Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Chào mừng năm mới 2026, nhà hát X tổ chức chương trình ca nhạc. Nếu có 10 khách đăng ký thì giá vé sẽ là 800 nghìn đồng/người. Nếu nhiều hơn 10 người đăng ký thì cứ có thêm 1 người giá vé sẽ giảm 10 nghìn đồng/người cho toàn bộ nhóm khách hàng. Biết rằng với mỗi khách hàng, nhà hát sẽ mất 700 nghìn đồng cho chi phí vận hành và mỗi người chỉ được đăng ký 1 vé.
Nhà hát sẽ cần bán tối đa bao nhiêu vé cho một nhóm khách để không bị lỗ?

Một người nông dân có một khu đất rất rộng dọc theo một con sông. Người đó muốn làm một hàng rào hình chữ E (như hình vẽ) để được một khu đất gồm hai phần đất hình chữ nhật để trồng rau và nuôi gia cầm. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì có chi phí nguyên vật liệu là 80 ngìn đồng một mét dài, đối với phần còn lại thì chi phí nguyên vật liệu là 40 ngìn đồng một mét dài. Tính diện tích lớn nhất của phần đất mà người nông dân rào được với chi phí vật liệu là 20 triệu đồng.

[Hình cần kiểm tra lại: p1_f1]

Cho hàm số $y=m^{2}x+2(x-m)$. Biết rằng có hai giá trị $m_1,m_2$ của tham số $m$ để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên $[1;4]$ bằng 8, giá trị $m_1+m_2$ bằng bao nhiêu?

Cho một tấm nhôm hình chữ nhật $ABCD$ có $AD$ dài 60 cm. Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh $MN$ và $PQ$ vào phía trong đến khi $AB$ và $DC$ trùng nhau (như hình vẽ dưới đây) để được một hình lăng trụ khuyết hai đáy. Tìm $x$ để thể tích khối lăng trụ lớn nhất.

[Hình cần kiểm tra lại: p18_f1]

Một vật chuyển động theo quy luật $s(t)=6t^2-2t^3$ với $t$ (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $s$ (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng 5 giây kể từ lúc vật bắt đầu chuyển động vận tốc lớn nhất của vật là bao nhiêu?

Sau khi phát hiện một dịch bệnh, các chuyên gia y tế ước tính số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầu tiên đến ngày thứ $t$ được biểu diễn bởi phương trình $f(t)=4t^2(p-t)$ với $p\in \mathbb{R}$; và $f^{\prime }(t)$ là biểu thức biểu diễn tốc độ truyền bệnh (người/ngày) vào ngày thứ $t$ trong thời gian dịch bệnh. Biết rằng sau 3 ngày xuất hiện dịch thì số lượng người mắc bệnh được thống kê là 648 người. Hỏi tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ mấy?

Nồng độ thuốc $C(t)$ tính theo mg/cm³ trong máu của bệnh nhân được tính bởi $C(t)=\frac{0,05t}{t^2+t+1}$, trong đó $t$ là thời gian tính theo giờ kể từ khi tiêm cho bệnh nhân. Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).

Người ta muốn xây một cái bể hình hộp đứng có thể tích $V=18\left(m^3\right)$, biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng và bể không có nắp. Bể có chiều cao $h\left(m\right)$, chiều rộng đáy bể là $x\left(m\right)$. Chọn đúng hoặc sai cho mỗi ý a), b), c), d).

Chi phí tiền xăng C (đồng) phụ thuộc tốc độ trung bình $v$ (km/h) theo công thức:
$$C(v)=\frac{16000}{v}+\frac{5}{2}v(0<v\le 120).$$
Vận hành xe với tốc độ trung bình $v$ (km/h) bằng bao nhiêu để tiết kiệm tiền xăng nhất?

Một công ty sản xuất một sản phẩm. Bộ phận tài chính của công ty đưa ra hàm giá bán là $p(x)=1000-25x$, trong đó $p\left(x\right)$ (triệu đồng) là giá bán của mỗi sản phẩm mà tại giá bán này có $x$ sản phẩm được bán ra. Khi doanh thu đạt giá trị lớn nhất bằng 10000 triệu đồng thì có bao nhiêu sản phẩm được bán ra?.

Một chuyển động theo qui luật là $s=-\frac{1}{2}{t}^3+3t^2+20$ với $t$ giây là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và $s$ là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Quãng đường vật đi được bắt đầu từ lúc vật chuyển động tới thời điểm vật đạt được vận tốc lớn nhất bằng

Một cửa hàng bán bưởi da xanh, với giá bán mỗi quả là 60.000 đồng. Với giá bán này thì mỗi ngày cửa hàng chỉ bán được 30 quả. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 1.000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 10 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 35.000 đồng.

Một cửa hàng bán bưởi da xanh, với giá bán mỗi quả là 60.000 đồng. Với giá bán này thì mỗi ngày cửa hàng chỉ bán được 30 quả. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi quả 1.000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 10 quả. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả là 35.000 đồng.

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1\le x\le 500)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $D(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $C(x)=x+1000+\frac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm $(1\le x\le 500)$ thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là $D(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $C(x)=x+1000+\frac{250000}{x}$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B; Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 90 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là $x$ tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là $p(x)=90-0,01x^2$ (đơn vị triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất $x$ tấn sản phẩm trong một tháng là $C(x)=\frac{1}{2}(200+27x)$ (đơn vị triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là $10\%$ tổng doanh thu mỗi tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)?

Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho $A$ ở trên bờ biển đến một vị trí $B$ trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi $C$ là điểm trên bờ sao cho $BC$ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ $A$ đến $C$ là 9 km. Người ta đã xác định được một vị trí $D$ trên $AC$ để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc $ADB$ có số tiền chi phí thấp nhất là 2.340.000.000 đồng. Khi đó khoảng cách $AD$ bằng bao nhiêu km, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng.

Để thiết kế một chiếc bể nuôi cá Koi trong sân vườn hình hộp chữ nhật không nắp có chiều cao $150(cm)$ và thể tích chứa $900\left(m^3\right)$. Biết giá thành để làm mặt bên là 2,8 triệu đồng$/m^2$ và làm mặt đáy là 4 triệu đồng$/m^2$. Tính chi phí thấp nhất để hoàn thành bể cá (Làm tròn theo đơn vị triệu đồng).

Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lý. Đồng thời cả hai con tàu cùng khởi hành, một tàu chạy về hướng nam với 6 hải lý/giờ, còn tàu kia chạy về vị trí hiện tại của tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lý/giờ. Hỏi sau bao nhiêu phút kể từ khi xuất phát, khoảng cách của hai tàu là nhỏ nhất, làm tròn đến hàng phần chục?
[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

Trên một miếng đất, ông A dự định xây một mảnh vườn hình chữ nhật để thả gia súc. Một cạnh của mảnh vườn được xây tường, ông A dùng 100m dây rào để rào ba cạnh còn lại. Hỏi diện tích lớn nhất của mảnh vườn là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).