Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Đáy $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$, mà $AM\subset (SAB)$ nên $BC\perp AM$. Kết hợp giả thiết $AM\perp SB$, với $SB$ và $BC$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SBC)$, ta được $AM\perp (SBC)$. Vậy đáp án D. (Kiểm tra các phương án khác: A sai vì $AM$ không vuông góc $AC$; B sai vì $AM$ không vuông góc $BD$; C sai vì $AM$ không vuông góc $SA$.)

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông cân tại B, AC=2a nên AB=BC=a√2. a) BC⊥AB (vuông tại B) và BC⊥SA (vì SA⊥(ABC)) nên BC⊥(SAB): Đúng. b) SA⊥(ABC) nên hình chiếu của S lên (ABC) là A: Đúng. c) V = (1/3)·S(ABC)·SA = (1/3)·(a√2·a√2/2)·a = a³/3: Đúng. d) SB=SC=√(a²+2a²)=a√3, diện tích (SBC) = (1/2)·BC·d(S,BC) = (1/2)·a√2·a√3 = a²√6/2. Khoảng cách từ A đến (SBC): d = 3V/S(SBC) = a³/(a²√6/2) = 2a/√6 = a√6/3 ≈ 0,816a ≠ a√2/2 ≈ 0,707a: Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
BC⊥AB (do tam giác vuông tại B) và BC⊥SA (do SA⊥(ABC)) nên BC⊥(SAB).
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì SA⊥(ABC) nên hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) là A.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB=BC=a√2, S(ABC)=a², V=(1/3)·a²·a=a³/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
S(SBC)=a²√6/2, d(A,(SBC))=3V/S(SBC)=a√6/3 ≠ a√2/2.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $S(0;0;0)$, $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$. Tam giác $ABC$ đều cạnh $\sqrt{2}$, tâm ngoại tiếp $I\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$.

a) $(ABC):x+y+z=1$ có pháp tuyến $(1;1;1)$ cùng phương $\overrightarrow{SI}$, nên $SI\perp (ABC)$. Đúng.

b) $d(S,(ABC))=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $\sin \theta =\frac{1}{\sqrt{3}}$, $\theta \approx 35,26^{\circ }\ne 45^{\circ }=\widehat{SCA}$. Sai.

c) Góc nhị diện $[S,BC,A]$ là $\widehat{SEA}$ với $E\left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$: $\cos \widehat{SEA}=\frac{1/2}{\sqrt{1/2}\sqrt{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, góc $\approx 54,7^{\circ }\ne 45^{\circ }=\widehat{SBA}$. Sai.

d) $d(A,BC)=AE=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(ABC):x+y+z=1$ có pháp tuyến $(1;1;1)$ cùng phương $\overrightarrow{SI}=\left(\frac{1}{3};\frac{1}{3};\frac{1}{3}\right)$, nên $SI\perp (ABC)$. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $SC$ và $(ABC)$: $\sin \theta =\frac{d(S,(ABC))}{SC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ nên $\theta \approx 35,26^{\circ }\ne 45^{\circ }=\widehat{SCA}$. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Góc nhị diện $[S,BC,A]$ là $\widehat{SEA}$ ($AE\perp BC$, $SE\perp BC$). Với $E\left(0;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$: $\cos \widehat{SEA}=\frac{1/2}{\sqrt{1/2}\cdot \sqrt{3/2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$, góc $\approx 54,7^{\circ }\ne 45^{\circ }=\widehat{SBA}$. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,BC)=AE=\sqrt{1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$. Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $SH\perp (ABCD)$ nên $SH$ vuông góc với mọi đường thẳng trong mặt phẳng đó, suy ra $SH\perp BD$.
b) Sai: $AB\perp AD$ nhưng $AB$ không vuông góc với $SA$ (vì $SA$ nghiêng so với mặt đáy, tam giác $SAH$ vuông tại $H$ với $AH=2a$, $SH=2a$ nên $SA=2\sqrt{2}a$, góc $SAH\ne 90^{\circ }$). Do đó $AB$ không vuông góc với $(SAD)$.
c) Đúng: $BC\perp AB$ (hình chữ nhật) và $BC\perp SH$ (vì $SH\perp (ABCD)$) nên $BC\perp (SAB)$. Vì $BC\subset (BMC)$ nên $(BMC)\perp (SAB)$.
d) Đúng: Diện tích hình thang $AHCD$ với $AH=2a$, $DC=4a$, chiều cao $AD=3a$ là $\frac{(2a+4a)\cdot 3a}{2}=9a^2$. Khoảng cách từ $M$ (trung điểm $SA$) đến mặt đáy bằng $\frac{SH}{2}=a$. Vậy $V_{M.AHCD}=\frac{1}{3}\cdot 9a^2\cdot a=3a^3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Đ S Đ Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
$SH\perp (ABCD)\Rightarrow SH\perp BD$ vì $BD\subset (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AB\perp AD$ nhưng $AB$ không vuông góc với $SA$ (tam giác $SAH$ vuông tại $H$, $SA$ nghiêng), nên $AB$ không vuông góc với $(SAD)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp AB$ và $BC\perp SH\Rightarrow BC\perp (SAB)$; vì $BC\subset (BMC)$ nên $(BMC)\perp (SAB)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S_{AHCD}=\frac{(2a+4a)\cdot 3a}{2}=9a^2$; khoảng cách từ $M$ đến đáy là $\frac{SH}{2}=a$; $V=\frac{1}{3}\cdot 9a^2\cdot a=3a^3$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Mà $BC\perp AB$, $BC\perp SA$, $AB,SA\subset (SAB)$ và cắt nhau tại $A$, nên $BC\perp (SAB)$.

b) Vì $BC\perp (SAB)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$ theo giao tuyến $SB$. Trong $(SAB)$, kẻ $AH\perp SB$ tại $H$, suy ra $AH\perp (SBC)$. Do đó $CH$ là hình chiếu của $AC$ lên $(SBC)$, góc giữa $AC$ và $(SBC)$ là $\widehat{ACH}$.

Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ với $SA=AB=2a$ nên $SB=2a\sqrt{2}$. Diện tích $\Delta SAB$: $AH=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{2a\cdot 2a}{2a\sqrt{2}}=a\sqrt{2}$.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AC=2a\sqrt{2}$.

Trong tam giác $ACH$ (vuông tại $H$): $\sin \widehat{ACH}=\frac{AH}{AC}=\frac{a\sqrt{2}}{2a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, suy ra $\widehat{ACH}=30^{\circ }$.

Vậy góc giữa $AC$ và $(SBC)$ bằng $30^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp đều S.ABCD, cạnh đáy $a\sqrt{2}$, cạnh bên $2a$. Gọi O tâm đáy: $AC=2a\Rightarrow OA=a$, chiều cao $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}$.
a) $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông) và $BD\perp SO$ (vì $SO\perp (ABCD)$) $\Rightarrow BD\perp (SAC)$. Đúng.
b) Góc giữa cạnh bên và đáy là $\widehat{SAO}$: $\tan \widehat{SAO}=\frac{SO}{OA}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow 60^{\circ }$. Đúng.
c) Góc giữa mặt bên và đáy là góc giữa SM (M trung điểm BC) và OM, $OM=\frac{a\sqrt{2}}{2}$: $\tan \alpha =\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}/2}=\sqrt{6}\Rightarrow \alpha \approx 67,8^{\circ }\ne 45^{\circ }$. Sai.
d) Tọa độ $A(0,0,0),B(a\sqrt{2},0,0),C(a\sqrt{2},a\sqrt{2},0),S\left(\frac{a\sqrt{2}}{2},\frac{a\sqrt{2}}{2},a\sqrt{3}\right)$. Pháp tuyến $(SAB)$: $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AS}=(0,-a^2\sqrt{6},a^2)$; pháp tuyến $(SBC)$: $\overrightarrow{BC}\times \overrightarrow{BS}=(a^2\sqrt{6},0,a^2)$. Tích vô hướng $=a^4\ne 0$, tức $\cos$ góc giữa hai mặt phẳng $=\frac{a^4}{a^2\sqrt{7}\cdot a^2\sqrt{7}}=\frac{1}{7}\ne 0$, nên $(SBC)$ không vuông góc $(SAB)$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD ⊥ AC và BD ⊥ SO nên BD ⊥ (SAC).
b) (AI giải đề cho tôi)
tan(SAO)=SO/OA=a√3/a=√3 ⇒ góc bằng 60°.
c) (AI giải đề cho tôi)
tan α = SO/OM = a√3/(a√2/2)=√6 ⇒ α≈67,8° ≠ 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến (SAB)=(0,−a²√6,a²), pháp tuyến (SBC)=(a²√6,0,a²), tích vô hướng = a⁴ ≠ 0 (cos góc nhị diện = 1/7), nên hai mặt phẳng không vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Đáy là hình thoi tâm $O$ nên $AC\perp BD$ tại $O$, và $SO\perp (ABCD)$. Từ đó: $BD\perp AC$ và $BD\perp SO$ (vì $SO\perp$ đáy) nên $BD\perp (SAC)$ → A đúng. Tương tự $AC\perp BD$ và $AC\perp SO$ nên $AC\perp (SBD)$ → C đúng. Vì $BO$ nằm trên $BD$ mà $BD\perp (SAC)$ nên $BO\perp (SAC)$ → D đúng. Mệnh đề B: $BD\perp (SCD)$ là SAI vì nếu $BD\perp (SCD)$ thì $BD\perp CD$, nhưng trong hình thoi $BD$ là đường chéo, $CD$ là cạnh, góc giữa chúng không phải $90^{\circ }$ (chỉ khi hình thoi là hình vuông, và khi đó $BD$ không thể vuông góc với cả mặt $(SCD)$ chứa $CD$ nói chung). Vậy mệnh đề SAI là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $BD\perp AC$ (hình vuông) và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $BD\perp (SAC)$. b) Sai: vì $BD\perp (SAC)$ nên $BD\perp SC$, góc giữa $BD$ và $SC$ bằng $90^{\circ }$ chứ không phải $45^{\circ }$. c) Đúng: $CD\perp AD$, $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)$, suy ra $CD\perp SD$, tam giác $SDC$ vuông tại $C$. d) Đúng: $AH\subset (SAC)$ nên $BD\perp AH$; mặt khác $AH\perp SO$ (giả thiết). Vì $AH$ vuông với hai đường cắt $BD$ và $SO$ trong mặt phẳng $(SBD)$ nên $AH\perp (SBD)$, do đó $AH\perp SB$, tức $(AH,SB)=90^{\circ }$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AC$ (tính chất hình vuông) và $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$) nên $BD\perp (SAC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $BD\perp (SAC)$ nên $BD\perp SC$; góc giữa $BD$ và $SC$ bằng $90^{\circ }$, không phải $45^{\circ }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$CD\perp AD$, $CD\perp SA$ nên $CD\perp (SAD)$, suy ra $CD\perp SD$: tam giác $SDC$ vuông tại $C$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AH\subset (SAC)$ nên $BD\perp AH$; lại có $AH\perp SO$. Vậy $AH\perp (SBD)$ nên $AH\perp SB$, tức $(AH,SB)=90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì ABCD là hình vuông nên $BD\perp AC$; lại có $SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp BD$. Do đó $BD\perp (SAC)$ (đúng).
b) $SA\perp (ABCD)$ nên $CA$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$, góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$ (đúng).
c) $AB\perp SA$ và $AB\perp AD$ nên $AB\perp (SAD)\Rightarrow AB\perp SD$, do đó $d(A,(SBC))=d(A,SD)$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$ với $SA=a\sqrt{3},AD=a$ nên $SD=2a$. Khoảng cách $d(A,SD)=\frac{SA\cdot AD}{SD}=\frac{a\sqrt{3}\cdot a}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\ne \frac{\sqrt{3}}{3}a$ (sai).
d) $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^3$ (đúng).
a) (AI giải đề cho tôi)
$BD\perp AC$ (hình vuông) và $BD\perp SA$ ($SA\perp (ABCD)$) nên $BD\perp (SAC)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$CA$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABCD)$ vì $SA\perp (ABCD)$, nên góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d(A,(SBC))=d(A,SD)=\frac{SA\cdot AD}{SD}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\ne \frac{\sqrt{3}}{3}a$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: a) Trong hình vuông ABCD có AC⊥BD; lại SA⊥(ABCD) nên SA⊥BD. Vậy BD⊥(SAC) → đúng. b) SA⊥(ABCD) nên CA là hình chiếu của SC lên (ABCD), góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA → đúng. c) AB⊥BC và AB⊥SA nên AB⊥(SBC), do đó d(A,(SBC))=d(B,(SBC))=AB·SA/SC với SC=√(SA²+AC²)=√(3a²+2a²)=a√5. Vậy d=a·a√3/(a√5)=a√15/5≈0,775a ≠ (√3/3)a → sai. d) V=(1/3)·a²·a√3=(√3/3)a³ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC⊥BD (hình vuông) và SA⊥BD (vì SA⊥(ABCD)), nên BD⊥(SAC).
b) (AI giải đề cho tôi)
SA⊥(ABCD) nên CA là hình chiếu của SC trên (ABCD); góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và CA, tức góc SCA.
c) (AI giải đề cho tôi)
AB⊥(SBC) nên d(A,(SBC))=AB·SA/SC=a·a√3/(a√5)=a√15/5≈0,775a, khác (√3/3)a≈0,577a.
d) (AI giải đề cho tôi)
V=(1/3)·S_ABCD·SA=(1/3)·a²·a√3=(√3/3)a³.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 10: Hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông cạnh $a$, $SA\perp (ABCD)$, $SA=a\sqrt{2}$.

1) a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$. Vì ABCD hình vuông nên $AB\perp BC$. $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ với $AB,SA$ cắt nhau trong $(SAB)$ $\Rightarrow BC\perp (SAB)$.
b) Tương tự: $SA\perp CD$ và $AD\perp CD$ (hình vuông), $AD,SA$ cắt nhau trong $(SAD)$ $\Rightarrow CD\perp (SAD)$.
c) Gọi $O=AC\cap BD$. Vì ABCD hình vuông nên $BD\perp AC$. Mặt khác $SA\perp (ABCD)$ $\Rightarrow SA\perp BD$. $BD\perp AC$ và $BD\perp SA$, $AC\cap SA=A$ $\Rightarrow BD\perp (SAC)$.

2) a) $BC\perp (SAB)$ mà $BC\subset (SBC)$ $\Rightarrow (SBC)\perp (SAB)$.
b) $BD\perp (SAC)$ mà $BD\subset (SBD)$ $\Rightarrow (SBD)\perp (SAC)$.

3) a) $SA\perp (ABCD)$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên $(ABCD)$, góc cần tìm là góc $SBA$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$: $\tan \angle SBA=SA/AB=a\sqrt{2}/a=\sqrt{2}$ $\Rightarrow$ góc$(SB,(ABCD))=\arctan \sqrt{2}\approx 54°44\prime$.
b) $AC$ là hình chiếu của $SC$ trên $(ABCD)$, góc cần tìm là góc $SCA$. $AC=a\sqrt{2}$, $\tan \angle SCA=SA/AC=a\sqrt{2}/(a\sqrt{2})=1$ $\Rightarrow$ góc$(SC,(ABCD))=45°$.
c) $CD\perp (SAD)$ (câu 1b) nên $CD\perp SD$ và $CD\perp AD$ $\Rightarrow$ góc giữa $(SCD)$ và $(ABCD)$ là góc $SDA$. Tam giác $SAD$ vuông tại $A$: $\tan \angle SDA=SA/AD=\sqrt{2}$ $\Rightarrow$ góc $=\arctan \sqrt{2}\approx 54°44\prime$.

4) Từ câu 1c: $BO\perp (SAC)$ với $O=AC\cap BD$. Vậy $d(B,(SAC))=BO=BD/2=(a\sqrt{2})/2$.

(AI giải đề cho tôi)
Thể tích $V=\frac{1}{3}AB\cdot AD\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot a\cdot 2a\cdot SO=2a^3\Rightarrow SO=3a$.

a) Trong hình chữ nhật $ABCD$ có $AC\perp BD$; lại $SO\perp (ABCD)$ nên $SO\perp AC$. Suy ra $AC\perp (SBD)$, do đó $AC\perp SD\subset (SBD)$. Mệnh đề ĐÚNG.

b) Vì $SO\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $O$, do đó hình chiếu của $SB$ lên $(ABCD)$ là $OB$, không phải $DB$. Mệnh đề SAI.

c) Từ a) có $AC\perp (SBD)$ mà $AC\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (SBD)$. Mệnh đề ĐÚNG.

d) $AC=a\sqrt{5}$ nên $AO=\frac{a\sqrt{5}}{2}$. Vì $AC\perp (SBD)$ nên $d(A,(SBD))=AO=\frac{\sqrt{5}}{2}a$. Mệnh đề ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BD$ (hình chữ nhật) và $SO\perp AC$ nên $AC\perp (SBD)$, suy ra $AC\perp SD$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $O$ nên hình chiếu của $SB$ là $OB$, không phải $DB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AC\perp (SBD)$ và $AC\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (SBD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$AC=a\sqrt{5}$, $AO=\frac{a\sqrt{5}}{2}$; do $AC\perp (SBD)$ nên $d(A,(SBD))=AO=\frac{\sqrt{5}}{2}a$.

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;a√2), O(a/2;a/2;0), E(a/2;0;0), F(a;a/2;0). a) BD ⊥ AC (tính chất hình vuông) và BD ⊥ SA (SA ⊥ đáy) nên BD ⊥ (SAC): Đúng. b) EF có VTCP (1;1;0), SO có VTCP (a/2; a/2; −a√2); tích vô hướng = a²/2 ≠ 0 nên EF không vuông góc SO: Sai. c) SC có VTCP (a; a; −a√2), EF có VTCP (1;1;0): cos = a/( (a√2)(2a) )·... tính: tích vô hướng = a, |SC| = 2a, |EF| = a/√2, cos = a/(2a·a/√2) = √2/2 → góc 45°: Đúng. d) VTPT (SEF): n = EF×ES với EF=(a/2;a/2;0), ES=(−a/2;0;a√2) cho n ∝ (2√2; −2√2; 1). SA có VTCP (0;0;1). sinθ = 1/√17, nên tanθ = 1/4: Đúng. Khớp đáp án mã đề 112: Đ, S, Đ, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
BD ⊥ AC (hai đường chéo hình vuông) và BD ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) nên BD ⊥ (SAC).
b) (AI giải đề cho tôi)
EF ∥ AC nên góc giữa EF và SO bằng góc giữa AC và SO. Tam giác SAC cân tại A (SA = AC = a√2? thực tế SA = a√2, AC = a√2) có SO là trung tuyến, nhưng AC không vuông góc SO (tam giác SAC cân tại A, SO là đường trung tuyến từ S... SO không vuông AC vì tam giác SOC không vuông tại O: OC = a√2/2, SC = 2a, SC² = 4a² ≠ OC² + SO² = a²/2 + 2a² = 5a²/2). Vậy EF không vuông góc SO.
c) (AI giải đề cho tôi)
EF ∥ AC nên góc(EF, SC) = góc(AC, SC). Trong tam giác SAC: SA = AC = a√2, SC = 2a, cos∠ACS = (AC² + SC² − SA²)/(2·AC·SC) = (2a² + 4a² − 2a²)/(2·a√2·2a) = 4a²/(4a²√2) = √2/2 → góc = 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ tọa độ A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), S(0;0;a√2), E(a/2;0;0), F(a;a/2;0): VTPT của (SEF) là n ∝ (2√2; −2√2; 1), VTCP của SA là (0;0;1). sinθ = 1/√(8+8+1) = 1/√17, suy ra tanθ = 1/4.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(a;a;0)$, $D(0;a;0)$, $S(0;0;a\sqrt{2})$. Khi đó $M(a/2;0;0)$, $N(a;a/2;0)$, $O(a/2;a/2;0)$.

a) $\overrightarrow{AC}=(a;a;0)$, $\overrightarrow{BD}=(-a;a;0)$ nên $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BD}=0$; $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{SA}=0$. Nhưng $\overrightarrow{SB}=(a;0;-a\sqrt{2})$ và $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{SB}=a^2\ne 0$, nên $AC$ không vuông góc $SB$, do đó $AC$ không vuông góc $(SBD)$ → Sai.

b) $\overrightarrow{MN}=(a/2;a/2;0)$, $\overrightarrow{SC}=(a;a;-a\sqrt{2})$. $\cos (MN,SC)=\frac{2a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{4}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ → góc bằng $45^{\circ }$ → Đúng.

c) $\overrightarrow{SO}=(a/2;a/2;-a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{MN}\cdot \overrightarrow{SO}=a^2/4+a^2/4=a^2/2\ne 0$ nên $MN$ không vuông góc $SO$ → Sai.

d) $\overrightarrow{SM}=(a/2;0;-a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{SN}=(a;a/2;-a\sqrt{2})$. Vecto pháp tuyến của $(SMN)$: $\vec{n}=\overrightarrow{SM}\times \overrightarrow{SN}\propto (2\sqrt{2};-2\sqrt{2};1)$, $|\vec{n}|=\sqrt{17}$. $\overrightarrow{SA}=(0;0;-a\sqrt{2})$. $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{SA}|}{|\vec{n}||\overrightarrow{SA}|}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{17}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{17}}$, suy ra $\cos \theta =\frac{4}{\sqrt{17}}$, $\tan \theta =\frac{1}{4}$, $\cot \theta =4\ne \frac{1}{4}$ → Sai.

Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Sai — khớp đáp án nguồn (mã đề 111, Phần II Câu 2: SĐSS).
a) (AI giải đề cho tôi)
AC⊥BD và AC⊥SA nhưng AC·SB=a²≠0 nên AC không vuông góc (SBD).
b) (AI giải đề cho tôi)
cos(MN,SC)=1/√2 nên góc bằng 45°.
c) (AI giải đề cho tôi)
MN·SO=a²/2≠0 nên MN không vuông góc SO.
d) (AI giải đề cho tôi)
n=SM×SN ∝ (2√2;−2√2;1), |n|=√17. sinθ=1/√17, cosθ=4/√17, tanθ=1/4, cotθ=4≠1/4 → Sai.

a) Ta có $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$,
Tam giác $VAC$ cân tại $V$ nên $AC\perp VN\Rightarrow AC\perp (VBD)$

b)
Theo giả thiết ta tính được: $CF=5\sqrt{13};VF=\sqrt{579}$ và $VC=\sqrt{114}$.
Xét tam giác $VCF$, ta có
$\cos \widehat{VCF}=\frac{V{C}^2+C{F}^2-V{F}^2}{2\cdot VC\cdot CF}\Rightarrow \cos \widehat{VCF}=\frac{114+325-579}{2\sqrt{114}\cdot 5\sqrt{13}}$.
Suy ra $\widehat{VCF}\approx 111,3^{\circ }$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng $VC$ và $DE$ bằng $68,7^{\circ }$

Mọi cách giải khác cho ra kết quả đúng đều được điểm tối đa.

a) Ta có $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$,
Tam giác $VAC$ cân tại $V$ nên $AC\perp VN\Rightarrow AC\perp (VBD)$

b) [Hình cần kiểm tra lại: p9_f1]
Theo giả thiết ta tính được: $CF=5\sqrt{13};VF=\sqrt{579}$ và $VC=\sqrt{114}$.
Xét tam giác $VCF$, ta có $\cos \widehat{VCF}=\frac{V{C}^2+C{F}^2-V{F}^2}{2\cdot VC\cdot CF}\Rightarrow \cos \widehat{VCF}=\frac{114+325-579}{2\sqrt{114}\cdot 5\sqrt{13}}$.
Suy ra $\widehat{VCF}\approx 111,3^{\circ }$.
Vậy góc giữa hai đường thẳng $VC$ và $DE$ bằng $68,7^{\circ }$

Mọi cách giải khác cho ra kết quả đúng đều được điểm tối đa.

a) Ta có $\{\begin{array}{l}DC\perp AD\\ DC\perp SA\\ AD\cap SA=A\end{array}\Rightarrow DC\perp (SAD)$

b) Ta có $DC\perp (SAD)\Rightarrow DC\perp AK$

Ta lại có: $\{\begin{array}{l}AK\perp SD\\ AK\perp DC\\ SD\cap DC=D\end{array}\Rightarrow AK\perp (SDC)\Rightarrow AK\perp SC$.

Vì $\{\begin{array}{l}AK\perp SC\\ AH\perp SC\\ AH\cap AK=A\end{array}\Rightarrow SC\perp (AHK)$.

Suy ra tam giác $CHK$ vuông.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng. Tam giác ABC vuông cân tại B, M là trung điểm cạnh huyền AC nên BM vừa là trung tuyến vừa là đường cao: BM ⊥ AC, do đó (BM; AC) = 90°.
b) Đúng. SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BM; kết hợp BM ⊥ AC (ý a) và SA ∩ AC = A thuộc (SAC), suy ra BM ⊥ (SAC).
c) Sai. Cả 3 mặt bên đều là tam giác vuông: SAB vuông tại A (SA ⊥ AB), SAC vuông tại A (SA ⊥ AC); vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB, tam giác SBC vuông tại B. Vậy khẳng định 'chỉ có đúng 2 mặt bên' là sai.
d) Sai. Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB), hình chiếu của C lên (SAB) là B, do đó hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB) là SB chứ không phải SA.
Đối chiếu đáp án nguồn (trang 11): 2a D, 2b D, 2c S, 2d S — khớp hoàn toàn với kết quả giải độc lập.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC vuông cân tại B, M trung điểm cạnh huyền AC nên BM vừa là trung tuyến vừa là đường cao: BM ⊥ AC, tức (BM; AC) = 90°.
b) (AI giải đề cho tôi)
SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BM; cùng với BM ⊥ AC và SA, AC cắt nhau tại A thuộc (SAC), suy ra BM ⊥ (SAC).
c) (AI giải đề cho tôi)
Cả 3 mặt bên đều là tam giác vuông: SAB vuông tại A, SAC vuông tại A, và BC ⊥ (SAB) (vì BC ⊥ AB, BC ⊥ SA) nên BC ⊥ SB, tam giác SBC vuông tại B. Do đó khẳng định 'chỉ có đúng 2 mặt bên' là sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB), hình chiếu của C lên (SAB) là B. Suy ra hình chiếu vuông góc của SC lên (SAB) là SB, không phải SA.

[Hình cần kiểm tra lại: p14_f1]

a) Ta có $\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\\ AB\cap SA=A\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAB)$

b) Ta có $BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp AK$

Ta lại có: $\{\begin{array}{l}AK\perp SB\\ AK\perp BC\\ SB\cap BC=B\end{array}\Rightarrow AK\perp (SBC)\Rightarrow AK\perp SC$.

Vì $\{\begin{array}{l}AK\perp SC\\ AH\perp SC\\ AH\cap AK=A\end{array}\Rightarrow SC\perp (AHK)$.

Suy ra tam giác $CHK$ vuông.

Câu 3 (1,5đ):
a) Hình vẽ phục vụ câu a) — 0,25đ
* $<table><tbody><tr><td>SO\perp (ABCD)</td></tr><tr><td>BD\subset (ABDC)</td></tr></tbody></table>\}\Rightarrow SO\perp BD$ — 0,25đ
* $<table><tbody><tr><td>BD\perp SO</td></tr><tr><td>BD\perp AC</td></tr><tr><td>SO,AC\subset (SAC),SO\cap AC=O</td></tr></tbody></table>\}\Rightarrow BD\perp (SAC)$ — 0,25đ; 0,25đ
b) * Vẽ $OH\perp BC$ tại H.
* Phải xác định được: $((SBC),(ABCD))=SHO$ — 0,25đ
* Tính: $OH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, $\tan SHO=\frac{SO}{OH}=\frac{\frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\Rightarrow ((SBC),(ABCD))=SHO=30^0$ — 0,25đ
[Hình cần kiểm tra lại: p12_f1]