Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc lượng giác, radian (Toán học Lớp 11)

Chọn chiều quay của bánh xe là chiều dương. Xét van $V$ của bánh xe.

+) Sau 1 giây, van $V$ của bánh xe quay được $\frac{30}{8}=3,75$ (vòng).

Sau 2 phút, van $V$ của bánh xe quay được $3,75\cdot 120=450$ (vòng).

Suy ra sau 2 phút, van $V$ của bánh xe quay được một góc có số đo là $450\cdot 2\pi =900\pi$.

+) Mỗi góc ở tâm với số đo 1 rad chắn một cung có độ dài bằng bán kính bánh xe $r=0,35m$.

Do đó độ dài quãng đường mà vận động viên đua xe đạp đã đi được trong 2 phút là $900\pi \cdot 0,35\approx 989,6(m)$.

Chọn chiều quay của bánh xe là chiều dương. Xét van $V$ của bánh xe.

+) Sau 1 giây, van $V$ của bánh xe quay được $\frac{30}{8}=3,75$ (vòng).

Sau 2 phút, van $V$ của bánh xe quay được $3,75\cdot 120=450$ (vòng).

Suy ra sau 2 phút, van $V$ của bánh xe quay được một góc có số đo là $450\cdot 2\pi =900\pi$.

+) Mỗi góc ở tâm với số đo 1 rad chắn một cung có độ dài bằng bán kính bánh xe $r=0,35m$.

Do đó độ dài quãng đường mà vận động viên đua xe đạp đã đi được trong 2 phút là $900\pi \cdot 0,35\approx 989,6(m)$.

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài cung: $\ell =R\alpha =20\cdot \frac{\pi }{16}=\frac{5\pi }{4}\approx 3,93$ cm. Vậy chọn A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2511, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài cung: $l=R\cdot \alpha$ với $\alpha =269^{\circ }=\frac{269\pi }{180}$ (rad), $R=20$ cm. Suy ra $l=20\cdot \frac{269\pi }{180}=\frac{269\pi }{9}$ cm. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 469, câu 5: C).

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài cung: $l=R\cdot \alpha$ với $\alpha =269^{\circ }=\frac{269\pi }{180}$ (rad), $R=20$ cm. Vậy $l=20\cdot \frac{269\pi }{180}=\frac{269\pi }{9}$ cm. Kết quả trùng với đáp án B và với đáp án của đề (mã đề 357, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường kính 80 m nên bán kính R = 40 m. Độ dài cung tròn 60° là $l=\frac{60}{360}\cdot 2\pi R=\frac{80\pi }{6}\approx 41,8879$ m. Vì các ghế cách nhau 3 m, số khoảng cách giữa các ghế trên cung là $41,8879:3\approx 13,9626$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được 14, tức có thể gắn tối đa 14 ghế trên cung 60° (khớp với đáp án nguồn 14).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị có hoành độ $x_0=-\frac{1}{2}$ và tung độ $y_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nằm trên cung phần tư thứ hai nên góc $\alpha =\widehat{xOM}$ là góc tù ($\alpha =120^{\circ }$).
a) Đúng: $M\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ nằm trên cung thứ hai, là điểm biểu diễn góc $\alpha$ tù.
b) Đúng: $\cos \alpha =x_0=-\frac{1}{2}$.
c) Sai: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\ne -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
d) Sai: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102: a)Đ - b)Đ - c)S - d)S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm $M\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ nằm trên cung phần tư thứ hai của nửa đường tròn đơn vị, nên là điểm biểu diễn góc $\alpha$ tù.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hoành độ của điểm biểu diễn là $\cos \alpha =x_0=-\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\ne -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị có hoành độ $x_0=-\frac{1}{2}$ và tung độ $y_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nằm trong góc phần tư thứ II nên góc $\alpha =\widehat{xOM}$ là góc tù ($90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$).

a) Đúng. Vì $M$ nằm trong góc phần tư thứ II nên $\alpha$ là góc tù, và $M(x_0;y_0)$ chính là điểm biểu diễn góc $\alpha$ trên đường tròn lượng giác.

b) Sai. Ta có $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0}=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

c) Sai. $\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}=\frac{-1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\ne -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

d) Đúng. $\cos \alpha =x_0=-\frac{1}{2}$ (khi đó $\alpha =120^{\circ }$).

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng — khớp với đáp án nguồn (ĐSSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
M nằm trong góc phần tư thứ II (x_0=-1/2<0, y_0=√3/2>0) nên α là góc tù; M(x_0;y_0) là điểm biểu diễn góc α.
b) (AI giải đề cho tôi)
tan α = y_0/x_0 = (√3/2)/(-1/2) = -√3 ≠ -1/√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
cot α = x_0/y_0 = (-1/2)/(√3/2) = -1/√3 ≠ -1/(2√2).
d) (AI giải đề cho tôi)
cos α = x_0 = -1/2 (α = 120°).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\frac{23\pi }{3}=\frac{24\pi -\pi }{3}=8\pi -\frac{\pi }{3}$, nên điểm biểu diễn của góc $\frac{23\pi }{3}$ trùng với điểm biểu diễn của góc $-\frac{\pi }{3}$ (cũng chính là góc $\frac{5\pi }{3}$), thuộc góc phần tư thứ $IV$, không phải thứ $I$ → Sai.
b) Vì $\sin x\in [-1;1]$ với mọi $x$, phương trình $\sin x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m\le 1$ → Đúng.
c) Tập xác định của $y=\tan x$ là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$ → Sai.
d) $144^{\circ }=144\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{4\pi }{5}$ rad → Đúng.
Kết quả S, D, S, D khớp bảng đáp án mã đề 0112 (Phần II, Câu 2).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\frac{23\pi }{3}=8\pi -\frac{\pi }{3}$, điểm biểu diễn trùng với điểm của góc $-\frac{\pi }{3}$ (tức $\frac{5\pi }{3}$), thuộc góc phần tư thứ $IV$, không phải thứ $I$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\sin x\in [-1;1]$ nên $\sin x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m\le 1$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tập xác định của $y=\tan x$ là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$ → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $144^{\circ }=144\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{4\pi }{5}$ rad → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\pi <\alpha +\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{2}$, tức $\alpha +\frac{\pi }{2}$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=\cos \alpha <0$ (cos âm ở góc phần tư II). Mặt khác, với $\alpha$ ở góc phần tư thứ II thì $\tan \alpha <0$, nên $\tan (-\alpha )=-\tan \alpha >0$. Vậy $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)<0$ và $\tan (-\alpha )>0$, tương ứng phương án C. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ thì $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II, nên $\cos \alpha <0$ và $\tan \alpha <0$. Ta có $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=\cos \alpha <0$. Đồng thời $\tan (-\alpha )=-\tan \alpha >0$ vì $\tan \alpha <0$. Vậy cả hai bất đẳng thức $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)<0$ và $\tan (-\alpha )>0$ đều đúng, tương ứng phương án A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho thấy tia đầu $Ou$ và tia cuối $Ov$ tạo với nhau một góc nhọn $60^{\circ }$, nhưng cung hướng đi (mũi tên) quay ngược chiều kim đồng hồ... thực chất mũi tên chỉ chiều quay từ $Ou$ đến $Ov$ theo chiều âm (quay theo chiều kim đồng hồ) đi một cung lớn. Góc lượng giác có số đo âm với cung lớn tương ứng: $-360^{\circ }+60^{\circ }=-300^{\circ }$. Vậy số đo góc lượng giác $(Ou,Ov)$ là $-300^{\circ }$, khớp với đáp án D và với bảng đáp án đề 102 (Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trên đường tròn lượng giác, điểm $A^{\prime }$ có số đo $\pi$ và điểm $B$ có số đo $\frac{\pi }{2}$. Cung nhỏ $A^{\prime }B$ là cung đi từ $B$ đến $A^{\prime }$ theo chiều dương, có độ dài $\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$. Điểm chính giữa $M$ của cung nhỏ này có số đo $\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{4}$. Vậy góc lượng giác có tia đầu $OA$ và tia cuối $OM$ là $\frac{3\pi }{4}+k2\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$), trùng với đáp án C (khớp bảng đáp án mã đề 102: Câu 2 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, tia đầu $Ou$, tia cuối $Ov$, góc nhọn giữa hai tia là $60^{\circ }$ và cung chỉ chiều quay đi theo chiều kim đồng hồ (chiều âm) quét gần một vòng tròn. Số đo góc lượng giác là $-360^{\circ }+60^{\circ }=-300^{\circ }$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Trên đường tròn lượng giác, điểm $A^{\prime }$ có số đo $\pi$ và điểm $B$ có số đo $\frac{\pi }{2}$. Cung nhỏ $A^{\prime }B$ có độ dài $\pi -\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$, nên điểm chính giữa $M$ của cung này có số đo $\pi -\frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$ (mod $2\pi$). Vậy số đo góc lượng giác có tia đầu $OA$ và tia cuối $OM$ là $\frac{3\pi }{4}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Bán kính $R=20/2=10$ cm. Độ dài cung tròn có số đo $\alpha =135^0$ là $l=R\alpha =10\cdot \frac{135\pi }{180}=10\cdot \frac{3\pi }{4}=7,5\pi \approx 23,\mathrm{5619...}\approx 23,6$ cm. Kết quả trùng với đáp án nguồn (23,6).

(AI giải đề cho tôi)
Đường kính 20 cm nên bán kính $R=10$ cm. Độ dài cung tròn có số đo $\alpha =135^0$: $l=\frac{\pi R\alpha }{180^0}=\frac{\pi \cdot 10\cdot 135^0}{180^0}=7,5\pi \approx 23,\mathrm{5619...}\approx 23,6$ cm. Kết quả trùng với đáp án nguồn 23,6.

(AI giải đề cho tôi)
Cung $AM$ có số đo $45^0$ nên điểm $M$ trên đường tròn lượng giác có tọa độ góc $45^0$. Điểm $N$ đối xứng với $M$ qua trục $Ox$ nên $N$ có tung độ đổi dấu, tức góc tương ứng là $-45^0$. Các điểm biểu diễn cùng điểm $N$ trên đường tròn lượng giác có số đo cách nhau bội của $360^0$, do đó số đo cung lượng giác $AN$ là $-45^0+k360^0,k\in \mathbb{Z}$. Kết quả trùng với đáp án D trong bảng đáp án chính thức (Câu 1, Mã đề 132: D).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt{{\sin }^2\alpha }=|\sin \alpha |$. Điều kiện $|\sin \alpha |=\sin \alpha$ tương đương với $\sin \alpha \ge 0$. Sin dương (hoặc bằng 0) khi điểm cuối của góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ I hoặc thứ II (cùng với các trường hợp trên trục). Vậy điểm cuối của góc $\alpha$ ở góc phần tư thứ I hoặc II, tương ứng phương án C. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Mã đề 132, Câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, tia $Ou$ nằm ngang và tia $Ov$ tạo với $Ou$ một góc nhọn $45^{\circ }$ (đo theo chiều dương, ngược chiều kim đồng hồ). Tuy nhiên, cung góc lượng giác $(Ou,Ov)$ được vẽ đi theo chiều kim đồng hồ (chiều âm) từ tia $Ou$ quay vòng lớn đến tia $Ov$. Do đó số đo của góc là $45^{\circ }-360^{\circ }=-315^{\circ }$. Vậy đáp án là $-315^{\circ }$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 6789, câu 12: A).