra $\cos \phi =0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $C(3;-1)$ đến $\Delta :8x+6y-5=0$ là $d=\frac{|8\cdot 3+6\cdot (-1)-5|}{\sqrt{8^2+6^2}}=\frac{|24-6-5|}{10}=\frac{13}{10}$. Vậy $a=13,b=10$ (tối giản), nên $3a-2b=39-20=19$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d:2x+y-5=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(2;1)$ và $\Delta :x-y+11=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;-1)$. Góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{|2\cdot 1+1\cdot (-1)|}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\approx 0.3162$. Suy ra $\theta =\arccos (1/\sqrt{10})\approx 71.565^{\circ }\approx 72^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ đi qua $K(13;-4)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(5;-2)$.

Phương trình tham số: với $t\in \mathbb{R}$,
$$x=13+5t,y=-4-2t.$$

Phương trình tổng quát: từ $\vec{u}=(5;-2)$, vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;5)$, nên
$$2(x-13)+5(y+4)=0\iff 2x+5y-6=0.$$
Kiểm tra: $2(13)+5(-4)-6=26-20-6=0$, thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: từ $4x-3y+8=0$ có pháp tuyến $\vec{n}=(4;-3)$, không phải $(3;4)$. b) Sai: $d(S,\Delta )=\frac{|4(-6)-3(1)+8|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{|-19|}{5}=3,8\ne 8,3$. c) Đúng: đường song song với $\Delta$ có dạng $4x-3y+c=0$; qua $S(-6;1)$: $-24-3+c=0\Rightarrow c=27$, nên ${\Delta }^{\prime }:4x-3y+27=0$. d) Đúng: thay $Q(-3;5)$: $4(-3)-3(5)+27=-12-15+27=0$, nên $Q\in {\Delta }^{\prime }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của $\Delta :4x-3y+8=0$ là $\vec{n}=(4;-3)$, không phải $(3;4)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(S,\Delta )=\frac{|4(-6)-3(1)+8|}{5}=\frac{19}{5}=3,8\ne 8,3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường song song $\Delta$ qua $S(-6;1)$: $4(-6)-3(1)+c=0\Rightarrow c=27$, được ${\Delta }^{\prime }:4x-3y+27=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$4(-3)-3(5)+27=0$ nên $Q\in {\Delta }^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ E(2;1) đến Δ: 5x−12y−6=0 là d = |5·2 − 12·1 − 6| / √(5²+12²) = |10−12−6|/13 = 8/13. Vậy a=8, b=13 (tối giản), nên 2a+3b = 16+39 = 55.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d:4x-y+3=0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(4;-1)$ và $\Delta :x+5y-1=0$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;5)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|4\cdot 1+(-1)\cdot 5|}{\sqrt{4^2+(-1{)}^2}\cdot \sqrt{1^2+5^2}}=\frac{|4-5|}{\sqrt{17}\cdot \sqrt{26}}=\frac{1}{\sqrt{442}}\approx 0,0476$. Suy ra $\phi =\arccos (0,0476)\approx 87,27^{\circ }$, làm tròn đến hàng đơn vị của độ ta được $\phi \approx 87^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $P(3;-4)$ và có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;2)$.

Phương trình tổng quát: $1(x-3)+2(y+4)=0\Rightarrow x-3+2y+8=0\Rightarrow x+2y+5=0$.
Kiểm tra: $P(3;-4)$: $3+2(-4)+5=3-8+5=0$ ✓.

Phương trình tham số: vecto chỉ phương $\vec{u}=(2;-1)$ (vuông góc với $\vec{n}$: $1\cdot 2+2\cdot (-1)=0$ ✓).
$$\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=-4-t\end{array},t\in \mathbb{R}$$
Kiểm tra: với $t=0$ ta được $P(3;-4)$ ✓; thay vào phương trình tổng quát: $(3+2t)+2(-4-t)+5=3+2t-8-2t+5=0$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $AB$ đi qua $A(0;2)$ và $B(18;26)$ có hệ số góc $(26-2)/(18-0)=4/3$, phương trình: $y=2+\frac{4}{3}x⟺4x-3y+6=0$. Khoảng cách từ $C(6;5)$ đến $AB$: $d=\frac{|4\cdot 6-3\cdot 5+6|}{\sqrt{16+9}}=\frac{|24-15+6|}{5}=\frac{15}{5}=3$ (km). Chân đường vuông góc từ $C$ xuống $AB$ nằm trong đoạn $AB$ (chiếu lên giữa $A$ và $B$), nên khoảng cách ngắn nhất của tàu tới đảo $C$ là $3$ km. Khớp với phương án D ($3$ km) hiển thị ở trang 2.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2: Δ: x−2y+1=0, T(2;3).
a) d(T,Δ)=|2−2·3+1|/√(1²+(−2)²)=|−3|/√5=3/√5=3√5/5 ≠ 5√3 → sai.
b) Đường thẳng ax+by+c=0 có vecto pháp tuyến (a;b), nên n=(1;−2) là một vecto pháp tuyến của Δ → đúng.
c) Đường thẳng qua T song song Δ có dạng x−2y+c=0; thay T(2;3): 2−6+c=0 ⇒ c=4, nên Δ': x−2y+4=0 → đúng.
d) Thay S(3;1) vào Δ': 3−2·1+4=5≠0, nên S∉Δ' → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
d(T,Δ)=|2−6+1|/√5=3/√5=3√5/5 ≠ 5√3.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tổng quát x−2y+1=0, vecto pháp tuyến n=(1;−2).
c) (AI giải đề cho tôi)
Δ' song song Δ: x−2y+c=0, qua T(2;3) ⇒ c=4 ⇒ x−2y+4=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay S(3;1): 3−2+4=5≠0 nên S∉Δ'.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d^{\prime }\parallel d$ và $d:2x-y+1=0$, phương trình $d^{\prime }$ có dạng $d^{\prime }:2x-y+b=0$, suy ra $a=2$. Vì $d^{\prime }$ đi qua $A(2;3)$ nên $2\cdot 2-3+b=0\Rightarrow b=-1$. Vậy $a.b=2\cdot (-1)=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ chỉ phương của đường thẳng qua M(1;-2), N(4;3) là $\overrightarrow{MN}=(3;5)$. Kiểm tra đáp án D: $\{\begin{array}{l}x=7+3t\\ y=8+5t\end{array}$ có vectơ chỉ phương $(3;5)$. Với M(1;-2): $7+3t=1\Rightarrow t=-2$, khi đó $y=8+5(-2)=-2$ ✓. Với N(4;3): $7+3t=4\Rightarrow t=-1$, khi đó $y=8+5(-1)=3$ ✓. Vậy đường thẳng đi qua cả M và N. Các đáp án A, B có vectơ chỉ phương sai; C có vectơ chỉ phương $(3;5)$ nhưng điểm $(3;4)$ không thuộc đường thẳng qua M, N (vì $3+3t=4\Rightarrow t=\frac{1}{3}$, $y=4+\frac{5}{3}=\frac{17}{3}\ne 3$).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $a:\sqrt{3}x-y+7=0$ có hệ số góc $m_a=\sqrt{3}$, nên $a$ tạo với trục Ox góc $60^{\circ }$. Đường thẳng $b:-x+\sqrt{3}y+1=0\iff y=\frac{1}{\sqrt{3}}x-\frac{1}{\sqrt{3}}$ có hệ số góc $m_b=\frac{1}{\sqrt{3}}$, nên $b$ tạo với trục Ox góc $30^{\circ }$. Góc giữa hai đường thẳng là $|60^{\circ }-30^{\circ }|=30^{\circ }$. Kiểm tra bằng công thức góc: $\tan \phi =\left|\frac{m_a-m_b}{1+m_a{m}_b}\right|=\left|\frac{\sqrt{3}-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1}\right|=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, suy ra $\phi =30^{\circ }$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $n_1=(\sqrt{3};-1)$ và $n_2=(-1;\sqrt{3})$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \theta =\frac{|n_1\cdot n_2|}{|n_1||n_2|}=\frac{|-\sqrt{3}-\sqrt{3}|}{2\cdot 2}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra $\theta =30^{\circ }$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d^{\prime }\parallel d$ nên $d^{\prime }$ có dạng $2x-y+b=0$, suy ra $a=2$. Đường thẳng $d^{\prime }$ đi qua $A(2;3)$ nên $2\cdot 2-3+b=0\Rightarrow b=-1$. Vậy $a.b=2\cdot (-1)=-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;-1)$. Góc giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|3\cdot 2+1\cdot (-1)|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\theta =45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

a) $\overrightarrow{BC}=(-6;-2)$. (0,5 điểm)

b) Vì $\Delta \perp BC$ nên $\Delta$ nhận $\overrightarrow{BC}=(-6;-2)$ làm vectơ pháp tuyến hay chọn $\vec{n}=(3;1)$ làm vectơ pháp tuyến; $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2)$. (0,25 điểm)
Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $3.(x-1)+1.(y-2)=0$ hay $3x+y-5=0$. (0,25 điểm)

c) Tâm của đường tròn là trung điểm $I(-1;2)$ của $BC$; bán kính của đường tròn là $R=IB=\sqrt{(2+1{)}^2+(3-2{)}^2}=\sqrt{10}$. (0,25 điểm)
Phương trình đường tròn đường kính $BC$ là: $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=10$. (0,25 điểm)

a) $\overrightarrow{BC}=(-6;-2)$. (0,5 điểm)

b) Vì $\Delta \perp BC$ nên $\Delta$ nhận $\overrightarrow{BC}=(-6;-2)$ làm vectơ pháp tuyến hay chọn $\vec{n}=(3;1)$ làm vectơ pháp tuyến; $\Delta$ đi qua điểm $A(1;2)$. (0,25 điểm)
Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta$ là $3.(x-1)+1.(y-2)=0$ hay $3x+y-5=0$. (0,25 điểm)

c) Tâm của đường tròn là trung điểm $I(-1;2)$ của $BC$; bán kính của đường tròn là $R=IB=\sqrt{(2+1{)}^2+(3-2{)}^2}=\sqrt{10}$. (0,25 điểm)
Phương trình đường tròn đường kính $BC$ là: $(x+1{)}^2+(y-2{)}^2=10$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(3;1)$ và $\overrightarrow{n_2}=(2;-1)$. Góc $\phi$ giữa hai đường thẳng thỏa $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}|}{|\overrightarrow{n_1}||\overrightarrow{n_2}|}=\frac{|3\cdot 2+1\cdot (-1)|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Suy ra $\phi =45^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Với A(0;4), B(2;4), C(2;0): BC là đường thẳng đứng x=2, nên đường thẳng qua A vuông góc với BC là đường ngang y=4 (tức y-4=0), không phải y+4=0 → a sai. AB=(2;0), AC=(2;-4), tích vô hướng AB·AC=4≠0 nên tam giác không vuông tại A (thực tế tam giác vuông tại B vì AB·BC=0) → b sai. AC=(2-0;0-4)=(2;-4) → c đúng. Tam giác vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm AC: I=((0+2)/2;(4+0)/2)=(1;2) → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC có phương trình x=2 (đường thẳng đứng). Đường thẳng qua A(0;4) vuông góc với BC là đường ngang y=4, tức y-4=0, không phải y+4=0.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB=(2;0), AC=(2;-4), AB·AC=4≠0 nên góc A không vuông. Thực tế tam giác vuông tại B vì AB·BC=(2;0)·(0;-4)=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
AC=(2-0;0-4)=(2;-4).
d) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại B nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền AC: I=(1;2).