Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $(x+3{)}^2-9=x^2+6x+9-9=x^2+6x=x(x+6)$. Với $x\to 0$ và $x\ne 0$: ${\lim }_{x\to 0}\frac{x(x+6)}{x}={\lim }_{x\to 0}(x+6)=6$. Vậy giới hạn bằng $6$.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, ta có $\sqrt{x^4-x}\sim \sqrt{x^4}=x^2$ (vì $x^4$ trội) và mẫu $1-2x\to +\infty$ với $1-2x\sim -2x$. Do đó $$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^4-x}}{1-2x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2}{-2x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\frac{x}{2}\right)=+\infty .$$ Vậy mệnh đề đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 1^{+}$ thì tử số $4x-3\to 4\cdot 1-3=1>0$, còn mẫu số $x-1\to 0^{+}$ (dương vì $x>1$). Do đó $\frac{4x-3}{x-1}$ là phân số có tử dương và mẫu dương tiến đến 0, nên $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{4x-3}{x-1}=+\infty$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\sqrt{4x+1}-1=\frac{4x}{\sqrt{4x+1}+1}$. Do đó $K=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4x}{x(x-3)\left(\sqrt{4x+1}+1\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{4}{(x-3)\left(\sqrt{4x+1}+1\right)}=\frac{4}{(-3)(1+1)}=-\frac{2}{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -2$, tử số $x+1\to -1$ (khác 0) và mẫu số $(x+2{)}^2\to 0^{+}$ (luôn dương vì là bình phương). Do đó $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x+1}{(x+2{)}^2}=\frac{-1}{0^{+}}=-\infty$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $I=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{(x+1{)}^2-(x^2-x+2)}{x+1+\sqrt{x^2-x+2}}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x-1}{x+1+\sqrt{x^2-x+2}}$. Chia tử và mẫu cho $x$: $I=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3-\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{2}{x^2}}}=\frac{3}{1+1}=\frac{3}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^2-5x+4=(x-1)(x-4)$:
a) ${\lim }_{x\to 1}(f(x)-3)=f(1)-3=0-3=-3\ne 3$ → sai.
b) $\frac{f(x)}{\sqrt{x}-2}=\frac{(x-1)(x-4)(\sqrt{x}+2)}{x-4}=(x-1)(\sqrt{x}+2)\to 3\cdot 4=12$ → đúng.
c) ${\lim }_{x\to -\infty }(x^2-5x+4)=+\infty \ne -\infty$ → sai.
d) $\frac{f(x)}{\sqrt{x+5}-3}=\frac{(x-1)(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}{x+5-9}=(x-1)(\sqrt{x+5}+3)\to 3\cdot 6=18$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1}(f(x)-3)=f(1)-3=0-3=-3\ne 3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\frac{(x-1)(x-4)}{\sqrt{x}-2}=(x-1)(\sqrt{x}+2)\to 3\cdot 4=12$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì bậc cao nhất là $x^2$ dương nên ${\lim }_{x\to -\infty }f(x)=+\infty$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: $\frac{(x-1)(x-4)(\sqrt{x+5}+3)}{x-4}=(x-1)(\sqrt{x+5}+3)\to 3\cdot 6=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Với x→1⁺: f(x)=(x³−1)/(x²−1)=(x²+x+1)/(x+1)→(1+1+1)/(1+1)=3/2. Với x→1⁻: f(x)=1/(x−2)→1/(1−2)=−1. Vì hai giới hạn một bên khác nhau (3/2 ≠ −1) nên lim_{x→1} f(x) không tồn tại. Do đó: a) đúng (3/2); b) sai (giá trị là −1, không phải 2); c) sai (3/2 ≠ −1); d) đúng (giới hạn tại x=1 không tồn tại).
a) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→1⁺}(x³−1)/(x²−1)=lim (x²+x+1)/(x+1)=3/2.
b) (AI giải đề cho tôi)
lim_{x→1⁻} 1/(x−2)=1/(1−2)=−1, không phải 2.
c) (AI giải đề cho tôi)
3/2 ≠ −1 nên hai giới hạn một bên không bằng nhau.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì giới hạn trái (−1) khác giới hạn phải (3/2), lim_{x→1} f(x) không tồn tại.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $C(t)=\frac{30t}{40+t}$. Chia tử và mẫu cho $t$: $C(t)=\frac{30}{\frac{40}{t}+1}$. Khi $t\to +\infty$ thì $\frac{40}{t}\to 0$, do đó $\underset{t\to +\infty }{\lim }C(t)=\frac{30}{0+1}=30$. Vậy nồng độ muối trong hồ dần về $30g/l$, đúng bằng nồng độ muối của nước biển bơm vào.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ và $x^2-4=(x-2)(x+2)$. Với $x\to 2$, $x\ne 2$ nên ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x^2-4}={\lim }_{x\to 2}\frac{x-1}{x+2}=\frac{1}{4}$. Vậy $a=1,b=4$ (phân số tối giản) và $S=a^2+b^2=1+16=17$.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: ${\lim }_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}={\lim }_{x\to 3}\frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}={\lim }_{x\to 3}\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}=\frac{1}{4}$. Vậy $\frac{a}{b^2}=\frac{1}{4}$ với $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$ tối giản, tức $a=1,b=2$. Do đó $S=\sqrt{a}+b=1+2=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 34. Tính các giới hạn:

a) ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}$

Phân tích tử số: $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$. Với $x\ne 2$:
$$\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1.$$
Do đó ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2-3x+2}{x-2}={\lim }_{x\to 2}(x-1)=1.$

b) ${\lim }_{x\to 1}\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}$

Tại $x=1$: tử số bằng $1-\sqrt{4}=-1\ne 0$, mẫu số bằng $-1+3-2=0$, nên ta xét dấu của mẫu số quanh $x=1$. Ta có $-x^2+3x-2=-(x-1)(x-2)$.

Nhân liên hợp tử số:
$$\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-(x-1)(x-2)}=\frac{1-(x^2+3)}{(1+\sqrt{x^2+3})\left(-(x-1)(x-2)\right)}=\frac{x^2+2}{(1+\sqrt{x^2+3})(x-1)(x-2)}.$$

Khi $x\to 1^{+}$: $(x-1)>0$, $(x-2)\approx -1<0$ nên mẫu số đi tới $0^{-}$; tử số đi tới $\frac{1+2}{1+2}=\frac{3}{2}>0$. Vậy giới hạn bên phải là $-\infty$.

Khi $x\to 1^{-}$: $(x-1)<0$, $(x-2)<0$ nên $(x-1)(x-2)>0$, mẫu số đi tới $0^{+}$; tử số vẫn dương. Vậy giới hạn bên trái là $+\infty$.

(Kiểm tra lại bằng biểu thức gốc: tử số âm $(-1)$, mẫu $0^{-}$ khi bên trái cho $+\infty$; mẫu $0^{+}$ khi bên phải cho $-\infty$ — cùng kết luận.)

Vì hai giới hạn một bên khác nhau ($+\infty$ và $-\infty$), giới hạn ${\lim }_{x\to 1}\frac{1-\sqrt{x^2+3}}{-x^2+3x-2}$ không tồn tại (không hữu hạn, và không bằng $\pm \infty$ theo nghĩa hai bên).

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 1$: ${\lim }_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}={\lim }_{x\to 1}\frac{(x+3)-4}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}={\lim }_{x\to 1}\frac{1}{\sqrt{x+3}+2}=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}$. Vậy ${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{1}{4}$ (bằng $f(1)=\frac{1}{4}$, nên hàm số còn liên tục tại $x=1$).

(AI giải đề cho tôi)
Xét giới hạn tại $x=1$ của hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2-3x+2}{x^2-1}& khix>1\\ -\frac{x}{2}& khix\le 1\end{array}$.

Giới hạn bên phải: với $x>1$, ta có $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ và $x^2-1=(x-1)(x+1)$, nên
$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x+1}=\frac{1-2}{1+1}=-\frac{1}{2}.$$

Giới hạn bên trái: với $x\le 1$, $f(x)=-\frac{x}{2}$, nên
$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=-\frac{1}{2}.$$

Vì giới hạn trái và giới hạn phải đều bằng $-\frac{1}{2}$, suy ra ${\lim }_{x\to 1}f(x)=-\frac{1}{2}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2-1+2m& x<2\\ \sqrt{x+7}& x\ge 2\end{array}$.
a) Khi $m=-1$: giới hạn trái ${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=4-1+2(-1)=1$, giới hạn phải ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=\sqrt{9}=3$. Vì giới hạn trái $\ne$ giới hạn phải nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)$ không tồn tại $\to$ khẳng định Sai.
b) Với $x\to 3>2$ thì ${\lim }_{x\to 3}f(x)=\sqrt{3+7}=\sqrt{10}\approx 3,16\ne 5$ $\to$ Sai.
c) Khi $m=-3$: giới hạn trái $=4-1-6=-3$, giới hạn phải $=3$, hai giới hạn một bên khác nhau nên ${\lim }_{x\to 2}f(x)$ không tồn tại $\to$ Sai.
d) ${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=\sqrt{2+7}=\sqrt{9}=3$ $\to$ Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giới hạn trái bằng 1 nhưng giới hạn phải bằng 3, nên $\lim$ không tồn tại.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 3}f(x)=\sqrt{10}\ne 5$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $m=-3$, giới hạn trái $-3\ne$ giới hạn phải $3$, $\lim$ không tồn tại.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=\sqrt{9}=3$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Khi $x\to 3^{-}$ thì $3-x\to 0^{+}$ nên ${\lim }_{x\to 3^{-}}\frac{2025}{3-x}=+\infty$. Đúng.
b) $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$, mẫu triệt tiêu tại $x=1\in (-\infty ;3)$ nên hàm không liên tục trên khoảng này. Sai.
c) Tổng 1 đến 9 là $45$; do cộng lặp một số $a$ nên $45+a=k^2$ với $1\le a\le 9$, suy ra $k^2=49\Rightarrow a=4$. Khi đó ${\lim }_{n\to +\infty }\frac{4n^2+11n+2025}{2n^2+n-2009}=\frac{4}{2}=2\ne 4$. Sai.
d) Với $a=1$, $u_n=n^2+n-1\to +\infty \ne 1$. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to 3^{-}$ thì $3-x\to 0^{+}$ và tử số dương, nên ${\lim }_{x\to 3^{-}}\frac{2025}{3-x}=+\infty$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ triệt tiêu tại $x=1\in (-\infty ;3)$ nên hàm số không liên tục trên khoảng $(-\infty ;3)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các số từ 1 đến 9 là $45$. Vì cộng lặp một số $a$ mà kết quả là số chính phương nên $45+a=k^2$, với $1\le a\le 9$ suy ra $k^2=49\Rightarrow a=4$. Do đó giới hạn bằng $\frac{4}{2}=2\ne 4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=1$ thì $u_n=n^2+n-1\to +\infty$ khi $n\to +\infty$, không bằng 1.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x\ne 2$: $f(x)=\frac{x^2-3x+2}{x-2}=\frac{(x-1)(x-2)}{x-2}=x-1$. Khi $x\to -\infty$ thì $x\ne 2$, nên $f(x)=x-1$. Do đó $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)+11}{5x+10}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+10}{5x+10}=\frac{1}{5}=0,2$.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: $x^2-13x+40=(x-5)(x-8)$ và $35-7x=-7(x-5)$. Với $x\to 5$, $x\ne 5$ nên $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{(x-5)(x-8)}{-7(x-5)}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x-8}{-7}=\frac{-3}{-7}=\frac{3}{7}$. Phân số tối giản là $\frac{3}{7}$, vậy $a=3$, $b=7$, $a+b=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1a: Chia tử và mẫu cho $n^2$: $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n^2+5n-17}{5n^2-n+19}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{5}{n}-\frac{17}{n^2}}{5-\frac{1}{n}+\frac{19}{n^2}}=\frac{2}{5}.$$ Vì $\frac{5}{n},\frac{17}{n^2},\frac{1}{n},\frac{19}{n^2}\to 0$ khi $n\to +\infty$.

Câu 1b: Thay $x=2$: tử $\sqrt{3\cdot 2-2}-2=2-2=0$, mẫu $-3\cdot 4+4+8=0$, nên đây là dạng $\frac{0}{0}$.

Nhân liên hợp tử số: $$\sqrt{3x-2}-2=\frac{(\sqrt{3x-2}-2)(\sqrt{3x-2}+2)}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{3x-6}{\sqrt{3x-2}+2}=\frac{3(x-2)}{\sqrt{3x-2}+2}.$$ Phân tích mẫu: $-3x^2+2x+8=-(3x^2-2x-8)=-(3x+4)(x-2)$.

Do đó: $$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt{3x-2}-2}{-3x^2+2x+8}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3(x-2)}{-(\sqrt{3x-2}+2)(3x+4)(x-2)}=\frac{3}{-(2+2)(6+4)}=\frac{3}{-4\cdot 10}=-\frac{3}{40}.$$ (Với $x\to 2$: $\sqrt{3x-2}+2\to 4$ và $3x+4\to 10$.)

Vậy a) $\frac{2}{5}$; b) $-\frac{3}{40}$.