Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Lời giải đầy đủ cho Câu 5 (tự luận hình học):

a) Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Ta có $BC\perp SA$, $BC\perp AB$, với $SA,AB\subset (SAB)$ và $SA\cap AB=A$, suy ra $BC\perp (SAB)$.

b) Vì $BC\perp (SAB)$ và $AH\subset (SAB)$ nên $BC\perp AH$. Mà $AH\perp SB$ (đường cao của $△SAB$), với $SB,BC\subset (SBC)$ cắt nhau tại $B$, suy ra $AH\perp (SBC)$, do đó $AH\perp SC$. Lại có $AK\perp SC$ (đường cao của $△SAC$). Vì $AH\perp SC$, $AK\perp SC$, $AH,AK\subset (AHK)$ cắt nhau tại $A$, suy ra $SC\perp (AHK)$.

c) Theo câu b) $SC\perp (AHK)$. Vì $A\in (AHK)$ và $I\in HK\subset (AHK)$ nên $AI\subset (AHK)$, suy ra $SC\perp AI$. Mặt khác $SA\perp (ABC)$ mà $AI\subset (ABC)$ nên $SA\perp AI$. Vì $AI\perp SC$, $AI\perp SA$ với $SC,SA\subset (SAC)$ cắt nhau tại $S$, suy ra $AI\perp (SAC)$, do đó $AI\perp AC$ (vì $AC\subset (SAC)$). Vậy $△AIC$ vuông tại $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2:

a) Vì $SH\perp (ABCD)$ nên $SH\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$. Vì $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SH$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$.

b) Từ $BC\perp (SAB)$ suy ra $BC\perp SA$, tức $CK\perp SA$ (vì $K$ thuộc $BC$).

Gọi $I$ là trung điểm $AD$. Khi đó $IK$ là đoạn nối trung điểm của hình vuông, nên $IK\parallel AB$ và $IK\perp AD$. Mặt khác $SH\perp (ABCD)$ nên $SH\perp IK$. Vì $IK$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SH$ trong mặt phẳng $(SAD)$, suy ra $IK\perp (SAD)$, do đó $IK\perp SD$.

Ta chứng minh $DK\perp SC$ bằng phương pháp toạ độ: Đặt $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $H\left(\frac{a}{2};0;0\right)$, $S\left(\frac{a}{2};0;h\right)$ với $a=AB$, $h=SH>0$. Khi đó $K\left(a;\frac{a}{2};0\right)$.

Ta có $\overrightarrow{DK}=\left(a;-\frac{a}{2};0\right)$ (vì $K$ nằm trong mặt đáy) và $\overrightarrow{SC}=\left(\frac{a}{2};a;-h\right)$.

Tích vô hướng: $\overrightarrow{DK}\cdot \overrightarrow{SC}=a\cdot \frac{a}{2}+\left(-\frac{a}{2}\right)\cdot a+0\cdot (-h)=\frac{a^2}{2}-\frac{a^2}{2}+0=0$.

Vậy $\overrightarrow{DK}\perp \overrightarrow{SC}$, tức là $DK\perp SC$. (đpcm)

Nhận xét: Kết quả đúng với mọi chiều cao $SH$, không cần thêm dữ kiện nào.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC\perp BD$ tại $O$. Do $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp AC$ và $SO\perp BD$.
- $AC\perp BD$ và $AC\perp SO$ với $BD,SO$ cắt nhau trong $(SBD)$ $\Rightarrow AC\perp (SBD)$: đúng (A đúng).
- $BD\perp AC$ và $BD\perp SO$ với $AC,SO$ cắt nhau trong $(SAC)$ $\Rightarrow BD\perp (SAC)$: đúng (C đúng).
- Từ $AC\perp (SBD)$ suy ra $AC\perp SD$: đúng (D đúng).
- Xét $AD\perp SC$: hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $OC$ (đường chéo), mà $AD$ không vuông góc với $OC$ (trong hình thoi, $AD$ chỉ vuông góc với $AB$ khi hình thoi là hình vuông, không phải trường hợp tổng quát) $\Rightarrow AD$ không vuông góc với $SC$ nói chung. Vậy khẳng định B là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$. Mà $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp SC$ (vì $SC\subset (SAB)$). Vậy mệnh đề đúng là A. Các mệnh đề B, C, D sai: $BD$ không vuông góc với $SC$ (chiếu $BD$ xuống đáy, $AC\perp BD$ nhưng tam giác $SBD$ cân tại $S$ nên không suy ra $BD\perp SC$); $AC$ không vuông góc $(SBD)$; $CD$ không vuông góc $(SBC)$ vì $CD$ không vuông góc với $BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BC\perp AC$ (tam giác $ABC$ vuông tại $C$) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAC)$ → C đúng. Từ đó $BC\perp AH$ (vì $AH\subset (SAC)$), kết hợp $AH\perp SC$ (giả thiết) suy ra $AH\perp (SBC)$ → B đúng. Suy ra $AH\perp SB$ → D đúng. Khẳng định A sai vì $BC$ không vuông góc với $AB$ (góc $B$ không phải góc vuông), nên không thể có $BC\perp (SAB)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc nên: a) OA vuông OB và OC nên OA⊥(OBC) — đúng. b) OB vuông OA và OC nên OB⊥(OAC) — đúng. c) OA⊥OB, OA⊥OC nên OA⊥(OBC) suy ra OA⊥BC; tương tự OB⊥(OAC) suy ra OB⊥AC, OC⊥(OAB) suy ra OC⊥AB. Vậy các cặp cạnh đối OA–BC, OB–AC, OC–AB đều vuông góc — đúng. d) OK là đường cao tam giác OBC nên OK⊥BC; OA⊥(OBC) nên OA⊥BC, do đó BC⊥(OAK) suy ra BC⊥OH. Mặt khác OH⊥AK (đường cao tam giác OAK). AK và BC cùng nằm trong (ABC) và cắt nhau tại K, nên OH⊥(ABC). Do đó khẳng định 'OH không vuông góc với (ABC)' là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
OA⊥OB và OA⊥OC nên OA⊥(OBC).
b) (AI giải đề cho tôi)
OB⊥OA và OB⊥OC nên OB⊥(OAC).
c) (AI giải đề cho tôi)
OA⊥(OBC)⇒OA⊥BC; OB⊥(OAC)⇒OB⊥AC; OC⊥(OAB)⇒OC⊥AB. Các cạnh đối vuông góc nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
BC⊥OK và BC⊥OA nên BC⊥(OAK)⇒BC⊥OH; kết hợp OH⊥AK (AK, BC cắt nhau tại K trong (ABC)) suy ra OH⊥(ABC). Vậy OH có vuông góc với (ABC), khẳng định sai.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: Đáy $ABCD$ là hình thang vuông, $BC$ là đáy nhỏ nên $AB\parallel CD$, $BC\perp AB$ (do đó $BC\perp CD$), và $SA\perp (ABCD)$.

a) Tam giác $SCD$ vuông tại $C$:
- $AC\perp CD$ (giả thiết $\widehat{ACD}=90^{\circ }$).
- $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp CD$.
- Suy ra $CD\perp (SAC)$, mà $SC\subset (SAC)$ nên $CD\perp SC$. Vậy tam giác $SCD$ vuông tại $C$.

Tam giác $SBC$ vuông tại $B$:
- $BC\perp AB$ (hình thang vuông) và $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BC$.
- $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$, mà $SB\subset (SAB)$ nên $BC\perp SB$. Vậy tam giác $SBC$ vuông tại $B$.

b) Ta có:
- $BC\perp (SAB)$ (chứng minh trên) nên $BC\perp AH$ (vì $AH\subset (SAB)$, $H$ nằm trên $SB$).
- Giả thiết $AH\perp SB$.
- $AH$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SB$ và $BC$ trong mặt phẳng $(SBC)$, suy ra $AH\perp (SBC)$.

c) Ta có:
- $CD\perp (SAC)$ (chứng minh trên) mà $AK\subset (SAC)$ nên $CD\perp AK$.
- Giả thiết $AK\perp SC$.
- $AK$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SC$ và $CD$ trong mặt phẳng $(SCD)$, suy ra $AK\perp (SCD)$.

Lưu ý: tam giác $SBC$ vuông tại $B$ (không phải tại $C$), vì $BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp SB$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 8: Hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD), AB = a√2, SA = a√3, BC = a (nên AD = BC = a).

a) Vì ABCD là hình chữ nhật nên CD ⊥ AD. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD. CD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AD và SA thuộc mặt phẳng (SAD), do đó CD ⊥ (SAD).

b) Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BC. Vì ABCD là hình chữ nhật nên BC ⊥ AB, mà BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB), suy ra BC ⊥ SB. Vậy tam giác SBC vuông tại B.

c) Vì AB ∥ CD nên góc giữa SC và AB bằng góc giữa SC và CD, tức là góc SCD (tam giác SCD vuông tại D vì CD ⊥ (SAD) nên CD ⊥ SD).
Tính: AC² = AB² + BC² = 2a² + a² = 3a²; SC² = SA² + AC² = 3a² + 3a² = 6a² ⇒ SC = a√6. CD = AB = a√2.
Trong tam giác SCD vuông tại D: cos(SCD) = CD/SC = (a√2)/(a√6) = 1/√3 = √3/3.
Vậy góc giữa SC và AB bằng arccos(√3/3) ≈ 54°44′.

d) E là trung điểm CD. Ta có AE·BD với hệ tọa độ A(0;0;0), B(a√2;0;0), C(a√2;a;0), D(0;a;0), S(0;0;a√3), E(a√2/2; a; 0): AE = (a√2/2; a; 0), BD = (−a√2; a; 0), AE·BD = −a² + a² = 0 nên AE ⊥ BD.
Mặt khác SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD. BD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau SA và AE trong mặt phẳng (SAE), do đó BD ⊥ (SAE). Mà SE ⊂ (SAE), vậy BD ⊥ SE. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông, $SA\perp (ABCD)$.

a) Vì $SA\perp$ mặt phẳng đáy nên $SA$ là đường cao của hình chóp → Đúng.

b) $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp$ mọi đường thẳng trong mặt đáy, đặc biệt $SA\perp CD$ → Đúng.

c) $SA\perp (ABCD)$, $SA\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$ → Đúng.

d) Vì $AB\perp AD$ và $AB\perp SA$ (do $SA\perp (ABCD)$) nên $AB\perp (SAD)$. Do đó hình chiếu vuông góc của $B$ trên mặt phẳng $(SAD)$ là điểm $A$, không phải trung điểm $I$ của $SD$ → Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh: Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Vì $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ nên $AC\perp BD$. Do đó $BD\perp (SAC)$ (vì $BD$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $SA,AC$ trong mặt phẳng $(SAC)$). Suy ra $BD\perp AH$ (vì $AH\subset (SAC)$). Mặt khác theo giả thiết $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SO$ nên $AH\perp SO$. Vậy $AH$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $SO$ trong mặt phẳng $(SBD)$, tức $AH\perp (SBD)$. Vì $SB\subset (SBD)$ nên $AH\perp SB$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Tọa hóa: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,a√2), M trung điểm SC nên M(a/2,a/2,a√2/2), O(a/2,a/2,0).
a) MO là đoạn thẳng đứng (O và M cùng phương thẳng đứng), MO ∥ SA nên góc giữa MO và SA bằng 0°, không phải 180° → sai.
b) MO vuông góc với mặt phẳng đáy nên MO ⊥ BC (BC nằm trong đáy) → đúng.
c) AC ⊥ BD (hai đường chéo hình vuông) và AC ⊥ SA (SA ⊥ đáy) nên AC ⊥ (SBD) → đúng.
d) (SBC) ∩ (ABCD) = BC. Ta có AB ⊥ BC và SB ⊥ BC (vì SA ⊥ BC) nên góc giữa hai mặt phẳng là góc SBA. tan(SBA) = SA/AB = √2, suy ra cos(SBA) = 1/√3 = √3/3 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
O(a/2,a/2,0) và M(a/2,a/2,a√2/2) nên MO song song SA; góc giữa hai đường thẳng song song là 0°, không phải 180°.
b) (AI giải đề cho tôi)
MO ⊥ (ABCD) nên MO ⊥ BC với BC nằm trong mặt đáy.
c) (AI giải đề cho tôi)
AC ⊥ BD và AC ⊥ SA nên AC ⊥ (SBD).
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa (SBC) và (ABCD) là góc SBA (do AB ⊥ BC, SB ⊥ BC). tan(SBA)=√2 nên cos(SBA)=√3/3.

(AI giải đề cho tôi)
Chứng minh hình học quen thuộc với hình chóp có $SA\perp (ABCD)$, đáy là hình chữ nhật.

a) $CD\perp (SAD)$:
- Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp AD$.
- Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$ ($CD$ nằm trong đáy).
- $CD$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AD$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAD)$, nên $CD\perp (SAD)$.

b) $SC\perp (AHK)$:
- Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$; kết hợp $CD\perp AD$ (câu a) suy ra $CD\perp (SAD)$. Do đó $CD\perp AH$ ($AH$ nằm trong $(SAD)$).
- Trong tam giác $SCD$: $CD\perp (SAD)$ nên $CD\perp AD$, tức tam giác $SCD$ vuông tại $D$... xét tam giác $SAD$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp AD$). $K$ là hình chiếu của $A$ trên $SD$ nên $AK\perp SD$, tức $AK$ là đường cao của tam giác vuông $SAD$ đi từ $A$. Suy ra $AK\perp SD$, mà $SD\perp AK$ và $SD\perp AD$ nên $SD\perp (AKD)$... cách trực tiếp: trong tam giác vuông $SAD$, $AK\perp SD$.
- Xét tam giác $SAC$: $H$ là hình chiếu của $A$ trên $SC$ nên $AH\perp SC$.
- $SC\perp AH$ và $SC\perp AK$ (vì $AK\perp SD$, mà $SC$ nằm trong mặt phẳng $(SCD)$... chính xác hơn: $AK\perp SD$ và $AK\perp CD$ (do $CD\perp (SAD)$) nên $AK\perp (SCD)$, do đó $AK\perp SC$).
- $SC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AH$ và $AK$ trong mặt phẳng $(AHK)$, nên $SC\perp (AHK)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy.
a) $BD\subset (ABCD)$ nên $SA\perp BD$ ⇒ đúng.
b) $AC\perp BD$ (do $ABCD$ là hình vuông), nhưng để $AC\perp (SBD)$ cần $AC$ vuông góc với một đường thẳng thứ hai trong $(SBD)$ cắt $BD$, ví dụ $SO$. Lưu ý $SA$ không nằm trong $(SBD)$ nên không dùng được. Trong mặt phẳng $(SAC)$, $SO\perp AC$ chỉ khi $SA=SC$, điều này không đúng chung vì $S{C}^2=S{A}^2+A{D}^2>S{A}^2$. Kiểm tra bằng tọa độ: đặt $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;h)$ thì $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, pháp tuyến của $(SBD)$ có dạng $(h;h;a)$, tích vô hướng $ah+ah+0\ne 0$. Vậy $AC$ không vuông góc với $(SBD)$ ⇒ sai.
c) $CD\perp AD$ (hình vuông) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), nên $CD\perp (SAD)$ ⇒ đúng.
d) $BC\parallel AD$ và $SA\perp AD$ nên $(BC;SA)=90^{\circ }\ne 60^{\circ }$ ⇒ sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông với mọi đường thẳng trong $(ABCD)$, do đó $SA\perp BD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BD$ nhưng $SA$ không nằm trong $(SBD)$; xét $SO\subset (SBD)$: $SO\perp AC$ chỉ khi $SA=SC$, không đúng chung vì $S{C}^2=S{A}^2+A{D}^2>S{A}^2$. Kiểm tra tọa độ: pháp tuyến của $(SBD)$ là $(h;h;a)$ không vuông góc $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$. Vậy sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$CD\perp AD$ (hình vuông) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), nên $CD\perp (SAD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BC\parallel AD$ và $SA\perp AD$ nên $(BC;SA)=90^{\circ }\ne 60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đáy.
a) Trong hình vuông $ABCD$ có $BD\perp AC$; mà $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$. Vậy $BD\perp SA$ — đúng.
b) $CD\perp AD$ (hình vuông) và $CD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$), với $AD,SA\subset (SAD)$ cắt nhau tại $A$, nên $CD\perp (SAD)$ — đúng.
c) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$, do đó $(BC;SA)=90^{\circ }\ne 60^{\circ }$ — sai.
d) Trong hình vuông $ABCD$ có $AC\perp BD$ tại $O$. Để $AC\perp (SBD)$ cần thêm $AC\perp SO$ với $SO\subset (SBD)$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp AC$) nên $S{C}^2=S{A}^2+A{C}^2>S{A}^2$, tam giác không cân tại $A$; $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO$ là trung tuyến chứ không phải đường cao, tức $SO$ không vuông góc với $AC$ (nói chung, chỉ xảy ra khi $SA=AC$). Vậy $AC$ không vuông góc với $(SBD)$ — sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $BD\perp AC$ (hình vuông) và $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $CD\perp AD$ và $CD\perp SA$, nên $CD\perp (SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $SA\perp BC$ nên $(BC;SA)=90^{\circ }$, không phải $60^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $AC\perp BD$ nhưng $SO$ không vuông góc $AC$ (tam giác $SAC$ vuông tại $A$ không cân tại $A$), nên $AC$ không vuông góc $(SBD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$ (hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(ABC)$) nên $SA\perp (ABC)$ → a đúng. Suy ra $SA\perp BC$ nên góc giữa $SA$ và $BC$ bằng $90^{\circ }$ → b đúng. Ta có $BC\perp AB$ (đáy vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$, tức tam giác $SBC$ vuông tại $B$ → c đúng. Vì $BC\perp (SAB)$ nên $BC\perp AH$; mà $AH\perp SB$ (đường cao của tam giác $SAB$) nên $AH\perp (SBC)$, suy ra $AH\perp SC$ → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp AB$, $SA\perp AC$ với $AB,AC$ cắt nhau trong $(ABC)$ nên $SA\perp (ABC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $SA\perp (ABC)$ suy ra $SA\perp BC$, góc giữa hai đường thẳng bằng $90^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp SB$: tam giác $SBC$ vuông tại $B$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AH\perp SB$ (đường cao) và $AH\perp BC$ (vì $BC\perp (SAB)$) nên $AH\perp (SBC)$, do đó $AH\perp SC$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hình vuông cạnh a, SA = h. Tọa độ: A(0,0,0), B(a,0,0), C(a,a,0), D(0,a,0), S(0,0,h), O(a/2,a/2,0).
a) BD ⊥ AC (tính chất hình vuông) và BD ⊥ SA (SA ⊥ đáy) ⇒ BD ⊥ (SAC). Đúng.
b) Vì BD ⊥ (SAC) mà SC ⊂ (SAC) nên BD ⊥ SC, góc giữa BD và SC bằng 90°, không phải 45°. Sai.
c) CD ⊥ AD và CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ (SAD) ⇒ CD ⊥ SD, tức tam giác SDC vuông tại D (chứ không vuông tại C). Sai.
d) H là hình chiếu của A trên SO nên AH ⊥ SO. Vecto AH = (ta/2, ta/2, h(1−t)) với t = h²/(h² + a²/2). Khi đó AH·SB = ta/2 − h²(1−t) = 0 theo chính phương trình xác định t, nên AH ⊥ SB, tức (AH, SB) = 90°. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD ⊥ AC (hình vuông) và BD ⊥ SA (SA ⊥ đáy) nên BD ⊥ (SAC).
b) (AI giải đề cho tôi)
BD ⊥ (SAC) nên BD ⊥ SC; góc giữa BD và SC bằng 90° chứ không phải 45°.
c) (AI giải đề cho tôi)
CD ⊥ AD và CD ⊥ SA ⇒ CD ⊥ SD, tam giác SDC vuông tại D, không vuông tại C.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ A(0,0,0), S(0,0,h), O(a/2,a/2,0), hình chiếu H cho AH·SB = 0, nên (AH, SB) = 90°.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: tam giác SBC chỉ vuông tại B (vì BC⊥(SAB) nên BC⊥SB), không có dữ kiện để ba cạnh bằng nhau nên không bắt buộc đều.
b) Đúng: CD⊥AD (hình chữ nhật) và CD⊥SA (SA⊥đáy) nên CD⊥(SAD), suy ra CD⊥SD.
c) Đúng: BC⊥(SAB) nên BC⊥AH; kết hợp AH⊥SB được AH⊥SC. Tương tự AB⊥(SAD) nên AB⊥AK; kết hợp AK⊥SD được AK⊥SC. Vậy SC⊥(AHK).
d) Đúng: do SC⊥(AHK) nên SC⊥HK, góc giữa HK và SC bằng 90°.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC⊥(SAB) nên BC⊥SB, tam giác SBC vuông tại B; không có dữ kiện để nó đều.
b) (AI giải đề cho tôi)
CD⊥AD và CD⊥SA ⇒ CD⊥(SAD) ⇒ CD⊥SD.
c) (AI giải đề cho tôi)
AH⊥SB và AH⊥BC (vì BC⊥(SAB)) ⇒ AH⊥SC; AK⊥SD và AK⊥AB (vì AB⊥(SAD)) ⇒ AK⊥SC. Vậy SC⊥(AHK).
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì SC⊥(AHK) nên SC⊥HK, suy ra (HK,SC)=90°.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy = cạnh bên = 1. Gọi O tâm đáy: AC = BD = √2, AO = √2/2, SO = √(SA² − AO²) = √(1 − 1/2) = 1/√2.
a) AC ⊥ BD (hình vuông) và AC ⊥ SO (SO ⊥ (ABCD)) ⇒ AC ⊥ (SBD). Đúng.
b) SB ⊥ AC nhưng SB không vuông SA (tam giác SAB đều cạnh 1, góc ASB = 60°) nên SB không ⊥ (SAC). Sai.
c) Góc giữa SA và (ABCD) là góc giữa SA và hình chiếu AO lên mặt đáy, tức góc SAO, không phải góc (SA, AC) (vì AC không phải hình chiếu của SA). Sai.
d) CD ∥ AB nên CD ∥ (SAB), khoảng cách giữa SB và CD bằng d(C, (SAB)). Lập hệ trục A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), S(1/2,1/2,1/√2). Mặt phẳng (SAB): −y/√2 + z/2 = 0, khoảng cách từ C: (1/√2)/(√3/2) = √6/3 ≈ 0,816 ≠ 3. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC ⊥ BD và AC ⊥ SO ⇒ AC ⊥ (SBD).
b) (AI giải đề cho tôi)
SB ⊥ AC nhưng góc ASB = 60° nên SB không vuông góc (SAC).
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa SA và (ABCD) là góc SAO (AO là hình chiếu), không phải góc (SA, AC).
d) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách giữa SB và CD bằng d(C,(SAB)) = √6/3 ≈ 0,816, không bằng 3.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$; tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Suy ra $BC\perp (SAB)$ (chứa $AB,SA$). Do đó: a) $BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp SB$ (đúng); b) đúng như trên; c) từ $BC\perp (SAB)$ suy ra $BC\perp AP$, mà $AP\perp SB$ (P là hình chiếu của A trên SB) nên $AP\perp (SBC)$, suy ra $AP\perp PQ$ (đúng); d) hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là $A$, của $B$ là $B$, của $C$ là $C$, nên hình chiếu của $△SBC$ là $△ABC$ (đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ (vuông tại B) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $BC\perp SB$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ với $AB,SA$ cắt nhau trong $(SAB)$ nên $BC\perp (SAB)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AP$; kết hợp $AP\perp SB$ suy ra $AP\perp (SBC)$, mà $PQ\subset (SBC)$ nên $AP\perp PQ$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$ là $A$ (vì $SA\perp (ABC)$), của $B,C$ là chính chúng, nên hình chiếu của $△SBC$ là $△ABC$.

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC đều cạnh a, AA' ⊥ (ABC).
a) Sai. AA' ⊥ (ABC) nên AA' ⊥ AC, nhưng tam giác ABC đều nên góc CAB = 60°, tức AC không vuông góc AB. Do đó AC không vuông góc (AA'B'B).
b) Đúng. Vì AA' ⊥ (ABC) và BC nằm trong (ABC) nên AA' ⊥ BC.
c) Sai. Hình chiếu của A' trên (ABC) là A (vì AA' ⊥ (ABC)), B nằm trong (ABC), nên góc giữa A'B và (ABC) là góc A'BA, không phải A'BC.
d) Đúng. Tam giác ABC đều nên CA ⊥ BC; tam giác A'BC có A'A ⊥ (ABC) nên A'C ⊥ BC (định lý ba đường vuông góc). Vậy CA ⊥ BC và A'C ⊥ BC tại giao điểm C, góc nhị diện [A',BC.A] là A'CA.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC không vuông góc AB (góc CAB = 60°) nên AC không vuông góc (AA'B'B).
b) (AI giải đề cho tôi)
AA' ⊥ (ABC) nên AA' ⊥ BC.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của A' trên (ABC) là A nên góc giữa A'B và (ABC) là A'BA.
d) (AI giải đề cho tôi)
CA ⊥ BC và A'C ⊥ BC (ba đường vuông góc) nên góc nhị diện là A'CA.