Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Đáy $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AD\perp CD$. Do đó $CD\perp (SAD)$ (cùng vuông với $SA$ và $AD$ cắt nhau tại $A$). Các khẳng định B, C, D sai: $CD$ không vuông với $AB$ nên $CD$ không vuông $(SAB)$; không có dữ kiện cho $AC\perp (SBD)$ hay $BD\perp (SAC)$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì ABCD là hình vuông nên CD ⊥ BC. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD, kết hợp CD ⊥ AD ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD. CD cắt BC tại C và cắt SD tại D nên CD là đường vuông góc chung của SD và BC. Đúng.
b) SA ⊥ (ABCD) và SA ⊂ (SAB) ⇒ (SAB) ⊥ (ABCD). Đúng.
c) $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}(a\sqrt{3}{)}^2\cdot a=\frac{1}{3}\cdot 3a^2\cdot a=a^3$. Đúng.
d) Vì SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là A. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
CD ⊥ BC (hình vuông) và CD ⊥ (SAD) (vì CD ⊥ SA, CD ⊥ AD) nên CD ⊥ SD; CD cắt cả hai đường nên là đường vuông góc chung.
b) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD), SA ⊂ (SAB) nên (SAB) ⊥ (ABCD).
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}(a\sqrt{3}{)}^2\cdot a=a^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu của S lên (ABCD) là A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Lại có $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$. Suy ra $CD\perp (SAD)$, do đó $CD\perp AH$ (vì $AH\subset (SAD)$). Mặt khác $AH$ là hình chiếu của $A$ lên $SD$ nên $AH\perp SD$. Vậy $AH$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $CD$ và $SD$ trong mặt phẳng $(SCD)$, suy ra $AH\perp (SCD)$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ (cạnh bên vuông góc với mặt đáy). Mà $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB\subset (ABCD)$, nên $C{C}^{\prime }\perp A^{\prime }{B}^{\prime }$. Kiểm tra các phương án khác: $B{C}^{\prime }$ và $C{B}^{\prime }$ là đường chéo mặt, tạo với $C{C}^{\prime }$ góc khác $90^{\circ }$; $D{A}^{\prime }$ cũng là đường chéo mặt, không vuông góc với $C{C}^{\prime }$. Vậy đường thẳng vuông góc với $C{C}^{\prime }$ là $A^{\prime }{B}^{\prime }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$, mà $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành) nên $SO\perp AC$. Tương tự $SB=SD$ nên tam giác $SBD$ cân tại $S$, $O$ là trung điểm $BD$ nên $SO\perp BD$. Vì $SO$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $BD$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ nên $SO\perp (ABCD)$. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ đúng vì $BC\perp AB$ và $BC\perp B{B}^{\prime }$; $B{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ đúng theo tính chất hình hộp chữ nhật. Với A: $AC$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, muốn $AC\perp (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ thì $AC$ phải vuông góc với $A{A}^{\prime }$, nhưng $A{A}^{\prime }$ vuông góc với $(ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mọi đường thẳng trong $(ABCD)$, do đó $A{A}^{\prime }\perp AC$, tức $AC$ không thể vuông góc với $A{A}^{\prime }$ (trừ trường hợp suy biến). Vậy mệnh đề $AC\perp (AD{D}^{\prime }{A}^{\prime })$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Vì $H$ là hình chiếu của $S$ lên $BC$ nên $SH\perp BC$. Từ đó $BC\perp SA$ và $BC\perp SH$, mà $SA$ và $SH$ cắt nhau tại $S$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(SAH)$, suy ra $BC\perp (SAH)$. Các khẳng định A, B, C không suy ra được từ giả thiết (ví dụ $BC$ không vuông góc với $(SAB)$ vì $BC$ cắt $AB$ trong $(SAB)$...). Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có các cạnh bên $A{A}^{\prime },B{B}^{\prime },C{C}^{\prime }$ cùng vuông góc với mặt đáy, nên $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$, $B{B}^{\prime }\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$, $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$ đều đúng. Còn $B{C}^{\prime }$ là đường chéo của mặt bên $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, không vuông góc với $(ABC)$ (vì nếu vuông góc thì phải vuông góc với $BC$ trong $(ABC)$, nhưng tam giác $BC{C}^{\prime }$ vuông tại $C$ nên $B{C}^{\prime }\cdot BC>0$). Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Hình vuông $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc nên $AC\perp BD$. Do đó $BD\perp (SA\cap AC)=(SAC)$. Các phương án A, B sai vì $SB,SC$ không vuông góc mặt đáy; phương án C sai vì $BC$ không vuông góc với $SA$ (và $BC$ không vuông góc với $AC$). Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: (A) Nếu $a\parallel (P)$ và $b\perp a$ thì $b$ có thể song song với $(P)$, cắt $(P)$, hoặc nằm trong $(P)$ chứ không nhất thiết $b\perp (P)$. Ví dụ: $a$ song song $(P)$, $b$ nằm trong $(P)$ và vuông góc với hình chiếu của $a$ thì $b\perp a$ nhưng $b$ không vuông góc $(P)$. Vậy A là khẳng định SAI. (B) Đúng: hai mặt phẳng song song thì đường thẳng vuông góc với một mặt cũng vuông góc với mặt kia. (C) Đúng: vì $b\perp (P)$ nên $b$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong hoặc song song với $(P)$, do đó $b\perp a$. (D) Đúng: hai đường thẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. Khẳng định sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1145, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ nên $AC\perp BD$ tại $O$. Vì $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp AC$. Do đó $AC$ vuông góc với hai đường thẳng $BD$ và $SO$ cắt nhau tại $O$ trong mặt phẳng $(SBD)$, suy ra $AC\perp (SBD)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Từ đó $CD\perp (SAD)$ (vì $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAD)$). Suy ra $CD\perp SD$ (vì $SD\subset (SAD)$). Các đường $SC,AC,SB$ không vuông góc với $CD$ (chỉ $BC\perp CD$ trong đáy). Vậy $CD$ vuông góc với $SD$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $OB\perp OA$ và $OB\perp OC$ nên $OB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $OA,OC$ nằm trong mặt phẳng $(OAC)$. Suy ra $OB\perp (OAC)$. Các khẳng định còn lại sai: $OB$ nằm trong $(OBC)$ và $(OAB)$ nên không thể vuông góc với chúng; $OB$ không vuông góc với $(ABC)$ vì $OB$ không vuông góc với $BC$ (tam giác $OBC$ vuông tại $O$).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $AB\perp AD$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$. Do đó $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $AB\perp (SAD)$. Các phương án khác sai vì $AC$, $BD$ không vuông góc với $AB$ (trong hình chữ nhật), còn $SC$ không vuông góc với $(SAB)$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$, $AD\perp CD$, $AC\perp BD$; và $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông với mọi đường thẳng trong đáy.
- A đúng: $CD\perp AD$, $CD\perp SA$ với $AD,SA\subset (SAD)$ nên $CD\perp (SAD)$.
- C đúng: $BD\perp AC$, $BD\perp SA$ với $AC,SA\subset (SAC)$ nên $BD\perp (SAC)$.
- D đúng: $BC\perp AB$, $BC\perp SA$ với $AB,SA\subset (SAB)$ nên $BC\perp (SAB)$.
- B sai: $AC\perp BD$ nhưng $AC$ không vuông góc với $SB$ (tam giác $SAB$ vuông tại $A$, $SB$ không vuông góc với $AC$), nên không thể có $AC\perp (SBD)$.
Vậy khẳng định SAI là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $CD\perp AD$. Do đó $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ thuộc mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $CD\perp (SAD)$. Vậy khẳng định A đúng.
Các khẳng định khác sai: $AC$ không vuông góc $(SBD)$ vì $AC$ nằm trong đáy và cắt $BD$ tại tâm hình vuông; $BD$ không vuông góc $(SAB)$ vì $BD$ không vuông $AB$; $BC$ không vuông góc $(SCD)$ vì $BC$ song song $AD$ mà $AD$ không vuông góc $(SCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $BD\perp AC$. Mặt khác $SA\perp$ đáy nên $SA\perp BD$. Vì $BD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, suy ra $BD\perp (SAC)$. Kiểm tra các phương án khác: $BD$ không vuông góc $(SAD)$ vì $BD$ không vuông góc với $AD$; $AC$ không vuông góc $(SCD)$ vì $AC$ không vuông góc $CD$; $AC$ không vuông góc $(SBD)$ vì $AC$ không vuông góc $SB$ (nếu $AC\perp SB$ và $AC\perp BD$ thì $AC\perp$ đáy, mâu thuẫn). Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy ABCD là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Do đó $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ cùng thuộc mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Các khẳng định khác sai: $BC$ không vuông góc với $AD$ (nên không vuông góc $(SAD)$), không vuông góc với $AC$ (nên không vuông góc $(SAC)$), không vuông góc với $CD$ (nên không vuông góc $(SCD)$). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$ (A đúng). Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$; kết hợp $BD\perp AC$ và $AC\cap SA=A$ trong $(SAC)$ suy ra $BD\perp (SAC)$ (B đúng). $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$ (C đúng). Với D: $BD\perp AB$ nhưng $BD$ không vuông góc $SB$ (tam giác $SBD$ không vuông tại $B$ nói chung), nên $BD$ không vuông góc $(SAB)$ — khẳng định D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy tam giác vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$ (D đúng). Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$ (C đúng). Từ $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ suy ra $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$ (A đúng). Nếu $BC\perp SC$ thì $BC\perp (SBC)$... thực tế $BC$ nằm trong mặt phẳng đó nên không thể vuông góc với $SC$ (vì nếu $BC\perp SC$ và $BC\perp SB$ thì tam giác $SBC$ có hai góc vuông, vô lý). Vậy mệnh đề sai là $BC\perp SC$, khớp đáp án B.