Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc lượng giác, radian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, tia $Ou$ là tia gốc, tia $Ov$ tạo với $Ou$ góc nhọn $60^{\circ }$ và mũi tên chỉ chiều quay theo chiều kim đồng hồ (chiều âm) đi từ $Ou$ đến $Ov$ theo cung lớn. Góc lượng giác $(Ou,Ov)$ có số đo âm: quay theo chiều kim đồng hồ một vòng trọn ($-360^{\circ }$) rồi thêm $60^{\circ }$ theo chiều dương để tới $Ov$, tức số đo là $-360^{\circ }+60^{\circ }=-300^{\circ }$. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (mã đề 4567, câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đu quay quay 3 vòng/phút, tức 1 vòng ($360^{\circ }$) mất $\frac{1}{3}$ phút. Góc $270^{\circ }=\frac{270}{360}$ vòng $=\frac{3}{4}$ vòng. Thời gian cần là $\frac{3}{4}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{4}$ phút. Vậy chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Từ 12h đến 14h15, kim giờ quét góc: mỗi giờ kim giờ quay 30°, nên góc quét là 2,25 × 30° = 67,5°. Đầu kim giờ chuyển động trên cung tròn bán kính r = 10 cm, độ dài cung là s = r·α = 10 · (67,5π/180) = 3,75π ≈ 11,781 cm. Làm tròn đến hàng phần mười: 11,8 cm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì M nằm trên nửa đường tròn tâm O bán kính 1 nên OM = 1. Với góc $\widehat{xOM}=\alpha$, tọa độ của M là $x_0=\cos \alpha$, $y_0=\sin \alpha$ (đúng với mọi $0^0\le \alpha \le 180^0$). Do đó $\sin \alpha =y_0$ (A sai), $\cos \alpha =x_0$ (B sai). Với $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0}$: khi $x_0\ne 0$ thì $\frac{y_0}{x_0}=\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\tan \alpha$, đúng. Với D: $\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}$, sai. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Góc hình học $\widehat{MON}=60^{\circ }$, tia $OM$ nằm ngang (bên phải), tia $ON$ tạo với $OM$ góc $60^{\circ }$ (phía trên). Trong hình, cung có mũi tên chỉ chiều quay đi từ tia $OM$ theo chiều kim đồng hồ (xuống dưới, qua trái, rồi hướng lên đến $ON$ — mũi tên ở gần $N$ hướng lên là consistent với chiều kim đồng hồ khi kết thúc ở phía trên bên trái). Chiều quay này là chiều âm và đi vòng lớn: số đo góc lượng giác $(OM,ON)$ bằng $-360^{\circ }+60^{\circ }=-300^{\circ }$. Vậy đáp án là C, khớp với bảng đáp án nguồn (mã đề 102, câu 3: C). Lưu ý: nhận định trước rằng mũi tên chỉ chiều dương là nhầm — cung vẽ phía dưới/trái và mũi tên hướng lên về $N$ đúng là chiều quay kim đồng hồ (âm).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, tia Oy quay theo chiều kim đồng hồ (mũi tên ở vị trí cuối hướng sang trái tại phía dưới, tức chiều âm) và quét được một vòng trọn cộng thêm góc 90° để đến tia Oz. Do đó số đo góc là $-2\pi -\frac{\pi }{2}=-\frac{5\pi }{2}$. Khớp với đáp án A và với ma trận đáp án (mã đề 102, câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong 1 phút bánh xe quay được góc $\alpha =450\pi$ (rad). Bán kính $r=30$ cm $=0,3$ m. Quãng đường đi được trong 1 phút là độ dài cung: $s=r\cdot \alpha =0,3\times 450\pi =135\pi \approx 424,115$ m. Làm tròn đến hàng đơn vị: $424$ m. Kết quả khớp với bảng đáp án nguồn (mã đề 102, Phần III - Câu 3 = 424).

(AI giải đề cho tôi)
Trong 1 phút bánh xe quay được góc $\alpha =450\pi$ (rad). Quãng đường đi được trong 1 phút là độ dài cung quét bởi bánh xe: $s=\alpha \cdot R=450\pi \cdot 0,3\mathrm{m}=135\pi \approx 424,1\mathrm{m}$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được $424$ m, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 5: 424).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vẽ, tia $Oy$ là tia gốc (nằm ngang hướng phải) và tia $Oz$ hướng thẳng đứng xuống dưới. Mũi tên xanh chỉ chiều quay theo chiều kim đồng hồ, tức là chiều âm. Tia $Oy$ quay được một vòng trọn theo chiều âm ($-2\pi$) rồi tiếp tục quay thêm một phần tư vòng theo chiều âm ($-\frac{\pi }{2}$) để đến vị trí tia $Oz$. Vậy số đo của góc lượng giác $(Oy,Oz)$ là $-2\pi -\frac{\pi }{2}=-\frac{5\pi }{2}$. Kết quả khớp với đáp án A (bảng mã đề 101, Câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Độ dài cung quét bằng độ dài dây: $s=30m$, bán kính $r=0,2m$. Số đo góc lượng giác $\phi =\frac{s}{r}=\frac{30}{0,2}=150(rad)$. Vì người nghệ sĩ đạp xe theo chiều dương nên góc là $+150rad$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình, tia OM nằm ngang bên phải, tia ON tạo với OM góc $45^{\circ }$ phía trên. Cung đỏ có mũi tên chỉ chiều quay từ tia OM đi xuống dưới, vòng qua phía dưới theo chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ) để đến tia ON. Do đó góc lượng giác $(OM,ON)$ có số đo âm và bằng $-(360^{\circ }-45^{\circ })=-315^{\circ }$. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (đáp án đề 102, Câu 1 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình vẽ, tia $OM$ là tia đầu, tia $ON$ là tia cuối. Mũi tên đỏ chỉ chiều quay từ tia $OM$ đến tia $ON$ theo chiều kim đồng hồ (chiều âm), đi một vòng trọn $360^{\circ }$ rồi lùi lại $60^{\circ }$ để tới tia $ON$. Do đó số đo góc lượng giác $(OM,ON)$ là $-(360^{\circ }-60^{\circ })=-300^{\circ }$. Kết quả này trùng với đáp án C trong bảng HD chấm (đề 101, Câu 1 = C).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M$ có số đo góc $\widehat{AOM}=\frac{\pi }{3}$. Điểm $N$ đối xứng với $M$ qua $O$ nên tia $ON$ là tia đối của tia $OM$, do đó số đo góc lượng giác có tia đầu $OA$ và tia cuối $ON$ là $\frac{\pi }{3}+\pi =\frac{4\pi }{3}$ (tức $-\frac{2\pi }{3}$ khi trừ $2\pi$). Vậy tập các số đo là $-\frac{2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Chú ý phương án B sai vì cộng $k\pi$ sẽ bao gồm cả tia $OM$ (số đo $\frac{\pi }{3}+k2\pi$).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M$ biểu diễn góc $\alpha =\frac{\pi }{6}$ trên đường tròn lượng giác. Điểm $N$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ $O$ nên $N$ là điểm biểu diễn của góc $\alpha +\pi =\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}$ (các góc có số đo $\frac{7\pi }{6}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$). Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 112, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M$ biểu diễn góc $\alpha =\frac{\pi }{6}$ có tọa độ $M\left(\cos \frac{\pi }{6};\sin \frac{\pi }{6}\right)$. Điểm $N$ đối xứng với $M$ qua gốc tọa độ nên $N\left(-\cos \frac{\pi }{6};-\sin \frac{\pi }{6}\right)=\left(\cos \left(\frac{\pi }{6}+\pi \right);\sin \left(\frac{\pi }{6}+\pi \right)\right)$. Vậy $N$ là điểm biểu diễn của góc $\frac{\pi }{6}+\pi =\frac{7\pi }{6}$. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 11: A).

Trong 1 giây bánh xe quay được số vòng là $\frac{30}{8}$ nên bánh xe quay được một góc là $\frac{30}{8}.2\pi =\frac{15\pi }{2}$.

Suy ra quãng đường người đó đi được là $\frac{15\pi }{2}.340=2550\pi$ mm.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình, kim phút chỉ đúng 12 (hướng thẳng đứng lên trên) và kim giờ chỉ số 4, tức là lúc 4 giờ đúng. Đặt hệ trục với gốc $O$ tại tâm đồng hồ: tia $Ov$ (kim phút) ứng với vị trí số 12, tia $Ou$ (kim giờ) ứng với vị trí số 4. Mỗi số trên đồng hồ cách nhau $30^{\circ }$ theo chiều kim đồng hồ, nên vị trí số 4 lệch khỏi số 12 một góc $4\times 30^{\circ }=120^{\circ }$ theo chiều kim đồng hồ, tức tia $Ou$ nằm ở phía dưới bên phải, tạo với tia $Ov$ một góc $120^{\circ }$. Số đo góc lượng giác $(Ou,Ov)$ là góc quay ngược chiều kim đồng hồ từ tia $Ou$ đến tia $Ov$, bằng $120^{\circ }=\frac{2\pi }{3}$. Vậy số đo tổng quát là $\alpha =\frac{2\pi }{3}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Khớp với đáp án C của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Chu vi đường tròn bán kính 2 cm là $2\pi R=4\pi$ cm. Tốc độ 2 vòng/giây nên mỗi giây chất điểm đi được $2\cdot 4\pi =8\pi$ cm. Trong 6,125 giây quãng đường là $6,125\cdot 8\pi =49\pi$ cm (tức khoảng 153,94 cm).

(AI giải đề cho tôi)
Trong 20 giây bánh xe quay 60 vòng, tức 3 vòng/giây. Trong 3 phút = 180 giây, bánh xe quay được $180\times 3=540$ vòng. Mỗi vòng xe đi được một chu vi bánh xe: $C=2\pi r=2\cdot 3,1416\cdot 6,5=40,8408$ cm. Quãng đường đi được: $s=540\times 40,8408=22054,032\approx 22054$ cm. Vậy đáp án A.