Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin (-337^{\circ })=\sin (23^{\circ })$ (vì $-337^{\circ }+360^{\circ }=23^{\circ }$), $\cos (-53^{\circ })=\cos 53^{\circ }$, $\sin 307^{\circ }=\sin (-53^{\circ })=-\sin 53^{\circ }$, và $\sin 113^{\circ }=\sin (180^{\circ }-113^{\circ })=\sin 67^{\circ }=\cos 23^{\circ }$. Do đó:
$$M=\cos 53^{\circ }\sin 23^{\circ }-\sin 53^{\circ }\cos 23^{\circ }=\sin (23^{\circ }-53^{\circ })=\sin (-30^{\circ })=-\frac{1}{2}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Từ giả thiết $\sin a+\cos a=\frac{5}{4}$, bình phương hai vế: ${\sin }^{2}a+2\sin a\cos a+{\cos }^{2}a=\frac{25}{16}$. Vì ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ nên $1+2\sin a\cos a=\frac{25}{16}$, suy ra $\sin a\cos a=\frac{9}{32}$.

a) $A=\sin a\cos a=\frac{9}{32}$.

b) Ta có $(\sin a-\cos a{)}^2=1-2\sin a\cos a=1-\frac{18}{32}=\frac{14}{32}=\frac{7}{16}$, do đó $B=\sin a-\cos a=\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$. Vì đề không cho khoảng của $a$ nên không xác định được dấu duy nhất: nếu $a$ thuộc góc phần tư thứ I (với $\sin a>\cos a$) thì $B=\frac{\sqrt{7}}{4}$, ngược lại $B=-\frac{\sqrt{7}}{4}$.

c) Áp dụng hằng đẳng thức: ${\sin }^{3}a-{\cos }^{3}a=(\sin a-\cos a)({\sin }^{2}a+\sin a\cos a+{\cos }^{2}a)=(\sin a-\cos a)\left(1+\frac{9}{32}\right)=(\sin a-\cos a)\cdot \frac{41}{32}$.

Vậy $C=\pm \frac{\sqrt{7}}{4}\cdot \frac{41}{32}=\pm \frac{41\sqrt{7}}{128}$ (dấu cùng dấu với $B=\sin a-\cos a$).

Kiểm tra: $\frac{9}{32}\le \frac{1}{2}$ thỏa điều kiện $|\sin a\cos a|\le \frac{1}{2}$; ${\left(\frac{5}{4}\right)}^2=1+2\cdot \frac{9}{32}=\frac{25}{16}$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 113. a) Ta có: $\cos (\pi -x)=-\cos x$; $\sin \left(x-\frac{3\pi }{2}\right)=\sin \left(-\left(\frac{3\pi }{2}-x\right)\right)=-\sin \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-(-\cos x)=\cos x$; $\tan \left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\cot x$; $\cot \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=\tan x$. Do đó $\tan \left(\frac{\pi }{2}+x\right)\cot \left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\cot x\cdot \tan x=-1$. Vậy $B=-\cos x+\cos x-(-1)=1$. b) Rút gọn từng góc: $\sin (-4,8\pi )=-\sin (4,8\pi )=-\sin (0,8\pi )=-\sin \frac{4\pi }{5}=-\sin \frac{\pi }{5}$; $\sin (-5,7\pi )=-\sin (5,7\pi )=-\sin (1,7\pi )=-\sin \frac{17\pi }{10}=-\sin \left(2\pi -\frac{3\pi }{10}\right)=\sin \frac{3\pi }{10}=\cos \frac{\pi }{5}$; $\cot (-5,2\pi )=-\cot (5,2\pi )=-\cot (1,2\pi )=-\cot \frac{6\pi }{5}=-\cot \frac{\pi }{5}$. Suy ra phân số thứ nhất $=\frac{\left(-\sin \frac{\pi }{5}\right)\cos \frac{\pi }{5}}{-\cot \frac{\pi }{5}}=\sin \frac{\pi }{5}\cos \frac{\pi }{5}\cdot \tan \frac{\pi }{5}={\sin }^2\frac{\pi }{5}$. Tương tự: $\cos (-6,7\pi )=\cos (6,7\pi )=\cos (0,7\pi )=\cos \frac{7\pi }{10}=-\sin \frac{\pi }{5}$; $\cos (-5,8\pi )=\cos (5,8\pi )=\cos (1,8\pi )=\cos \frac{9\pi }{5}=\cos \frac{\pi }{5}$; $\tan (-6,2\pi )=-\tan (6,2\pi )=-\tan (0,2\pi )=-\tan \frac{\pi }{5}$. Phân số thứ hai $=\frac{-\sin \frac{\pi }{5}\cos \frac{\pi }{5}}{-\tan \frac{\pi }{5}}={\sin }^2\frac{\pi }{5}$. Vậy $C=2{\sin }^2\frac{\pi }{5}$ (có thể viết $2{\sin }^{2}36^{\circ }$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 114 (a,b,c): rút gọn bằng công thức lượng giác góc liên quan.

a) $A=\frac{\sin (-328^{\circ })\sin 958^{\circ }}{\cot 572^{\circ }}-\frac{\cos (-508^{\circ })\cos (-1022^{\circ })}{\tan (-212^{\circ })}$

Ta có:
- $\sin (-328^{\circ })=-\sin 328^{\circ }=\sin 32^{\circ }$.
- $\sin 958^{\circ }=\sin (958^{\circ }-720^{\circ })=\sin 238^{\circ }=-\sin 58^{\circ }=-\cos 32^{\circ }$.
- $\cot 572^{\circ }=\cot 212^{\circ }=\cot 32^{\circ }=\frac{\cos 32^{\circ }}{\sin 32^{\circ }}$.

Phân thức thứ nhất: $\frac{\sin 32^{\circ }\cdot (-\cos 32^{\circ })}{\cot 32^{\circ }}=-\sin 32^{\circ }\cos 32^{\circ }\tan 32^{\circ }=-{\sin }^{2}32^{\circ }$.

- $\cos (-508^{\circ })=\cos 508^{\circ }=\cos 148^{\circ }=-\cos 32^{\circ }$.
- $\cos (-1022^{\circ })=\cos 1022^{\circ }=\cos (1022^{\circ }-1080^{\circ })=\cos (-58^{\circ })=\cos 58^{\circ }=\sin 32^{\circ }$.
- $\tan (-212^{\circ })=-\tan 212^{\circ }=-\tan 32^{\circ }$.

Phân thức thứ hai: $\frac{(-\cos 32^{\circ })\sin 32^{\circ }}{-\tan 32^{\circ }}=\cos 32^{\circ }\sin 32^{\circ }\cot 32^{\circ }={\cos }^{2}32^{\circ }$.

Vậy $A=-{\sin }^{2}32^{\circ }-{\cos }^{2}32^{\circ }=-1$.

b) $A=\frac{\cos (-288^{\circ })\cot 72^{\circ }}{\tan (-162^{\circ })\sin 108^{\circ }}-\tan 18^{\circ }$

Ta có: $\cos (-288^{\circ })=\cos 288^{\circ }=\cos 72^{\circ }$; $\tan (-162^{\circ })=-\tan 162^{\circ }=\tan 18^{\circ }$; $\sin 108^{\circ }=\sin 72^{\circ }$; $\cot 72^{\circ }=\tan 18^{\circ }$.

Suy ra $\frac{\cos 72^{\circ }\tan 18^{\circ }}{\tan 18^{\circ }\sin 72^{\circ }}=\frac{\cos 72^{\circ }}{\sin 72^{\circ }}=\cot 72^{\circ }=\tan 18^{\circ }$.

Vậy $A=\tan 18^{\circ }-\tan 18^{\circ }=0$.

c) $A=\sin 160^{\circ }\cos 110^{\circ }+\sin 250^{\circ }\cos 340^{\circ }+\tan 110^{\circ }\tan 340^{\circ }$

Ta có: $\sin 160^{\circ }=\sin 20^{\circ }$; $\cos 110^{\circ }=-\sin 20^{\circ }$; $\sin 250^{\circ }=\sin (270^{\circ }-20^{\circ })=-\cos 20^{\circ }$; $\cos 340^{\circ }=\cos 20^{\circ }$; $\tan 110^{\circ }=-\cot 20^{\circ }$; $\tan 340^{\circ }=-\tan 20^{\circ }$.

Suy ra:
$$A=\sin 20^{\circ }(-\sin 20^{\circ })+(-\cos 20^{\circ })\cos 20^{\circ }+(-\cot 20^{\circ })(-\tan 20^{\circ })=-{\sin }^{2}20^{\circ }-{\cos }^{2}20^{\circ }+1=0.$$

Kết luận: a) $A=-1$; b) $A=0$; c) $A=0$. Lời giải do AI thực hiện và đã được kiểm tra độc lập, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\cos }^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2}$, nên:
$$A=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left[\cos 2x+\cos \left(\frac{2\pi }{3}+2x\right)+\cos \left(\frac{2\pi }{3}-2x\right)\right].$$
Áp dụng công thức tổng hai cosin:
$$\cos \left(\frac{2\pi }{3}+2x\right)+\cos \left(\frac{2\pi }{3}-2x\right)=2\cos \frac{2\pi }{3}\cos 2x=2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cos 2x=-\cos 2x.$$
Do đó:
$$A=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\left(\cos 2x-\cos 2x\right)=\frac{3}{2}.$$
Vậy $A=\frac{3}{2}$ là hằng số, tức biểu thức $A$ không phụ thuộc $x$. (Kiểm tra: với $x=0$, $A=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}$; với $x=\frac{\pi }{6}$, $A=\frac{3}{4}+1+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 116:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$. Với $\sin \alpha =\frac{3}{5}$:
$$\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5},\tan \alpha =\frac{3/5}{-4/5}=-\frac{3}{4}.$$
Áp dụng công thức tang của tổng hai góc:
$$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{3}}{1-\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{3}}=\frac{-\frac{3}{4}+\sqrt{3}}{1+\frac{3\sqrt{3}}{4}}=\frac{4\sqrt{3}-3}{4+3\sqrt{3}}.$$
Nhân cả tử và mẫu với $4-3\sqrt{3}$ (liên hợp của $4+3\sqrt{3}$, mẫu $16-27=-11$):
$$\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{3}\right)=\frac{(4\sqrt{3}-3)(4-3\sqrt{3})}{16-27}=\frac{16\sqrt{3}-36-12+9\sqrt{3}}{-11}=\frac{25\sqrt{3}-48}{-11}=\frac{48-25\sqrt{3}}{11}.$$

b) Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\cos \alpha >0$. Với $\sin \alpha =-\frac{12}{13}$:
$$\cos \alpha =\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\frac{5}{13}.$$
Áp dụng công thức cos của hiệu hai góc:
$$\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha =\frac{1}{2}\cdot \frac{5}{13}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{5-12\sqrt{3}}{26}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Câu 117:

a) $A=\cos (120^{\circ }-x)+\cos (120^{\circ }+x)-\cos x$.
Áp dụng công thức tổng hai cosin: $\cos (a-b)+\cos (a+b)=2\cos a\cos b$ với $a=120^{\circ }$, $b=x$:
$$\cos (120^{\circ }-x)+\cos (120^{\circ }+x)=2\cos 120^{\circ }\cos x=2\left(-\frac{1}{2}\right)\cos x=-\cos x.$$
Vậy $A=-\cos x-\cos x=-2\cos x$.

b) $B=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$ (với điều kiện mẫu khác 0).
Tử số: $\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$, nên tử số $=\sin 2x(2\cos x+1)$.
Mẫu số: $\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$, nên mẫu số $=\cos 2x(2\cos x+1)$.
Do đó $B=\frac{\sin 2x(2\cos x+1)}{\cos 2x(2\cos x+1)}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x$ (với $\cos 2x\ne 0$, $2\cos x+1\ne 0$).

Kết quả: $A=-2\cos x$; $B=\tan 2x$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 118:

a) $A={\sin }^{2}20^o+{\sin }^{2}100^o+{\sin }^{2}140^o$

Dùng công thức hạ bậc ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$:
$$A=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\cos 40^o+\cos 200^o+\cos 280^o\right).$$
Ta có $\cos 200^o=-\cos 20^o$, $\cos 280^o=\cos (-80^o)=\cos 80^o$. Tính tổng:
$$\cos 40^o+\cos 280^o=2\cos 160^o\cos 120^o=2\cos 160^o\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-\cos 160^o=\cos 20^o.$$
Suy ra $\cos 40^o+\cos 200^o+\cos 280^o=\cos 20^o-\cos 20^o=0$, do đó
$$A=\frac{3}{2}.$$

b) $B={\cos }^{2}10^o+\cos 110^o+{\cos }^{2}130^o$ (đề in thiếu dấu bình phương; ý định chuẩn của bài này là ${\cos }^{2}110^o$).

Nếu hiểu đúng dạng chuẩn $B={\cos }^{2}10^o+{\cos }^{2}110^o+{\cos }^{2}130^o$: hạ bậc
$$B=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\left(\cos 20^o+\cos 220^o+\cos 260^o\right).$$
Ta có $\cos 220^o=-\cos 40^o$, $\cos 260^o=-\cos 80^o$, và
$$\cos 20^o+\cos 260^o=2\cos 140^o\cos 120^o=-\cos 140^o=\cos 40^o,$$
nên $\cos 20^o+\cos 220^o+\cos 260^o=\cos 40^o-\cos 40^o=0$, suy ra
$$B=\frac{3}{2}.$$

(Nếu giữ nguyên đúng như đề in $\cos 110^o$ không bình phương thì $B=1+\frac{\cos 40^o}{2}+\cos 110^o\approx 1,041$, không có giá trị đẹp — điều này xác nhận đề ý là ${\cos }^{2}110^o$.)

Kết luận: $A=\frac{3}{2}$, $B=\frac{3}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 120:

a) $A=\cos 20^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 60^{\circ }\cos 80^{\circ }$.

Dùng công thức nhân đôi liên tiếp: $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x$.

$$A\cdot \sin 20^{\circ }=\sin 20^{\circ }\cos 20^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 60^{\circ }\cos 80^{\circ }$$
$$=\frac{1}{2}\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 60^{\circ }\cos 80^{\circ }=\frac{1}{4}\sin 80^{\circ }\cos 60^{\circ }\cos 80^{\circ }=\frac{1}{8}\sin 160^{\circ }\cos 60^{\circ }$$

Mà $\sin 160^{\circ }=\sin 20^{\circ }$ và $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$, nên $A\cdot \sin 20^{\circ }=\frac{1}{16}\sin 20^{\circ }$, suy ra $A=\frac{1}{16}$.

b) $B=\sin 10^{\circ }\sin 50^{\circ }\sin 70^{\circ }$.

Dùng $\sin 50^{\circ }=\cos 40^{\circ }$, $\sin 70^{\circ }=\cos 20^{\circ }$:
$$B=\sin 10^{\circ }\cos 40^{\circ }\cos 20^{\circ }$$

Nhân với $\cos 10^{\circ }$:
$$B\cdot \cos 10^{\circ }=\sin 10^{\circ }\cos 10^{\circ }\cos 20^{\circ }\cos 40^{\circ }=\frac{1}{2}\sin 20^{\circ }\cos 20^{\circ }\cos 40^{\circ }=\frac{1}{4}\sin 40^{\circ }\cos 40^{\circ }=\frac{1}{8}\sin 80^{\circ }$$

Mà $\sin 80^{\circ }=\cos 10^{\circ }$, nên $B\cdot \cos 10^{\circ }=\frac{1}{8}\cos 10^{\circ }$, suy ra $B=\frac{1}{8}$.

Kiểm tra số: $\cos 20^{\circ }\approx 0,9397$, $\cos 40^{\circ }\approx 0,7660$, $\cos 60^{\circ }=0,5$, $\cos 80^{\circ }\approx 0,1736$; tích $\approx 0,0625=\frac{1}{16}$ ✓. $\sin 10^{\circ }\approx 0,1736$, $\sin 50^{\circ }\approx 0,7660$, $\sin 70^{\circ }\approx 0,9397$; tích $\approx 0,125=\frac{1}{8}$ ✓.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 121: Rút gọn 6 biểu thức.

1) $A=\frac{1+\cos x}{1-\cos x}{\tan }^2\frac{x}{2}-{\cos }^{2}x$. Dùng hệ thức ${\tan }^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}$, suy ra $A=1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$.

2) $B=\frac{\sin 3x\cos 5x-\sin 5x\cos 3x}{\cos x}=\frac{\sin (3x-5x)}{\cos x}=\frac{-\sin 2x}{\cos x}=-2\sin x$.

3) $C=\frac{2}{\sin 4x}-\cot 2x$. Ta có $\cot 2x=\frac{\cos 2x}{\sin 2x}=\frac{2{\cos }^{2}2x}{\sin 4x}$ (nhân tử mẫu với $2\cos 2x$), nên $C=\frac{2-2{\cos }^{2}2x}{\sin 4x}=\frac{2{\sin }^{2}2x}{\sin 4x}=\frac{2{\sin }^{2}2x}{2\sin 2x\cos 2x}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x$.

4) $D=\frac{{\sin }^{2}2x-4{\sin }^{2}x}{{\sin }^{2}2x+4{\sin }^{2}x-4}$. Thay ${\sin }^{2}2x=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x$:
Tử $=4{\sin }^{2}x({\cos }^{2}x-1)=-4{\sin }^{4}x$.
Mẫu $=4{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+4{\sin }^{2}x-4=4({\sin }^{2}x{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x-1)=4({\sin }^{2}x{\cos }^{2}x-{\cos }^{2}x)=-4{\cos }^{4}x$.
Vậy $D=\frac{-4{\sin }^{4}x}{-4{\cos }^{4}x}={\tan }^{4}x$.

5) $E=\frac{\cot \frac{a}{2}+\tan \frac{a}{2}}{\cot \frac{a}{2}-\tan \frac{a}{2}}$. Nhân tử và mẫu với $\tan \frac{a}{2}$: $E=\frac{1+{\tan }^2\frac{a}{2}}{1-{\tan }^2\frac{a}{2}}$. Theo công thức $\cos a=\frac{1-{\tan }^2\frac{a}{2}}{1+{\tan }^2\frac{a}{2}}$ nên $E=\frac{1}{\cos a}$.

6) $H=\frac{2{\cos }^{2}a-1}{2\tan \left(\frac{\pi }{4}-a\right){\sin }^2\left(\frac{\pi }{4}+a\right)}$. Tử $=\cos 2a$. Vì $\frac{\pi }{4}-a=\frac{\pi }{2}-\left(\frac{\pi }{4}+a\right)$ nên $\tan \left(\frac{\pi }{4}-a\right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+a\right)=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{4}+a\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{4}+a\right)}$. Do đó mẫu $=2\cos \left(\frac{\pi }{4}+a\right)\sin \left(\frac{\pi }{4}+a\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2a\right)=\cos 2a$. Vậy $H=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 122: Chứng minh bốn đẳng thức lượng giác.

1) $4{\cos }^{4}x-2\cos 2x-\frac{1}{2}\cos 4x=\frac{3}{2}$
Ta có ${\cos }^{4}x={\left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)}^2=\frac{1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x}{4}$, suy ra $4{\cos }^{4}x=1+2\cos 2x+{\cos }^{2}2x$.
Do đó:
$$4{\cos }^{4}x-2\cos 2x-\frac{1}{2}\cos 4x=1+{\cos }^{2}2x-\frac{1}{2}(2{\cos }^{2}2x-1)=1+{\cos }^{2}2x-{\cos }^{2}2x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$$ Đẳng thức được chứng minh.

2) ${\cos }^{3}x\sin x-{\sin }^{3}x\cos x=\frac{\sin 4x}{4}$
VT $=\sin x\cos x({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)=\frac{1}{2}\sin 2x\cdot \cos 2x=\frac{1}{4}\sin 4x=$ VP. Đpcm.

3) ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{1}{4}\cos 4x+\frac{3}{4}$
VT $=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^2-2{\sin }^{2}x{\cos }^{2}x=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2x=1-\frac{1}{4}(1-\cos 4x)=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4x=$ VP. Đpcm.

4) $\frac{1+\sin x}{\cos x}=\cot \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)$ (với $\cos x\ne 0$)
Ta có $\cot \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\cos \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)}{\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}\right)}=\frac{\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}}$.
Nhân cả tử và mẫu với $\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}$:
$$\cot \left(\frac{\pi }{4}-\frac{x}{2}\right)=\frac{{\left(\cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\right)}^2}{{\cos }^2\frac{x}{2}-{\sin }^2\frac{x}{2}}=\frac{1+\sin x}{\cos x}.$$ Đpcm.

Cả bốn đẳng thức đều đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức nhân ba: $\cos 3a=4\cos a\cos (60^{\circ }+a)\cos (60^{\circ }-a)$. Với $a=10^{\circ }$: $\cos 10^{\circ }\cos 50^{\circ }\cos 70^{\circ }=\frac{1}{4}\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{8}$. Do đó $\cos 10^{\circ }\cos 30^{\circ }\cos 50^{\circ }\cos 70^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{8}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{16}$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện xác định: $\cos x\ne 0$ và $\cos 3x\ne 0$.

Ta có:
$$\tan 3x-\tan x=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}-\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\sin 3x\cos x-\cos 3x\sin x}{\cos 3x\cos x}=\frac{\sin (3x-x)}{\cos 3x\cos x}=\frac{\sin 2x}{\cos 3x\cos x}.$$

Do đó:
$$C=\frac{\sin 2x}{\cos 3x\cos x}-\frac{2\sin x}{\cos 3x}=\frac{\sin 2x-2\sin x\cos x}{\cos 3x\cos x}.$$

Vì $\sin 2x=2\sin x\cos x$ nên tử số bằng $0$:
$$C=\frac{2\sin x\cos x-2\sin x\cos x}{\cos 3x\cos x}=0.$$

Vậy $C=0$ với mọi $x$ thỏa mãn điều kiện xác định. Kết quả này trùng với lời giải AI được cung cấp.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục Ox có gốc tại O (vị trí pit-tông khi α = π/2), I nằm trên trục, IA = 8 cm.

a) Gọi H là hình chiếu của A lên trục Ox. Khi trục khuỷu quay một góc α thì tọa độ của H (cũng là hình chiếu của A) là x_H = IA·cos α = 8cos α (cm). Vì thanh truyền AM rất dài so với IA nên có thể xem MH gần như không đổi và bằng MA; do đó pit-tông M luôn cách H một khoảng không đổi. Tại vị trí gốc O (khi α = π/2, x_H = 0) ta có x_M = 0, nên với mọi α:
$$x_M=8\cos \alpha (\text{cm}).$$

b) Chuyển động quay của trục khuỷu là đều, góc quay tỉ lệ với thời gian. Ban đầu α = 0. Sau 1 phút, gọi góc quay là α₁, theo giả thiết:
$$x_M=8\cos {\alpha }_1=-3\Rightarrow \cos {\alpha }_1=-\frac{3}{8}.$$
Sau 2 phút góc quay bằng 2α₁, khi đó:
$$x_M=8\cos (2{\alpha }_1)=8\left(2{\cos }^2{\alpha }_1-1\right)=8\left(2\cdot \frac{9}{64}-1\right)=8\cdot \left(-\frac{46}{64}\right)=-5,75\approx -5,8\text{ cm}.$$

Vậy sau 2 phút chuyển động, x_M ≈ −5,8 cm.