Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ A(-1;2) đến Δ: d = |m(-1)+2-m+4|/√(m²+1) = |6-2m|/√(m²+1). Giải |6-2m|/√(m²+1) = 2√5 ⟹ (6-2m)² = 20(m²+1) ⟹ 36-24m+4m² = 20m²+20 ⟹ 16m²+24m-16=0 ⟺ 2m²+3m-2=0 ⟹ m=1/2 hoặc m=-2. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Thế phương trình tham số của $d_1$ vào $d_2$: với $x=t,y=2-t$ ta có $t-2(2-t)+m=0\Rightarrow 3t-4+m=0\Rightarrow t=\frac{4-m}{3}$. Giao điểm $P\left(\frac{4-m}{3};\frac{2+m}{3}\right)$. Khoảng cách từ $P$ đến gốc tọa độ bằng 2: $\frac{(4-m{)}^2+(2+m{)}^2}{9}=4\Rightarrow 2m^2-4m-16=0\Rightarrow m^2-2m-8=0\Rightarrow m=4$ hoặc $m=-2$. Đáp án D.

Lời giải

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f3]

Khi đó để tận dụng tối đa chiều cao có thể khi kê tủ lạnh thì bố mẹ bạn Nam sẽ kê tủ sát vào trục $Oy$. Do đó để kê được một chiếc tủ lạnh 2 cánh với bề ngang 90 cm thì chiều cao của tủ phải nhỏ hơn tung độ của điểm E thuộc đường thẳng $BC$ với hoành độ điểm $E$ bằng 90.

Ta có $B(150;150),C(0;250)\Rightarrow \overrightarrow{BC}=(-150;100)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=(100;150)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là:
$100(x-0)+150(y-250)=0\iff 2x+3y-750=0$.

Điểm $E$ thuộc $BC$ có hoành độ bằng 90 nên tung độ của $E$ tính theo công thức $2\cdot 90+3y_E-750=0\Rightarrow y_E=190$.

Do $183cm<190cm$ nên bố mẹ bạn Nam có thể kê chiếc tủ lạnh có bề ngang là $90cm$ và chiều cao $183cm$.

Lời giải

Gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ.

[Hình cần kiểm tra lại: p11_f3]

Khi đó để tận dụng tối đa chiều cao có thể khi kê tủ lạnh thì bố mẹ bạn Nam sẽ kê tủ sát vào trục $Oy$. Do đó để kê được một chiếc tủ lạnh 2 cánh với bề ngang 90 cm thì chiều cao của tủ phải nhỏ hơn tung độ của điểm E thuộc đường thẳng $BC$ với hoành độ điểm $E$ bằng 90.

Ta có $B(150;150),C(0;250)\Rightarrow \overrightarrow{BC}=(-150;100)\Rightarrow \overrightarrow{n_{BC}}=(100;150)$.

Phương trình đường thẳng $BC$ là:
$100(x-0)+150(y-250)=0\iff 2x+3y-750=0$.

Điểm $E$ thuộc $BC$ có hoành độ bằng 90 nên tung độ của $E$ tính theo công thức $2\cdot 90+3y_E-750=0\Rightarrow y_E=190$.

Do $183cm<190cm$ nên bố mẹ bạn Nam có thể kê chiếc tủ lạnh có bề ngang là $90cm$ và chiều cao $183cm$.

(AI giải đề cho tôi)
A và B cùng phía so với Δ (x−y+1=0): A(2;1) cho 2−1+1=2>0, B(9;6) cho 9−6+1=4>0. Lấy A' là điểm đối xứng của A qua Δ. Vecto pháp tuyến n=(1;−1), A−A' = 2·(A·n/|n|²)·n với A·n=1, nên A' = A − (1;−1) = (1;2)... kiểm tra lại: công thức đối xứng qua ax+by+c=0: A' = A − 2(ax₀+by₀+c)/(a²+b²)·(a;b) = (2;1) − 2·2/2·(1;−1) = (2;1) − (2;−2) = (0;3). Đường thẳng A'B qua (0;3) và (9;6) có hệ số góc (6−3)/9 = 1/3, phương trình y = x/3 + 3. Giao với Δ: y = x+1, ta có x/3 + 3 = x + 1 ⟹ 2 = 2x/3 ⟹ x = 3, y = 4. Vậy M(3;4), a+b = 7.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ trang 2: $A(-5;4)$, $B(4;3)$, $C(3;-2)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và $C$ có hệ số góc $k=\frac{-2-4}{3-(-5)}=-\frac{6}{8}=-\frac{3}{4}$, nên phương trình: $y-4=-\frac{3}{4}(x+5)\iff 3x+4y-1=0$. Đoạn đường ngắn nhất để tàu số 2 từ $B$ gặp tàu số 1 (đi trên $\Delta$) chính là khoảng cách từ $B$ đến $\Delta$: $d(B,\Delta )=\frac{|3\cdot 4+4\cdot 3-1|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{23}{5}=4,6$ km. Kết quả khớp với đáp án 4.6.

(AI giải đề cho tôi)
Đường đi của tàu $A$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_A}=(-33;25)$, đường đi của tàu $B$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_B}=(-30;-40)$.

$$\cos (\overrightarrow{u_A},\overrightarrow{u_B})=\frac{(-33)(-30)+25(-40)}{\sqrt{33^2+25^2}\cdot \sqrt{30^2+40^2}}=\frac{990-1000}{\sqrt{1714}\cdot 50}=\frac{-10}{50\sqrt{1714}}\approx -0,004831.$$

Góc giữa hai vectơ $\approx 90,28^{\circ }$, nên góc giữa hai đường thẳng (góc nhọn) là $180^{\circ }-90,28^{\circ }\approx 89,72^{\circ }\approx 89,7^{\circ }$. Khớp với đáp án nguồn 89,7.

a) Phương trình chuyển động tên lửa: $$\{\begin{array}{l}x=t\\ y=2t\end{array}\text{( với }t\ge 0\text{)}$$ [0,25 điểm]
Tại $t=50s$, tọa độ điểm $B$ là: $x_B=50,y_B=2\cdot 50=100\Rightarrow \mathbf{B}(50;100)$. [0,25 điểm]
b) Mục tiêu đi từ $A(20;60)$ đến $B(50;100)$ trong 50 giây.
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(50-20;100-60)=(30;40)$. [0,25 điểm]
Vectơ vận tốc ${\vec{v}}_2=\frac{\overrightarrow{AB}}{\Delta t}=\left(\frac{30}{50};\frac{40}{50}\right)=(0,6;0,8)$.
Tốc độ của mục tiêu: $\left|{\vec{v}}_2\right|=\sqrt{0,6^2+0,8^2}=1$ (km/s). [0,25 điểm]

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng ${\Delta }_2:x-y+5=0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(1;1)$. Đường thẳng ${\Delta }_1$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(m;m^2-2)$. Để ${\Delta }_1\parallel {\Delta }_2$ thì $\overrightarrow{u_1}$ cùng phương với $\overrightarrow{u_2}$, tức $\frac{m}{1}=\frac{m^2-2}{1}$, suy ra $m^2-2=m\iff m^2-m-2=0\iff (m-2)(m+1)=0$, cho $m=2$ hoặc $m=-1$. Với cả hai giá trị này, ${\Delta }_1$ không trùng ${\Delta }_2$ (điểm $(2;1)$ của ${\Delta }_1$ không thuộc ${\Delta }_2$ vì $2-1+5=6\ne 0$). Tổng các giá trị của $m$ là $2+(-1)=1$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{BC}=(2-\mathrm{1...})$ cụ thể $\overrightarrow{BC}=(2-(-1);1-0)=(3;1)$, nên $BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}\ne \sqrt{2}$ → a) Sai. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$, do đó $\overrightarrow{BC}=(3;1)$ là một vecto pháp tuyến của đường thẳng $AB$ → b) Đúng. Vecto vuông góc với $\overrightarrow{BC}$ có độ dài bằng $BC$ là $\overrightarrow{BA}=(-1;3)$ hoặc $(1;-3)$. Với $\overrightarrow{BA}=(-1;3)$ ta được $A=B+\overrightarrow{BA}=(-2;3)$ (hoành độ âm, thỏa đề); trường hợp còn lại cho $A(0;-3)$ loại. Đường thẳng $AB$ đi qua $B(-1;0)$ với pháp tuyến $(3;1)$: $3(x+1)+1(y-0)=0\iff 3x+y+3=0$ → c) Đúng. Hoành độ của $A$ là $-2$ → d) Đúng. Kết quả Sai–Đúng–Đúng–Đúng khớp với đáp án nguồn SDDD (mã đề 210).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BC}=(3;1)$ nên $BC=\sqrt{10}\ne \sqrt{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình vuông có $AB\perp BC$ nên $\overrightarrow{BC}=(3;1)$ là pháp tuyến của $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$AB$ qua $B(-1;0)$, pháp tuyến $(3;1)$: $3(x+1)+y=0\iff 3x+y+3=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{BA}=(-1;3)$ (để $A$ có hoành độ âm) nên $A=(-2;3)$, hoành độ $-2$.

Ta có $S_{ABC}=3S_{ABM}\iff \frac{1}{2}BC\cdot d(A,BC)=3\cdot \frac{1}{2}BM\cdot d(A,BC)\iff BC=3.BM$.
Gọi $M(x;y)\Rightarrow \overrightarrow{BM}=(x-2;y-1)$ và $\overrightarrow{BC}=(-3;-3)$.
Vì M nằm giữa $BC$ nên $\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BM}\iff \{\begin{array}{l}-3=3(x-2)\\ -3=3(y-1)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=0\end{array}\Rightarrow M(1;0)$. — 0,25 điểm.
Đường thẳng $AM$ đi qua điểm $A(3;4)$ và có vtcp $\overrightarrow{AM}=(-2;-4)$ nên có vttp $\overrightarrow{n_{AM}}=(4;-2)$.
Phương trình tổng quát $AM:2x-y-2=0$ — 0,25 điểm.

Ta có $S_{ABC}=3S_{ABM}\iff \frac{1}{2}BC.d(A,BC)=3.\frac{1}{2}BM.d(A,BC)\iff BC=3.BM$.
Gọi $M(x;y)\Rightarrow \overrightarrow{BM}=(x+2;y+1)$ và $\overrightarrow{BC}=(3;3)$.
Vì M nằm giữa $BC$ nên $\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BM}$: $\{\begin{array}{l}3=3(x+2)\\ 3=3(y+1)\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=-1\\ y=0\end{array}\Rightarrow M(-1;0)$. — 0,25 điểm.
Đường thẳng $AM$ đi qua điểm $A(3;2)$ và có vtcp $\overrightarrow{AM}=(-4;-2)$ nên có vtpt $\overrightarrow{n_{AM}}=(2;-4)$.
Phương trình tổng quát $AM:x-2y+1=0$ — 0,25 điểm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d:3x+by+c=0$ song song với $3x-4y+5=0$ nên hai vectơ pháp tuyến tỉ lệ, suy ra $b=-4$ (loại $b=4$ vì khi đó hai đường trùng hệ số nhưng khác hằng số... thực ra song song yêu cầu $\frac{3}{3}=\frac{b}{-4}\ne \frac{c}{5}$, cho $b=-4$). Khi đó $d:3x-4y+c=0$. Khoảng cách từ $M(2;-1)$ đến $d$ bằng 3: $\frac{|3\cdot 2-4\cdot (-1)+c|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|10+c|}{5}=3\Rightarrow |c+10|=15\Rightarrow c=5$ hoặc $c=-25$. Kiểm tra: với $c=5$, $d:3x-4y+5=0$ chính là đường thẳng đã cho (không song song mà trùng), do đó loại $c=5$. Vậy $c=-25$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay $M(1;2)$ vào $d_1$: $3(1)-2(2)-2=-3\ne 0$ nên $M$ không thuộc $d_1$ → Sai. b) Thế $x=1+t$, $y=7-5t$ vào $d_1$: $3(1+t)-2(7-5t)-2=0\Rightarrow 13t-13=0\Rightarrow t=1\Rightarrow N(2;2)$ → Đúng. c) $d_2$ có VTCP $(1;-5)$ nên VTPT $(5;1)$; đường qua $M(1;2)$: $5(x-1)+1(y-2)=0\iff 5x+y-7=0$ → Đúng. d) $M(1;2)$, $N(2;2)$ cùng phía trên trục $Ox$. Lấy $M^{\prime }(1;-2)$ đối xứng $M$ qua $Ox$. Đường $M^{\prime }N$: hệ số góc $(2+2)/(2-1)=4$, phương trình $y=4x-6$; cắt $Ox$ tại $x=3/2$. Vậy $I(3/2;0)$, hoành độ bằng $3/2\ne 1$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$3(1)-2(2)-2=-3\ne 0$ nên $M$ không thuộc $d_1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thế tham số vào $d_1$ được $13t-13=0$, $t=1$, $N(2;2)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
VTPT $(5;1)$, qua $M(1;2)$ cho $5x+y-7=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đối xứng $M^{\prime }(1;-2)$, đường $M^{\prime }N$: $y=4x-6$ cắt $Ox$ tại $I(3/2;0)$, hoành độ $3/2\ne 1$.

Ta có $\overrightarrow{AC}=(10;10)\Rightarrow C(11;12)$.

$\overrightarrow{AB}=(60;80)=20.(3;4)$, suy ra đường thẳng $AB$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(4;-3)$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$: $4x-3y+2=0$ (khôi phục từ $A(1;2)$ và $\vec{n}=(4;-3)$; trong nguồn in câu này bị thiếu phương trình).

Khoảng cách ngắn nhất từ tàu chở hành khách đến đảo $C$ xấp xỉ khoảng cách từ đảo $C$ đến đường thẳng $AB$:

$$d\left(C,AB\right)=\frac{\left|4.11-3.12+2\right|}{\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{10}{5}=2\text{(km)}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Tàu đi trên đường thẳng AB. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB là $d(C,AB)=\frac{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{|60\cdot 10-80\cdot 10|}{\sqrt{60^2+80^2}}=\frac{200}{100}=2$. Kiểm tra chân đường vuông góc: $t=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}{|}^2}=\frac{600+800}{10000}=0.14\in [0;1]$ nên điểm gần nhất nằm trên đoạn AB. Vậy khoảng cách ngắn nhất từ tàu đến đảo C là 2 km, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay M(1;2) vào d1: 3(1)-2(2)-2=-3≠0 nên M không thuộc d1 → Sai. b) Tham số hóa d2 vào d1: 3(1+t)-2(7-5t)-2=0 ⟹ 13t-13=0 ⟹ t=1 ⟹ N(2;2) → Đúng. c) d2 có VTCP (1;-5) nên đường cần tìm có VTCP (1;-5), qua M(1;2): y-2=-5(x-1) ⟺ 5x+y-7=0 → Đúng. d) N(2;2), M(1;2) cùng nằm phía trên trục hoành. Lấy điểm M' đối xứng M qua trục hoành: M'(1;-2). IM+IN nhỏ nhất khi I là giao của M'N với trục hoành. Đường M'N qua (1;-2) và (2;2) có hệ số góc 4, phương trình y=4x-6; y=0 ⟹ x=3/2. Vậy hoành độ của I bằng 3/2, không phải 1 → Sai. Kết quả: S, Đ, Đ, S khớp đáp án chính thức.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;2) vào 3x-2y-2=0: 3-4-2=-3≠0, nên M không thuộc d1.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay x=1+t, y=7-5t vào d1: 3(1+t)-2(7-5t)-2=0 ⟹ 13t=13 ⟹ t=1 ⟹ N(2;2).
c) (AI giải đề cho tôi)
d2 có VTCP (1;-5). Đường qua M(1;2) song song d2: y-2=-5(x-1) ⟺ 5x+y-7=0.
d) (AI giải đề cho tôi)
Lấy M'(1;-2) đối xứng M qua trục hoành. I là giao của M'N với Ox. Đường M'N: y=4x-6, cho y=0 được x=3/2. Vậy hoành độ của I bằng 3/2 chứ không bằng 1.

(AI giải đề cho tôi)
Tàu đi trên đoạn thẳng AB. Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB: $d=\frac{|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{|60\cdot 10-80\cdot 10|}{\sqrt{60^2+80^2}}=\frac{200}{100}=2$. Kiểm tra chân đường vuông góc: $t=\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}{|}^2}=\frac{600+800}{10000}=0,14\in [0;1]$ nên chân vuông góc nằm trên đoạn AB, khoảng cách ngắn nhất từ tàu đến đảo C đúng bằng 2 km. Khớp với đáp án nguồn (2).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay H(9;-4) vào (C): (9-1)^2+(-4-2)^2=64+36=100$\ne$25 nên H$\notin$(C) → Sai. b) Δ_1 có véc tơ chỉ phương $\vec{u}$(1;-1), suy ra véc tơ pháp tuyến là $\vec{n}$(1;1); véc tơ (2;-2) chính là véc tơ chỉ phương, không phải pháp tuyến → Sai. c) Tâm (C) là I(1;2), khoảng cách từ I đến Δ_2: 2x+y-1=0 là d=|2·1+2-1|/$\sqrt{4+1}$=3/$\sqrt{5}$ → Đúng. d) Δ_1 có $\overrightarrow{u_1}$(1;-1), Δ_2 có $\overrightarrow{u_2}$(1;-2) (pháp tuyến (2;1)). cos góc = |1·1+(-1)(-2)|/($\sqrt{2}$$\sqrt{5}$)=3/$\sqrt{10}$$\ne$2/$\sqrt{10}$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã 103: SSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
(9-1)^2+(-4-2)^2=100$\ne$25 nên H$\notin$(C).
b) (AI giải đề cho tôi)
Δ_1 có $\vec{u}$(1;-1) nên pháp tuyến là $\vec{n}$(1;1); (2;-2) là véc tơ chỉ phương.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tâm I(1;2), d=|2+2-1|/$\sqrt{5}$=3/$\sqrt{5}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{u_1}$(1;-1), $\overrightarrow{u_2}$(1;-2), cos=|1+2|/($\sqrt{2}$$\sqrt{5}$)=3/$\sqrt{10}$$\ne$2/$\sqrt{10}$.

Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ sau: (0,25 điểm)



B trùng với gốc tọa độ O, B(0; 0).

A(0; 12), B(0; 0), C(15; 0), D(15; 12), E(5; 12), F(15; 6). (0,25 điểm)

Phương trình đường thẳng EF: $\overrightarrow{EF}(10;-6)$, chọn $\vec{u}(5;-3)$ là vtcp của EF => $\vec{n}(3;5)$ là vtpt.

EF có phương trình tổng quát: $3x+5y-75=0$ (0,25 điểm)

$d(B;EF)=\frac{|-75|}{\sqrt{3^2+5^2}}=\frac{75}{\sqrt{34}}\approx 12,9$ (0,25 điểm)

Khoảng cách từ B đến EF là đường ngắn nhất từ B nơi Nam đứng đến EF, lưới câu có thể quăng xa 10,7 m và 13,5 m > 12,9 m nên lưới câu có thể rơi vào vị trí nuôi vịt. (0,25 điểm)