Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc đường–mặt (Toán học Lớp 11)

**Chọn C**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Phú Yên - Mã đề 132, trang 8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn A**

.
Do SA  ( ABCD) nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD) bằng SCA

a 6
 SA 3   30 .
tan SCA  3   SCA
AC a 2 3

Vì $SA\perp (ABC)$ tại $A$ nên $AB$ là hình chiếu của $SB$ trên mặt phẳng $(ABC)$. Khi đó góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc $\widehat{SBA}$.
Xét $△SAB$ vuông tại $A$, ta có $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}}=1\Rightarrow \widehat{SBA}=45^{\circ }$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0101, trang 9), Câu 4 chọn đáp án B.

Do $SA\perp (ABC)$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ là điểm $A$.
Do đó hình chiếu của $SB$ lên $(ABC)$ là $AB$, suy ra góc giữa $SB$ và $(ABC)$ là $\widehat{SBA}$.
Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $SA=AB=a\sqrt{2}$ nên tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$.
Vậy $\widehat{SBA}=45^{\circ }$.

Vì $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ đứng nên $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$. Do đó góc giữa đường thẳng $A^{\prime }C$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc $\widehat{A^{\prime }CA}$.
Tam giác $A^{\prime }AC$ vuông cân tại $A$ ($A{A}^{\prime }=AC=1$) nên $\widehat{A^{\prime }CA}=45^{\circ }$.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$. Do đó hình chiếu của $SD$ lên $(ABCD)$ là $AD$. Vậy góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc $\widehat{SDA}$.

Vì $SA\perp (ABC)$ tại $A$ nên $AB$ là hình chiếu vuông góc của $SB$ lên mặt phẳng $(ABC)$.
Do đó, góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABC)$ là góc $\widehat{SBA}$.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$ có $SA=AB$, suy ra tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$.
Vậy $\widehat{SBA}=45^{\circ }$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 0110, trang 5), Câu 9 (Phần I) chọn đáp án C.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABCD)$. Do đó hình chiếu của $SC$ lên $(ABCD)$ là $AC$. Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA}$.

Vì $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$ nên $SA\perp (ABC)$, suy ra $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên mặt phẳng $(ABC)$.
Do đó góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$. Tam giác $SAC$ vuông cân tại $A$ ($SA=AC$) nên $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Chọn D.

Vì $SA\perp (ABC)$ nên $AC$ là hình chiếu vuông góc của $SC$ lên $(ABC)$, suy ra $(SC,(ABC))=\widehat{SCA}$. Tam giác $SAC$ vuông tại $A$ có $SA=AC=AB=\sqrt{3}$ nên vuông cân tại $A$, suy ra $\widehat{SCA}=45^{\circ }$. Chọn C.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 7), Câu 9 (Phần I) chọn đáp án B.

Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa $SB$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SBA}$ với $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\sqrt{3}⟹\widehat{SBA}=60^{\circ }$.

Hình chiếu của $C{A}^{\prime }$ lên $(ABCD)$ là $CA$. Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=a\sqrt{2}=A{A}^{\prime }$, nên tam giác $A^{\prime }AC$ vuông cân tại $A$, suy ra $\widehat{A^{\prime }CA}=45^{\circ }$.

Vì $SA\perp (ABC)$ nên góc giữa $SC$ và $(ABC)$ là $\widehat{SCA}$. Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{3a^2+a^2}=2a=SA$, suy ra $△SAC$ vuông cân tại $A\Rightarrow \widehat{SCA}=45^{\circ }$. Chọn A.

Do $SA\perp (ABCD)$ nên $A$ là hình chiếu vuông góc của $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$.
Suy ra $AD$ là hình chiếu vuông góc của $SD$ trên mặt phẳng $(ABCD)$.
Vậy góc giữa $SD$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $SD$ và $AD$, tức là $\widehat{SDA}$.
Chọn đáp án B.

Chọn A
Vì $A^{\prime }A\perp (ABCD)$ tại $A$ nên hình chiếu của $A^{\prime }B$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $AB$.
Do đó góc giữa $A^{\prime }B$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{A^{\prime }BA}$.
Xét tam giác $A^{\prime }AB$ vuông tại $A$: $\tan \widehat{A^{\prime }BA}=\frac{A^{\prime }A}{AB}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}\Rightarrow \widehat{A^{\prime }BA}=60^{\circ }$.

Đáp án chính thức theo bảng đáp án (Mã đề 132, trang 7): Chọn A.

Hình chiếu của $SM$ trên $(ABC)$ là $AM$. Tam giác đều $ABC$ cạnh $a$ có $AM=\frac{a\sqrt{3}}{2}=SA$, nên tam giác vuông $SAM$ vuông cân tại $A$, suy ra $\widehat{SMA}=45^{\circ }$.

Chọn B
Ta có ( A ' C , ( ABC ) ) = 
A ' CA , AC = AB 2 + BC 2 = 3a 2 .

AA ' 1
tan 
A ' CA = = $\Rightarrow$ 
A ' CA = 30 .
AC 3
3 3 3

Do $SA\perp (ABC)\Rightarrow (SC,(ABC))=(SC,AC)=\widehat{SCA}$.
Ta có $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{3}\Rightarrow \tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{SCA}=30^{\circ }$.
Chọn B.

Tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có $BC=a\sqrt{2}\Rightarrow AB=AC=a$. Vì $AB\perp AC$ và $AB\perp SA$ nên $AB\perp (SAC)$, suy ra hình chiếu của $SB$ lên $(SAC)$ là $SA$, góc cần tìm là $\widehat{ASB}$. Trong tam giác vuông $SAB$: $\tan \widehat{ASB}=\frac{AB}{SA}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow \widehat{ASB}=30^{\circ }$.