Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $M$ trung điểm $AD$, $N$ trung điểm $BC$, ta có $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC})$. Khi đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(A{B}^2+\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC})=\frac{1}{2}(4+4\cos \theta )=2(1+\cos \theta )$ với $\theta$ là góc giữa $AB$ và $DC$. Mặt khác $M{N}^2=\frac{1}{4}(A{B}^2+C{D}^2+2\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{DC})=\frac{1}{4}(8+8\cos \theta )=2(1+\cos \theta )$. Suy ra $\cos (\widehat{AB,MN})=\frac{2(1+\cos \theta )}{2\sqrt{2(1+\cos \theta )}}=\sqrt{\frac{1+\cos \theta }{2}}=\cos \frac{\theta }{2}$. Vì góc giữa $AB$ và $MN$ bằng $30^{\circ }$ nên $\cos \frac{\theta }{2}=\cos 30^{\circ }\Rightarrow \theta =60^{\circ }$. Do đó $MN=\sqrt{2(1+\cos 60^{\circ })}=\sqrt{3}\approx 1,73$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(0;a;0)$, $C^{\prime }(0;a;a\sqrt{2})$. Ta có $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}=(-a;a;a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{AC}=(0;a;0)$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{B{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AC}=a^2$. Độ dài: $|B{C}^{\prime }|=\sqrt{a^2+a^2+2a^2}=2a$, $|AC|=a$. Vậy $\cos \phi =\frac{a^2}{2a\cdot a}=\frac{1}{2}\Rightarrow \phi =60^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo quy ước, góc giữa hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau bằng $0^{\circ }$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông cân tại $B^{\prime }$ (hai cạnh $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$ là cạnh hình lập phương), nên góc $\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau là hai đường thẳng cắt nhau tạo thành góc vuông, hoặc chéo nhau nhưng góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. Do đó hai đường thẳng vuông góc có thể cắt nhau hoặc chéo nhau, không thể song song. Vậy mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\parallel CD$, do đó góc giữa $SB$ và $CD$ bằng góc giữa $SB$ và $AB$, tức là góc $SBA$ của tam giác $SAB$. Tam giác $SAB$ vuông tại $A$ (vì $SA\perp$ mặt phẳng đáy) với $SA=AB=a$, nên tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$, suy ra $\widehat{SBA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (vì $A^{\prime }AC{C}^{\prime }$ là hình bình hành). Do đó góc giữa $BD$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $BD$ và $AC$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên hai đường chéo $BD\perp AC$, suy ra góc giữa $BD$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ nằm trong mặt trên của hình lập phương, có $A^{\prime }{B}^{\prime }\perp B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }$, nên là tam giác vuông cân tại $B^{\prime }$. Do đó góc $\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đường thẳng $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$, mà $B^{\prime }{D}^{\prime }$ nằm trong mặt đáy $(ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD\parallel BA$ nên góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $BA$, tức là góc $A^{\prime }BA$. Trong tam giác $A^{\prime }BA$ vuông tại $A$ có $A^{\prime }A=AB$, nên tam giác vuông cân, góc $A^{\prime }BA=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ trục tại $O$: $C=(a,0,0)$, $B=(0,a,0)$ (vì $\widehat{BOC}=90^{\circ }$), và $A=\left(\frac{a}{2},\frac{a}{2},\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ (kiểm tra $|OA|=a$, $OA\cdot OC=\frac{a^2}{2}$, $OA\cdot OB=\frac{a^2}{2}$ nên hai góc bằng $60^{\circ }$). Vì $MC=2MB$ nên $M=\frac{2C+B}{3}=\left(\frac{2a}{3},\frac{a}{3},0\right)$. Suy ra $\overrightarrow{AM}=\left(\frac{a}{6},-\frac{a}{6},-\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$, $|AM{|}^2=a^2\left(\frac{1}{36}+\frac{1}{36}+\frac{1}{2}\right)=\frac{5a^2}{9}$, tức $|AM|=\frac{a\sqrt{5}}{3}$. Khi đó $\cos (AM,OC)=\frac{\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{OC}}{|AM|\cdot |OC|}=\frac{a^2/6}{\frac{a\sqrt{5}}{3}\cdot a}=\frac{1}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{10}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ (do $A{A}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }=C{C}^{\prime }$), góc giữa $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BD$ bằng góc giữa $AC$ và $BD$. Trong hình vuông $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau nên góc giữa $AC$ và $BD$ bằng $90^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và $BD$ bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, hai đường thẳng vuông góc với nhau là hai đường thẳng tạo góc $90^{\circ }$; chúng có thể cắt nhau (giao nhau) hoặc chéo nhau, không thể song song. Do đó A và B chỉ đúng một phần trường hợp, C sai. Mệnh đề đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng vuông góc khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng $90^0$. Do đó khẳng định đúng là $m\perp n\iff (m,n)=90^0$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện đều $ABCD$, gọi $I$ là trung điểm của $AB$, $K$ là trung điểm của $CD$. Vì tam giác đều nên $CI\perp AB$ và $DI\perp AB$, do đó $AB\perp (CDI)$, suy ra $AB\perp CD$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$ bằng $90^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $AB\parallel CD$ (vì $ABCD$ là hình vuông). Do đó góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $C{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $CD$ và $C{C}^{\prime }$. Vì $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $C{C}^{\prime }\perp CD$, suy ra góc giữa $AB$ và $C{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi P là trung điểm AB. Trong tam giác ABC: M trung điểm AC, P trung điểm AB nên PM ∥ BC và PM = BC/2 = 3. Trong tam giác ABD: N trung điểm BD, P trung điểm AB nên PN ∥ AD và PN = AD/2 = 7. Xét tam giác PMN có PM = 3, PN = 7, MN = 8: cos∠PMN = (PM² + MN² − PN²)/(2·PM·MN) = (9 + 64 − 49)/(2·3·8) = 24/48 = 1/2, suy ra ∠PMN = 60°. Vì PM ∥ BC nên góc giữa BC và MN bằng góc giữa PM và MN = 60°. Kết quả khớp với đáp án nguồn (60).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi P là trung điểm AB. Khi đó MP là đường trung bình của tam giác ABC nên MP ∥ BC và MP = BC/2 = 3; NP là đường trung bình của tam giác ABD nên NP ∥ AD và NP = AD/2 = 7. Xét tam giác MNP có MP = 3, NP = 7, MN = 8. Góc giữa hai đường thẳng BC và MN bằng góc giữa MP và MN (do MP ∥ BC). Theo định lý cosin: cos∠PMN = (MP² + MN² − NP²)/(2·MP·MN) = (9 + 64 − 49)/(2·3·8) = 24/48 = 1/2. Vậy góc giữa BC và MN bằng 60°. Kết quả trùng với đáp án 60 của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $CD\parallel AB$, do đó góc giữa $SB$ và $CD$ bằng góc giữa $SB$ và $AB$, tức là góc $\widehat{SBA}$. Ta có $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AB$, tam giác $SAB$ vuông tại $A$. Trong tam giác vuông $SAD$ (vuông tại $A$): $SA=\sqrt{S{D}^2-A{D}^2}=\sqrt{2a^2-a^2}=a$. Với $AB=a$, ta có $\tan \widehat{SBA}=\frac{SA}{AB}=\frac{a}{a}=1$, suy ra $\widehat{SBA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa, trong không gian hai đường thẳng $a$ và $b$ được gọi là vuông góc nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^0$ (khi chúng cắt nhau hoặc chéo nhau). Vậy đáp án là C.