Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{-2+5n}{7-7n}=\lim \frac{-\frac{2}{n}+5}{\frac{7}{n}-7}=\frac{5}{-7}=-\frac{5}{7}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: $\lim \frac{3n-2}{1-n}=\lim \frac{3-\frac{2}{n}}{\frac{1}{n}-1}=\frac{3}{-1}=-3$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đây là cấp số nhân lặp vô hạn với số hạng đầu $a=1$ và công bội $q=\frac{2}{3}$, vì $|q|<1$ nên tổng tồn tại: $$S=\frac{a}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3.$$ Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 1: 3).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn của dãy số: $\lim (u_n+v_n)=\lim u_n+\lim v_n=8+(-2)=6$. Vậy đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }(u_n+4)=9$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }(u_n+4)-4=9-4=5$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 12: C).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+2n+1}{3n^2+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{3+\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{3}$. Vậy $a=1,b=3$ (phân số tối giản), $a+b=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 15: 4).

Diện tích hình vuông ban đầu có cạnh bằng 4 là $S=4^2=16$. Diện tích hình vuông thứ nhất được tô màu khi chia hình vuông ban đầu thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau là $S_1=\frac{S}{4}$. Diện tích hình vuông thứ hai được tô màu là $S_2=\frac{1}{4}{S}_1=\frac{S}{4^2}$. Cứ tiếp tục như thế, ta được: $S_3=\frac{S}{4^3};S_4=\frac{S}{4^4};\dots ;S_n=\frac{S}{4^n};\dots$ Vậy tổng $T=S.\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\dots +\frac{1}{4^n}+\dots \right)$ (0,25 điểm)

Dãy số $(u_n)$: $\frac{1}{4};\frac{1}{4^2};\frac{1}{4^3};\dots ;\frac{1}{4^n};\dots$ lập thành cấp số nhân lùi vô hạn có số hàng đầu $\frac{1}{4}$ và công bội $q=\frac{1}{4}<1$. (0,25 điểm)

Khi đó $\frac{1}{4}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^3}+\dots +\frac{1}{4^n}+\dots =\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}$ (0,25 điểm)

Vậy tổng $T=16.\frac{1}{3}=\frac{16}{3}$ (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn của dãy số: $\lim (u_n+v_n)=\lim u_n+\lim v_n=8+(-2)=6$. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 1, mã đề 1101: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\underset{n\to +\infty }{\lim }(u_n+4)=9$ và hằng số $4$ có giới hạn bằng $4$, nên theo tính chất của giới hạn dãy số: $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }[(u_n+4)-4]=9-4=5$. Vậy đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+2n+1}{3n^2+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{3+\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{3}$. Vậy $a=1,b=3$ (phân số tối giản) nên $a+b=4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 16: 4).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$, $OM=ON=5$, cạnh huyền $MN=5\sqrt{2}$. Hình vuông $O{A}_1{B}_1{C}_1$ có $A_1\in OM$, $C_1\in ON$, $B_1\in MN$. Gọi cạnh hình vuông là $x$; trong hệ trục tọa độ với $O$ là gốc, $B_1$ có tọa độ $(x,x)$ nằm trên đường thẳng $MN$: $X+Y=5$, suy ra $2x=5\Rightarrow x=\frac{5}{2}$, diện tích $S_1=\frac{25}{4}=6,25$.
Tam giác $A_{1}M{B}_1$ vuông cân tại $A_1$ với cạnh góc vuông $A_{1}M=5-\frac{5}{2}=\frac{5}{2}$. Hình vuông $A_1{A}_2{B}_2{C}_2$ nội tiếp có cạnh bằng nửa cạnh góc vuông: $\frac{5}{4}$, diện tích $S_2=\frac{25}{16}$.
Mỗi bước tiếp theo tam giác vuông cân có cạnh góc vuông giảm một nửa, nên các diện tích hình vuông lập thành cấp số nhân công bội $q=\frac{1}{4}$. Tổng diện tích:
$$S=\frac{25}{4}\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{25}{4}\cdot \frac{4}{3}=\frac{25}{3}\approx 8,33.$$
Kết quả khớp với đáp án nguồn $8,33$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{7n^2+5n+1954}{n^2+1}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{7+\frac{5}{n}+\frac{1954}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}=\frac{7+0+0}{1+0}=7$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (A).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{7n^2+5n+1954}{n^2+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{7+\frac{5}{n}+\frac{1954}{n^2}}{1+\frac{1}{n^2}}=\frac{7+0+0}{1+0}=7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1246, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$, $OM=ON=5$. Hình vuông $O{A}_1{B}_1{C}_1$ có cạnh $a_1$, với $A_1\in OM$, $C_1\in ON$, $B_1\in MN$. Vì $B_1$ nằm trên $MN$ và $A_1{B}_1\parallel ON$, tam giác $A_{1}M{B}_1$ đồng dạng với tam giác $OMN$ nên cũng vuông cân tại $A_1$, do đó $A_{1}M=A_1{B}_1=a_1$. Suy ra $OM=O{A}_1+A_{1}M=a_1+a_1=5\Rightarrow a_1=\frac{5}{2}=2,5$. Diện tích hình vuông đầu tiên: $S_1=a_1^2=\frac{25}{4}=6,25$. Lặp lại lập luận trong tam giác $A_{1}M{B}_1$ (vuông cân với cạnh góc vuông $A_{1}M=2,5$), hình vuông tiếp theo có cạnh $a_2=\frac{a_1}{2}$, tức $a_{n+1}=\frac{a_n}{2}$, nên $S_{n+1}=\frac{S_n}{4}$. Tổng diện tích là cấp số nhân lặp vô hạn: $S=\frac{S_1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{6,25\cdot 4}{3}=\frac{25}{3}\approx 8,33$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 8,33.

a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_n$ (mg) là lượng thuốc trong cơ thể ngay sau lần uống ngày thứ $n$. Trong 10 ngày đầu, trước mỗi lần uống còn 5% thuốc cũ nên $a_{n+1}=0,05a_n+100$. Dãy này hội tụ về giới hạn $L=\frac{100}{1-0,05}=\frac{100}{0,95}\approx 105,26$ mg, nên lượng thuốc sau lần uống ngày thứ 10 xấp xỉ $105,26$ mg. Kể từ ngày thứ 11, trước mỗi lần uống chỉ còn 2% thuốc cũ, tức $a_{n+1}=0,02a_n+100$ với $n\ge 10$. Dãy mới cũng hội tụ, và giới hạn của nó là $$L=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\frac{100}{1-0,02}=\frac{100}{0,98}\approx 102,04\text{mg}.$$ Vậy nếu dùng thuốc trong thời gian dài, lượng thuốc trong cơ thể ước tính khoảng $102$ mg (khớp với đáp án nguồn 102).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa giới hạn dãy số: dãy $(u_n)$ có giới hạn là số thực $a$ khi $n$ dần tới dương vô cực nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }(u_n-a)=0$, tức hiệu $u_n-a$ dần tới 0. Do đó đáp án là D, trùng với đáp án nguồn (Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{-2+3n-2n^3}{3n-2}$. Chia tử và mẫu cho $n^3$: $\frac{-2+3n-2n^3}{3n-2}=\frac{\frac{-2}{n^3}+\frac{3}{n^2}-2}{\frac{3}{n^2}-\frac{2}{n}}$. Khi $n\to \infty$, các số hạng $\frac{-2}{n^3},\frac{3}{n^2},\frac{2}{n}$ đều tiến về $0$, nên tử số tiến về $-2$; mẫu số $\frac{3}{n^2}-\frac{2}{n}=\frac{3-2n}{n^2}<0$ với $n\ge 2$ và tiến về $0$ qua các giá trị âm. Do đó $\lim \frac{-2+3n-2n^3}{3n-2}=\frac{-2}{0^{-}}=-\infty$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn hữu hạn: $\lim (u_n-v_n)=\lim u_n-\lim v_n=-3-2=-5$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn của dãy số: nếu $\lim u_n=3$ và $\lim v_n=5$ thì $\lim (u_n{v}_n)=\lim u_n\cdot \lim v_n=3\cdot 5=15$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 2: C).