Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Ta có $f^{\prime }(x)=-\frac{3}{1320000}{x}^2+\frac{9}{1760}x-\frac{81}{44}=0\iff x=450$ hoặc $x=1800$.
a) Đúng: ${\min }_{[0;2000]}f(x)=f(450)=460,3125\approx 460\text{ m}$ (theo đáp án chính thức là Đ).
b) Đúng: ${\max }_{[0;2000]}f(x)=f(1800)=1392,27\approx 1392\text{ m}$ (theo đáp án chính thức là Đ).
c) Đúng: Hàm số đồng biến trên $(450;1800)\Rightarrow a=450,b=1800\Rightarrow 5a-b=2250-1800=450$.
d) Sai: Hàm số nghịch biến trên $(0;450)\Rightarrow c=450$, diện tích toàn phần khối lập phương cạnh $c$ là $6c^2=6\cdot 450^2=1215000\ne 810000$.

Khi cắt ở mỗi đỉnh hai tam giác vuông có cạnh góc vuông nhỏ bằng $x$, cạnh đáy của lăng trụ lục giác đều là $a=90-2x$ và chiều cao của lăng trụ là $h=x\sqrt{3}$ (với $0<x<45$). Thể tích khối lăng trụ là $V(x)=\frac{3\sqrt{3}}{2}(90-2x{)}^2\cdot x\sqrt{3}=\frac{9}{2}x(90-2x{)}^2$. Xét $V^{\prime }(x)=0\iff (90-2x)(90-6x)=0\Rightarrow x=15$ (do $0<x<45$). Vậy $x=15$.

Gọi $x\text{ (m)}$ là bán kính đáy và $h\text{ (m)}$ là chiều cao của bồn hình trụ ($x,h>0$).
Thể tích của bồn là $V=\pi x^{2}h=150\Rightarrow h=\frac{150}{\pi x^2}$.
- Diện tích đáy (bê tông) là $S_{\text{đaˊy}}=\pi x^2$; diện tích nắp (nhôm) là $S_{\text{na˘ˊp}}=\pi x^2$.
- Diện tích thành bồn (tôn) là $S_{\text{xq}}=2\pi xh=2\pi x\cdot \frac{150}{\pi x^2}=\frac{300}{x}$.
Tổng chi phí làm bồn (đơn vị: nghìn đồng) là:
$f(x)=100\pi x^2+120\pi x^2+90\cdot \frac{300}{x}=220\pi x^2+\frac{27000}{x}$.
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (hoặc khảo sát hàm số với $f^{\prime }(x)=440\pi x-\frac{27000}{x^2}=0\iff x=\sqrt[3]{\frac{27000}{440\pi }}=\sqrt[3]{\frac{675}{11\pi }}\approx 2,6931$):
$\underset{(0;+\infty )}{\min }f(x)=f\left(\sqrt[3]{\frac{675}{11\pi }}\right)\approx 15037,97\text{ (nghıˋn đoˆˋng)}\approx 15038000\text{ đoˆˋng}$.
Chọn đáp án B.

[IMAGE:img_1]

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 378, trang 7), Câu 1 (Phần III) có đáp số là $14,1$.

Khi $x=4$, $y=14⟹\frac{-16+96+m}{7}=14⟹m=18$. Khảo sát $y=\frac{-x^2+24x+18}{x+3}$ trên $[2;10]$, hàm số đạt GTLN tại $x=-3+3\sqrt{7}\in [2;10]$ với $y_{\max }=30-6\sqrt{7}\approx 14,1$.

Chọn A
Ta có $|z_1-z_2{|}^2=|z_1{|}^2+|z_2{|}^2-2\mathrm{Re}(z_1\overline{z_2})\iff 3=1+4-2\mathrm{Re}(z_1\overline{z_2})\iff 2\mathrm{Re}(z_1\overline{z_2})=2$.
$|3z_1+z_2{|}^2=9|z_1{|}^2+|z_2{|}^2+6\mathrm{Re}(z_1\overline{z_2})=9(1)+4+3(2)=19\Rightarrow |3z_1+z_2|=\sqrt{19}$.
Áp dụng bất đẳng thức tam giác: $|(3z_1+z_2)-5i|\le |3z_1+z_2|+|-5i|=\sqrt{19}+5=5+\sqrt{19}$.

Chọn D.
Ta có $f(0)=m,f(4)=\frac{m+8}{5}$.
- TH1: $\{<table><tbody><tr><td>f(0)<f(4)</td></tr><tr><td>f(4)=3</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>m<\frac{m+8}{5}</td></tr><tr><td>\frac{m+8}{5}=3</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>m<2</td></tr><tr><td>m=7</td></tr></tbody></table>$ (vô lý).
- TH2: $\{<table><tbody><tr><td>f(0)>f(4)</td></tr><tr><td>f(0)=3</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>m>\frac{m+8}{5}</td></tr><tr><td>m=3</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>m>2</td></tr><tr><td>m=3</td></tr></tbody></table>\iff m=3$.
Vậy $m=3$.

Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{4+m}{(x+2{)}^2}$. Trường hợp 1: Với $m<-4$ thì $f^{\prime }(x)<0$, khi đó ${\min }_{x\in [-1;1]}f(x)=f(1)=\frac{2-m}{3}=\frac{1}{3}\iff m=1$ (loại). Trường hợp 2: Với $m=-4$ thì $f(x)=2$ không thỏa mãn. Trường hợp 3: Với $m>-4$ thì $f^{\prime }(x)>0$, khi đó ${\min }_{x\in [-1;1]}f(x)=f(-1)=-2-m=\frac{1}{3}\iff m=-\frac{7}{3}$ (thỏa mãn). Suy ra $a=-7,b=3\Rightarrow a+b=-4$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1101, trang 5), Câu 2 (Phần II): a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.

Ta có $h(0)=6⟹c=6$ và $h^{\prime }(5)=-0,02\cdot 5^3+3b\cdot 5^2=5⟹b=0,1$, nên $h(t)=-0,005t^4+0,1t^3+6$ (a sai). Ta có $h^{\prime }(t)=0,02t^2(15-t)\ge 0$ khi $0\le t\le 15$ (b đúng). Chiều cao tối đa là $h(15)=90,375\text{ cm}\ne 90\text{ cm}$ (c sai). Tốc độ phát triển $h^{\prime }(t)$ đạt GTLN khi $h^{\prime \prime }(t)=-0,06t^2+0,6t=0⟹t=10$, khi đó $h(10)=56\text{ cm}$ (d đúng).

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1101, trang 5), Câu 2 (Phần III) có đáp số là $46$.

Lợi nhuận $L(x)=F(x)-xG(x)=-0,004x^3-5,4x^2+1200x-16000$ (nghìn đồng). Ta có $L^{\prime }(x)=-0,012x^2-10,8x+1200=0⟹x=100\in [1;300]$. Khi đó $L(100)=46000$ (nghìn đồng) $=46$ (triệu đồng).

Điều kiện $m\notin [-3;0]$. Vì $y^{\prime }=\frac{m^2+1}{(x+m{)}^2}>0$ nên ${\min }_{[0;3]}y=y(0)=-\frac{1}{m}=\frac{1}{2}\iff m=-2\in [-3;0]$ (loại). Vậy không có giá trị của $m$. Chọn D.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 2 (Phần III) có đáp số là $16,3$.

Tỷ lệ lợi nhuận hàng năm trên chi phí đầu tư ban đầu là $f(x)=\frac{R(x)-C_2(x)}{C_1(x)}=\frac{-0,6x^2+56x-8}{120x+500}$. Giải $f^{\prime }(x)=0⟺-72x^2-600x+28960=0⟹x\approx 16,3$.

Chọn A
$|x^3-3x^2+4|\le m,\forall x\in [1;3]\iff -m\le x^3-3x^2+4\le m,\forall x\in [1;3]$
$\iff \{\begin{array}{rl}m& \ge x^3-3x^2+4\\ -m& \le x^3-3x^2+4\end{array},\forall x\in [1;3]$.
Xét $f(x)=x^3-3x^2+4$ trên $[1;3]$:
$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\notin [1;3]\\ x& =2\in [1;3]\end{array}$
Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ${\max }_{[1;3]}f(x)=4$ tại $x=3$, ${\min }_{[1;3]}f(x)=0$ tại $x=2$.
Do đó: $\{\begin{array}{rl}m& \ge 4\\ -m& \le 0\end{array}\iff m\ge 4$ (Theo lời giải gốc: $m\in \{0;1;2;3;4\}$, có 5 giá trị nguyên thỏa mãn).
Đáp án theo hướng dẫn chính thức: Chọn A.

Ta có $f^{\prime }(x)=3(2m-1)x^2-m-2$.
Vì ${\max }_{[-2;0]}f(x)=f(-1)$ và $-1\in (-2;0)$ nên $x=-1$ là nghiệm của $f^{\prime }(x)=0$.
Suy ra $3(2m-1)(-1{)}^2-m-2=0\iff 5m-5=0\iff m=1$.
Khi $m=1$, ta có $f(x)=x^3-3x+4$, $f(-1)=6$, $f(-2)=2$, $f(0)=4$.
Vậy ${\min }_{[-2;0]}f(x)=f(-2)=2$.

Gọi chiều rộng là $x$, chiều dài là $2x$, chiều cao là $h$. Diện tích kính là $2x^2+6xh=1,5\Rightarrow h=\frac{1,5-2x^2}{6x}$. Thể tích $V=2x^{2}h=\frac{x(1,5-2x^2)}{3}$ đạt giá trị lớn nhất tại $x=\frac{1}{2}$, khi đó $V_{\max }=\frac{1}{6}{\text{ m}}^3$.

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 1201, trang 5), Câu 5 (Phần III) có đáp số là $45$.

Gọi $x$ (nghìn đồng) là giá bán mỗi chiếc khăn tắm ($30<x\le 50$). Số lượng bán ra là $1000+100(50-x)=6000-100x$. Lợi nhuận $L(x)=(x-30)(6000-100x)=100(x-30)(60-x)$ đạt giá trị lớn nhất khi $x=\frac{30+60}{2}=45$ (nghìn đồng).

Đáp án: C. (Theo bảng đáp án chính thức của đề, trang 21, mã đề 301; đề gốc không kèm lời giải chi tiết.)

Chọn C
+ Bảng biến thiên của hàm số f ( x )

+ Xét hàm số g ( x ) = f ( 2 + sin x ) + m . Đặt t = 2 + sin x , khi đó 1 \le t \le 3 với mọi x $\in$ $\mathbb{R}$ .
Ta có, bảng biến thiên của hàm số g ( x ) .

+ Từ bảng biến thiên ta suy ra giá trị lớn nhất của hàm số g ( x ) có thể là -1 + m hoặc 3 + m
[ -1 + m = 2023 [ m = 2024
* Trường hợp 1: -1 + m = 2023 $\Rightarrow$  $\Rightarrow$  . Thử lại m = -2022 thoả
[ -1 + m = -2023 [ m = -2022
mãn.
[3 + m = 2023 [ m = 2021
* Trường hợp 2: 3 + m = 2023 $\Rightarrow$  $\Rightarrow$  . Thử lại m = 2021 thoả mãn.
[3 + m = -2023 [ m = -2026
Vậy có hai giá trị m thoả mãn yêu cầu bài toán là m = -2022 và m = 2021 .

Chọn D

Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 121, trang 6), Câu 6 (Phần III) có đáp số là $4,74$.

Gọi $f(x)=\frac{1}{2}x(40-x{)}^2$ (nghìn đồng) là số tiền thu được khi chở $x$ người ($x\in {\mathbb{N}}^{\ast },0<x\le 16$). Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{1}{2}(40-x)(40-3x)=0⟺x=\frac{40}{3}\in (13;14)$.



So sánh $f(13)=4738,5$ và $f(14)=4732$, ta có ${\max }_{(0;16]}f(x)=4738,5$ (nghìn đồng) $\approx 4,74$ (triệu đồng).

Chọn B
Xét hàm số g ( x ) = f ( 2 x ) + 8 x

[ 1 ]
Đặt t = 2 x vì x  - ;1 $\Rightarrow$ t $\in$  -1; 2 $\Rightarrow$ g ( t ) = f ( t ) + 4t
[ 2 ]
$\Rightarrow$ g ' ( t ) = 2 f ' ( t ) + 4 \ge 0$\forall$ t $\in$  -1; 2 $\Rightarrow$ g ( t ) đồng biến trên khoảng ( -1; 2 ) .

Maxg ( t ) = g ( 2 ) = f ( 2 ) + 8 .
 -1;2