Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn dãy (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n^2$: $\lim \frac{n^3-2n}{3n^2+n-2}=\lim \frac{n-\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}}$. Tử $n-\frac{2}{n}\to +\infty$, mẫu $3+\frac{1}{n}-\frac{2}{n^2}\to 3>0$, nên giới hạn bằng $+\infty$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét giới hạn của dãy số dạng $q^n$ khi $n\to +\infty$: nếu $|q|<1$ thì $\lim q^n=0$; nếu $q>1$ thì $\lim q^n=+\infty$.
- A: ${\left(\frac{5}{3}\right)}^n$ với $\frac{5}{3}>1$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{5}{3}\right)}^n=+\infty$, không phải $0$. Khẳng định này SAI.
- B: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ với $\left|\frac{1}{3}\right|<1$ nên giới hạn bằng $0$. Đúng.
- C: ${\left(\sqrt{3}\right)}^n$ với $\sqrt{3}>1$ nên giới hạn bằng $+\infty$. Đúng.
- D: ${\left(\frac{2025}{2026}\right)}^n$ với $0<\frac{2025}{2026}<1$ nên giới hạn bằng $0$. Đúng.
Vậy khẳng định sai là A, trùng với đáp án của đề (mã đề 1104, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét dãy số công bội $u_n=q^n$: nếu $|q|<1$ thì $\lim q^n=0$; nếu $q>1$ thì $\lim q^n=+\infty$. A: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n\to 0$ đúng. B: $\frac{5}{3}>1$ nên ${\left(\frac{5}{3}\right)}^n\to +\infty$, không phải 0, khẳng định sai. C: $\sqrt{3}>1$ nên ${\left(\sqrt{3}\right)}^n\to +\infty$ đúng. D: $\frac{2025}{2026}<1$ nên ${\left(\frac{2025}{2026}\right)}^n\to 0$ đúng. Vậy khẳng định sai là B, trùng đáp án của đề (mã 1103, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét các khẳng định: (A) Vì cơ số $\frac{5}{3}>1$ nên ${\lim }_{n\to +\infty }{\left(\frac{5}{3}\right)}^n=+\infty$, không phải $0$; do đó A sai. (B) Vì $0<\frac{1}{3}<1$ nên ${\lim }_{n\to +\infty }{\left(\frac{1}{3}\right)}^n=0$, đúng. (C) Vì $\sqrt{3}>1$ nên ${\lim }_{n\to +\infty }(\sqrt{3}{)}^n=+\infty$, đúng. (D) Vì $0<\frac{2025}{2026}<1$ nên ${\lim }_{n\to +\infty }{\left(\frac{2025}{2026}\right)}^n=0$, đúng. Khẳng định sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ rằng: nếu $|q|<1$ thì $\lim q^n=0$; nếu $q>1$ thì $\lim q^n=+\infty$. A: $\frac{2025}{2026}<1$ nên $\lim =0$, đúng. B: $\sqrt{3}>1$ nên $\lim (\sqrt{3}{)}^n=+\infty$, đúng. C: $\frac{5}{3}>1$ nên $\lim (\frac{5}{3}{)}^n=+\infty$, không phải 0, khẳng định SAI. D: $\frac{1}{3}<1$ nên $\lim =0$, đúng. Vậy khẳng định sai là C, trùng đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 1101: C).

Ta có $\frac{2}{3}<1$ nên $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{2}{3}\right)}^n=0$. Chọn đáp án (A).

Theo đề ta có ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{bn+3}{2n+4}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{b+\frac{3}{n}}{2+\frac{4}{n}}=\frac{b}{2}=3\Rightarrow b=6$.

Ta có các số hạng $1$, $-\frac{1}{3}$, $\frac{1}{9}\cdots$ tạo thành cấp số nhân có $u_1=1$ và công bội $q=-\frac{1}{3}$ nên là cấp số nhân lùi vô hạn. Khi đó $S=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{3}\right)}=\frac{3}{4}\Rightarrow 4S=3$.

Ta có $\underset{n\to \infty }{\lim }(u_n+v_n)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n+\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=2+(-4)=-2$. Chọn đáp án (C).

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n+\sqrt{9n^2-2n}}{2n+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n+n\sqrt{9-\frac{2}{n}}}{2n+1}$ $=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3+\sqrt{9-\frac{2}{n}}}{2+\frac{1}{n}}=3$

b) Vì $\{\begin{array}{l}\underset{x\to 3}{\lim }(x-5)=-2\\ \underset{x\to 3^{-}}{\lim }(x-3)=0\\ x\to 3^{-}\Rightarrow x-3<0\end{array}$

nên $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{x-5}{x-3}=+\infty$

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng giới hạn: A) $\underset{n\to +\infty }{\lim }{2}^n=+\infty$ vì $2>1$. B) $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\left(\frac{4}{5}\right)}^n=0$ vì $\left|\frac{4}{5}\right|<1$ (dãy số nhân với công bội $q\in (-1;1)$). C) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{1+1/n}=1$. D) $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^4=+\infty$. Vậy chỉ giới hạn ở phương án B bằng 0, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề: A đúng vì $\left|\frac{2}{7}\right|<1$ nên $\lim {\left(\frac{2}{7}\right)}^n=0$. B đúng vì $\lim \frac{1}{n}=0$. C đúng vì hằng số có giới hạn bằng chính nó: $\lim \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$. D sai vì $4>1$ nên $\lim 4^n=+\infty$, không bằng 0. Vậy mệnh đề sai là D, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình vuông đầu có cạnh 8 nên diện tích $S_1=64$. Hình vuông tạo bởi các trung điểm có cạnh bằng $8\sqrt{2}/2=4\sqrt{2}$, diện tích $S_2=32$, tức mỗi hình vuông sau có diện tích bằng một nửa hình trước: công bội $q=\frac{1}{2}$. Tổng diện tích của vô hạn hình vuông là cấp số nhân lùi vô hạn: $S=\frac{64}{1-\frac{1}{2}}=128$ (đơn vị diện tích). Kết quả khớp với đáp án nguồn 128.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n$: nếu $q>1$ thì $q^n\to +\infty$; nếu $0<q<1$ thì $q^n\to 0$. - A: $\frac{2026}{2025}>1$ nên ${\left(\frac{2026}{2025}\right)}^n\to +\infty$, không phải $0$, do đó A sai. - B: $\frac{5}{3}>1$ nên ${\left(\frac{5}{3}\right)}^n\to +\infty$, đúng. - C: $\sqrt{3}>1$ nên ${\left(\sqrt{3}\right)}^n\to +\infty$, đúng. - D: $0<\frac{1}{3}<1$ nên ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n\to 0$, đúng. Vậy mệnh đề sai là A, khớp đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 12: A).

(AI giải đề cho tôi)
Chia cả tử và mẫu cho $n$: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n+1}{3-n}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3+\frac{1}{n}}{\frac{3}{n}-1}=\frac{3+0}{0-1}=-3$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 1102, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét $
\lim_{n\to+\infty}q^n$:n\acute{\hat{e}}u$q>1$th\grave{ı}$
\lim q^n=+\infty$;n\acute{\hat{e}}u$|q|<1$th\grave{ı}$
\lim q^n=0$.
- A: $
\dfrac{2026}{2025}>1$n\hat{e}n$
\lim\left(
\dfrac{2026}{2025}
\right)^n=+\infty$, mệnh đề đúng.
- B: $
\sqrt{3}>1$n\hat{e}n$
\lim\left(
\sqrt{3}
\right)^n=+\infty$, mệnh đề đúng.
- C: $
\left|
\dfrac{1}{3}
\right|<1$n\hat{e}n$
\lim\left(
\dfrac{1}{3}
\right)^n=0$, mệnh đề đúng.
- D: $
\dfrac{5}{3}>1$n\hat{e}n$
\lim\left(
\dfrac{5}{3}
\right)^n=+\infty$,kh\hat{o}ngphải$0$; mệnh đề D sai.
Khớp với đáp án nguồn: D (Mã đề 1101, Câu 1).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $n$: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{2n+1}{2-n}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{2+\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}-1}=\frac{2+0}{0-1}=-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 3: C).

Đáp án: 7. Giải thích: Ta có: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{n^2+6n-2025}{7n^2+4}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{n^2\left(1+\frac{6}{n}-\frac{2025}{n^2}\right)}{n^2\left(7+\frac{4}{n^2}\right)}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{\left(1+\frac{6}{n}-\frac{2025}{n^2}\right)}{\left(7+\frac{4}{n^2}\right)}=\frac{1}{7}$. Vậy a=7

Diện tích ban đầu (Bước 0): Diện tích tam giác đều cạnh a = 100 m là:
$$S_0=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{100^2\sqrt{3}}{4}=2500\sqrt{3}$$
Diện tích thêm vào ở mỗi bước:
Bước 1: Ta thêm 3 tam giác nhỏ, mỗi tam giác có cạnh bằng a/3. Diện tích mỗi tam giác nhỏ này là
$$S_1=\frac{{\left(\frac{a}{3}\right)}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{1}{9}{S}_0$$
Tổng diện tích thêm vào là $3\times \frac{1}{9}{S}_0$
Bước 2: Ở bước này, ta thêm $3.4=12$ tam giác nhỏ hơn nữa. Mỗi tam giác có cạnh bằng a/9, diện tích bằng $S_2=\frac{1}{9}{S}_1=\frac{1}{81}{S}_0$
Tổng diện tích thêm vào là: $12.\frac{1}{81}{S}_0=\frac{4}{27}{S}_0$
Tổng quát (Bước n): Diện tích được thêm vào ở bước n là một cấp số nhân với số hạng đầu $u_1=\frac{1}{3}{S}_0$, $q=\frac{4}{9}$
Tổng diện tích S của hòn đảo là tổng của diện tích ban đầu và tổng của chuỗi diện tích được thêm vào:
$$S=S_0+\left(\frac{1}{3}{S}_0+\frac{4}{27}{S}_0+\frac{16}{243}{S}_0+\dots \right)=S_0+\frac{\frac{1}{3}{S}_0}{1-\frac{4}{9}}=\frac{8}{5}{S}_0=4000\sqrt{3}$$ (0,25 điểm)

Tính tổng chi phí: Chi phí lấp đất và trồng cỏ là 5 triệu đồng /m² nên tổng chi phí trồng cỏ và lấp đất là 5. S = $5.4000\sqrt{3}=20000\sqrt{3}$ (0,25 điểm)

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

Chú ý: Nếu học sinh trình bày cách giải khác, đảm bảo đúng và chặt chẽ thì chấm điểm tối đa của phần hoặc câu đó.

Đáp án: 7. Giải thích: Ta có: ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{n^2+6n-2025}{7n^2+4}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{n^2\left(1+\frac{6}{n}-\frac{2025}{n^2}\right)}{n^2\left(7+\frac{4}{n^2}\right)}={\lim }_{n\to +\infty }\frac{\left(1+\frac{6}{n}-\frac{2025}{n^2}\right)}{\left(7+\frac{4}{n^2}\right)}=\frac{1}{7}$. Vậy a=7