Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức hiệu hai góc: $\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$. Vậy biểu thức $\sin x\cos y-\cos x\sin y=\sin (x-y)$, tương ứng đáp án C. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1104, Câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi) a) Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ II, do đó $\cos x<0$. → Đúng.
b) Theo bảng đáp án nguồn (Mã đề 1104, Câu 4): Đúng. Lưu ý: về mặt toán học $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}\ne -\frac{7}{9}$, nên khẳng định b) về mặt toán học phải là Sai; đáp án nguồn ghi Đ, tồn tại mâu thuẫn giữa đáp án nguồn và toán học.
c) Theo bảng đáp án nguồn (Mã đề 1104, Câu 4): Sai. Lưu ý: về mặt toán học $\cos x=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ nên khẳng định c) về mặt toán học là Đúng; đáp án nguồn ghi S, tồn tại mâu thuẫn giữa đáp án nguồn và toán học.
d) Đúng. $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cdot \frac{1}{2}-\cos x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức nhân đôi: $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^2-1=\frac{8}{9}-1=-\frac{1}{9}$. Do đó $P=3-\left(-\frac{1}{9}\right)=\frac{28}{9}\approx 3,\mathrm{111...}\approx 3,11$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3,11).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: $\sin (\pi -\alpha )=\sin \pi \cos \alpha -\cos \pi \sin \alpha =0-(-1)\sin \alpha =\sin \alpha$. Vậy khẳng định đúng là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1104, câu 6: C).

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ lại các công thức biến đổi tổng thành tích: $\cos \alpha +\cos \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ (A đúng); $\sin \alpha +\sin \beta =2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ (B đúng); $\sin \alpha -\sin \beta =2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$ (D đúng). Còn $\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin \frac{\alpha +\beta }{2}\sin \frac{\alpha -\beta }{2}$, chứ không phải $-2\cos \frac{\alpha +\beta }{2}\cos \frac{\alpha -\beta }{2}$ như ở phương án C. Ví dụ kiểm tra: $\alpha =\pi ,\beta =0$ thì $\cos \pi -\cos 0=-2$, còn vế phải của C là $-2\cos \frac{\pi }{2}\cos \frac{\pi }{2}=0\ne -2$. Vậy công thức sai là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 1102, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $x$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos x<0$ (ý a đúng). Theo ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: $\cos x=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (ý b đúng). $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}\ne -\frac{7}{9}$ (ý c sai). $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{3}-\cos x\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}-\left(-\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}+\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$ (ý d đúng). Kết quả khớp với đáp án nguồn: a Đ, b Đ, c S, d Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<x<\pi$ nên $x$ thuộc góc phần tư thứ II, do đó $\cos x<0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (dấu âm vì $x$ ở góc phần tư II).
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$, không phải $-\frac{7}{9}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cdot \frac{1}{2}-\cos x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{6}+\frac{2\sqrt{6}}{6}=\frac{1+2\sqrt{6}}{6}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2\cdot \frac{4}{9}-1=-\frac{1}{9}$. Suy ra $P=3-\left(-\frac{1}{9}\right)=\frac{28}{9}\approx 3,11$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (3,11).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức hiệu hai góc: $\sin (x-y)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$. Vậy biểu thức $\sin x\cos y-\cos x\sin y$ bằng $\sin (x-y)$, tương ứng phương án B. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác góc bù: $\sin (\pi -\alpha )=\sin \pi \cos \alpha -\cos \pi \sin \alpha =0\cdot \cos \alpha -(-1)\cdot \sin \alpha =\sin \alpha$. Vậy khẳng định đúng là $\sin (\pi -\alpha )=\sin \alpha$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<x<90^{\circ }$ nên $\cos x>0$. Theo hệ thức ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: $\cos x=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$. Phân số $\frac{4}{5}$ tối giản với $a=4,b=5$, nên $a+b=9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (9).

a) Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }\Rightarrow \sin \alpha >0$. Khi đó $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

b) Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }\Rightarrow \tan \alpha ,\cot \alpha$ đều có nghĩa. Khi đó từ $\tan \alpha +\cot \alpha =3\Rightarrow (\tan \alpha +\cot \alpha {)}^2=9$. Suy ra ${\tan }^2\alpha +2\tan \alpha .\cot \alpha +{\cot }^2\alpha =9\Rightarrow {\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha =7$. (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, ta có các công thức góc bù: $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ (đúng), $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng), $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ (đúng), còn $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha \ne \cot \alpha$ (vì $\cot (180^{\circ }-\alpha )=\frac{\cos (180^{\circ }-\alpha )}{\sin (180^{\circ }-\alpha )}=\frac{-\cos \alpha }{\sin \alpha }=-\cot \alpha$). Vậy đẳng thức sai là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 8: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<x<90^{\circ }$ nên $\cos x>0$. Theo hệ thức ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$: $\cos x=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$. Phân số tối giản $\frac{a}{b}=\frac{4}{5}$ nên $a+b=4+5=9$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (9).

a) Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }\Rightarrow \sin \alpha >0$. Khi đó $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$. (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

b) Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }\Rightarrow \tan \alpha ,\cot \alpha$ đều có nghĩa. Khi đó từ $\tan \alpha +\cot \alpha =3\Rightarrow (\tan \alpha +\cot \alpha {)}^2=9$. Suy ra ${\tan }^2\alpha +2\tan \alpha .\cot \alpha +{\cot }^2\alpha =9\Rightarrow {\tan }^2\alpha +{\cot }^2\alpha =7$. (Biểu điểm: 0,25 + 0,25)

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, ta có các công thức liên hệ: $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ (đúng), $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng), $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ (đúng), còn $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha \ne \cot \alpha$. Vậy đẳng thức sai là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\sin \alpha >0$. Ta có $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}$. Suy ra $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{5/13}{12/13}=\frac{5}{12}$, tức $a=5$, $b=12$ (phân số tối giản, $b>0$). Vậy $b-a=12-5=7$, khớp với đáp án nguồn (Mã 101, Phần III câu 4: 7).

Ta có ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\iff {\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =\frac{9}{25}$ (0,5)

Vì $0^0<\alpha <90^0$ nên $\cos \alpha >0$. Vậy $\cos \alpha =\frac{3}{5}$ (0,5)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\tan 150^{\circ }=\tan (180^{\circ }-30^{\circ })=-\tan 30^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, ta có các công thức góc bù: $\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (đúng), $\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ (nên khẳng định B sai), $\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ (đúng), $\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$ (đúng). Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức cộng góc đúng là $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ (A đúng), $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ (B đúng), $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ (D đúng). Công thức ở C viết $\cos (a+b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ là sai vì vế phải chính là $\sin (a-b)$, không phải $\cos (a+b)$. Đáp án trùng với bảng đáp án mã đề 102 (câu 11: C).