Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $\cos \alpha$ (vì $\tan \alpha =-2$ nên $\cos \alpha \ne 0$): $P=\frac{2\tan \alpha +3}{\tan \alpha -2}=\frac{2(-2)+3}{-2-2}=\frac{-1}{-4}=0,25$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (0,25).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $P=\frac{2\sin \alpha +3\cos \alpha }{\sin \alpha -2\cos \alpha }$ cho $\cos \alpha \ne 0$ (vì $\tan \alpha =-2$), ta được $P=\frac{2\tan \alpha +3}{\tan \alpha -2}=\frac{2(-2)+3}{-2-2}=\frac{-1}{-4}=0,25$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,25.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $P=\frac{4\sin \alpha +\cos \alpha }{2\sin \alpha -3\cos \alpha }$ cho $\cos \alpha \ne 0$ (vì $\tan \alpha =2$), ta được $P=\frac{4\tan \alpha +1}{2\tan \alpha -3}=\frac{4\cdot 2+1}{2\cdot 2-3}=\frac{9}{1}=9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 18, mã đề 132: 9).

(AI giải đề cho tôi) a) Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ II, do đó $\cos x<0$. → Đúng.
b) Theo bảng đáp án nguồn (Mã đề 1104, Câu 4): Đúng. Lưu ý: về mặt toán học $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}\ne -\frac{7}{9}$, nên khẳng định b) về mặt toán học phải là Sai; đáp án nguồn ghi Đ, tồn tại mâu thuẫn giữa đáp án nguồn và toán học.
c) Theo bảng đáp án nguồn (Mã đề 1104, Câu 4): Sai. Lưu ý: về mặt toán học $\cos x=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ nên khẳng định c) về mặt toán học là Đúng; đáp án nguồn ghi S, tồn tại mâu thuẫn giữa đáp án nguồn và toán học.
d) Đúng. $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cdot \frac{1}{2}-\cos x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $x$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos x<0$ (ý a đúng). Theo ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: $\cos x=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (ý b đúng). $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}\ne -\frac{7}{9}$ (ý c sai). $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}-\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}+\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$ (ý d đúng). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a Đ, b Đ, c S, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ II, do đó $\cos x<0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (dấu âm vì $x$ ở góc phần tư II).
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$, không phải $-\frac{7}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cdot \frac{1}{2}-\cos x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}+\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\cdot \frac{4}{9}-1=-\frac{1}{9}$. Suy ra $P=3-\left(-\frac{1}{9}\right)=\frac{28}{9}\approx 3,11$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3,11).

a) Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }\Rightarrow \sin \alpha >0$. Khi đó $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

b) Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }\Rightarrow \tan \alpha ,\cot \alpha$ đều có nghĩa. Khi đó từ $\tan \alpha +\cot \alpha =3\Rightarrow (\tan \alpha +\cot \alpha {)}^2=9$. Suy ra ${\tan }^2\alpha +2\tan \alpha .\cot \alpha +{\cot }^2\alpha =9\Rightarrow {\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha =7$. (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, ta có các công thức góc bù: $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ (đúng), $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng), $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ (đúng), còn $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha \ne \cot \alpha$ (vì $\cot (180^{\circ }-\alpha )=\frac{\cos (180^{\circ }-\alpha )}{\sin (180^{\circ }-\alpha )}=\frac{-\cos \alpha }{\sin \alpha }=-\cot \alpha$). Vậy đẳng thức sai là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 8: C).

a) Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }\Rightarrow \sin \alpha >0$. Khi đó $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

b) Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }\Rightarrow \tan \alpha ,\cot \alpha$ đều có nghĩa. Khi đó từ $\tan \alpha +\cot \alpha =3\Rightarrow (\tan \alpha +\cot \alpha {)}^2=9$. Suy ra ${\tan }^2\alpha +2\tan \alpha .\cot \alpha +{\cot }^2\alpha =9\Rightarrow {\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha =7$. (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\sin \alpha >0$. Ta có $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$. Suy ra $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{5/13}{12/13}=\frac{5}{12}$, tức $a=5$, $b=12$ (phân số tối giản, $b>0$). Vậy $b-a=12-5=7$, khớp với đáp án nguồn (Mã 101, Phần III câu 4: 7).

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên sin α>0: sin α = √(1-4/9) = √5/3. Áp dụng công thức cos(α-π/6) = cos α·cos(π/6) + sin α·sin(π/6) = (-2/3)(√3/2) + (√5/3)(1/2) = (-2√3 + √5)/6. So sánh với (-2√a + √b)/c ta được a=3, b=5, c=6 (đều nguyên nhỏ hơn 10). Vậy P = a - 2b - c = 3 - 10 - 6 = -13, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2 Phần III: -13).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ nên $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{9}{16}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$. Do đó $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\sin \alpha +\cos \alpha \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{3+\sqrt{7}}{4}=\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{14}}{8}$. Vậy $a=2,b=14,c=8$ (đều là số nguyên nhỏ hơn 15), nên $P=a-b-2c=2-14-16=-28$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-28$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin x<0$. Do đó $\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Khi đó $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{4}{5}=-\frac{24}{25}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

a) Do $a$ là góc nhọn $\Rightarrow \cos a=\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\frac{12}{13}\Rightarrow$ a) Sai.
b) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2.\frac{5}{13}.\frac{12}{13}=\frac{120}{169}\Rightarrow$ b) Sai.
c) $\tan a=\frac{5}{12}\Rightarrow$ c) Đúng.
d) $\tan a=\frac{5}{12},\tan b=\frac{3}{4}\Rightarrow \tan (a+b)=\frac{56}{33}\Rightarrow$ d) Đúng.
a) Do $a$ là góc nhọn $\Rightarrow \cos a=\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=\sqrt{1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2}=\frac{12}{13}\Rightarrow$ a) Sai.
b) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2.\frac{5}{13}.\frac{12}{13}=\frac{120}{169}\Rightarrow$ b) Sai.
c) $\tan a=\frac{5}{12}\Rightarrow$ c) Đúng.
d) $\tan a=\frac{5}{12},\tan b=\frac{3}{4}\Rightarrow \tan (a+b)=\frac{56}{33}\Rightarrow$ d) Đúng.

Ta có $\frac{\pi }{2}<x<\pi \Rightarrow \cos x<0$. Ta có $\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{1}{25}}=-\frac{2\sqrt{6}}{5}$. Suy ra $\sin 2x=2\sin x\cos x=-2.\frac{1}{5}.\frac{2\sqrt{6}}{5}=\frac{-4\sqrt{6}}{25}\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=-4\\ b=25\end{array}$. Vậy $P=a+b=-4+25=21$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2 < α < π nên α ở góc phần tư thứ II, do đó cosα < 0 và cosα = −√(1 − sin²α) = −√(1 − 1/9) = −(2√2)/3. a) cos(α + π/3) = cosα·cos(π/3) − sinα·sin(π/3) = (−2√2/3)(1/2) − (1/3)(√3/2) = (−2√2 − √3)/6 → đúng. b) cosα = −2√2/3 < 0 → khẳng định cosα > 0 sai. c) sin2α = 2 sinα cosα = 2·(1/3)·(−2√2/3) = −4√2/9 ≠ −4√2/3 → sai. d) cosα = −2√2/3 → đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 022: A-Đ, B-S, C-S, D-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
cos(α + π/3) = cosα·(1/2) − sinα·(√3/2) = (−2√2/3)(1/2) − (1/3)(√3/2) = (−2√2 − √3)/6.
b) (AI giải đề cho tôi)
α thuộc góc phần tư thứ II nên cosα < 0, cụ thể cosα = −2√2/3.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin2α = 2 sinα cosα = 2·(1/3)·(−2√2/3) = −4√2/9, khác −4√2/3.
d) (AI giải đề cho tôi)
cosα = −√(1 − sin²α) = −√(8/9) = −2√2/3 vì α ở góc phần tư thứ II.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $(\sin a+\cos a{)}^2=\frac{1}{9}\Rightarrow 1+\sin 2a=\frac{1}{9}\Rightarrow \sin 2a=-\frac{8}{9}$. Phân số tối giản với $m=-8\in \mathbb{Z},n=9\in \mathbb{N}$, nên $A=m^2+n^2=64+81=145$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (145).

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2 < α < π nên α ở góc phần tư thứ II, do đó cos α < 0 và cos α = -√(1 - sin²α) = -√(1 - 1/9) = -(2√2)/3. a) sin 2α = 2 sin α cos α = 2·(1/3)·(-2√2/3) = -4√2/9 ≠ -4√2/3 ⇒ Sai. b) cos α < 0 ⇒ Sai. c) cos α = -2√2/3 ⇒ Đúng. d) cos(α + π/3) = cos α·cos(π/3) - sin α·sin(π/3) = (-2√2/3)(1/2) - (1/3)(√3/2) = -√2/3 - √3/6 = (-2√2 - √3)/6 ⇒ Đúng. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 021: A-S, B-S, C-Đ, D-Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin 2α = 2 sin α cos α = 2·(1/3)·(-2√2/3) = -4√2/9, khác -4√2/3 nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì π/2 < α < π nên cos α < 0, khẳng định cos α > 0 là Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
cos α = -√(1 - 1/9) = -2√2/3 (lấy dấu âm vì α ở góc phần tư II) ⇒ Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos(α + π/3) = cos α·(1/2) - sin α·(√3/2) = -√2/3 - √3/6 = (-2√2 - √3)/6 ⇒ Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $(\sin a+\cos a{)}^2=\frac{1}{9}\Rightarrow 1+\sin 2a=\frac{1}{9}\Rightarrow \sin 2a=-\frac{8}{9}$. Phân số tối giản với $m=-8\in \mathbb{Z},n=9\in \mathbb{N}$, nên $A=m^2+n^2=64+81=145$. Kết quả khớp đáp án nguồn (145).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $\cos \alpha$ (vì $\tan \alpha =-3$ nên $\cos \alpha \ne 0$): $P=\frac{6\tan \alpha -7}{6+7\tan \alpha }=\frac{6(-3)-7}{6+7(-3)}=\frac{-25}{-15}=\frac{5}{3}\approx 1,7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 1,7.