Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt vuông góc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$ và $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$.
- A đúng: $SA\subset (SAB)$, $SA\perp (ABC)$ $\Rightarrow (SAB)\perp (ABC)$.
- B đúng: $SA\subset (SAC)$, $SA\perp (ABC)$ $\Rightarrow (SAC)\perp (ABC)$.
- C đúng: $BC\perp AB$ (giả thiết) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) $\Rightarrow BC\perp (SAB)$. Mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$.
- D sai: giao tuyến của $(SAB)$ và $(SAC)$ là $SA$. Muốn $(SAB)\perp (SAC)$ cần một đường thẳng trong một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng kia, ví dụ $AB\perp (SAC)$, tức cần $AB\perp AC$; nhưng tam giác vuông tại $B$ chỉ cho $AB\perp BC$, còn $AB$ nghiêng với $AC$ (cạnh huyền). Vậy không kết luận được $(SAB)\perp (SAC)$.
Khẳng định sai là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$, mà $AC\subset (SAC)$, do đó $(SAC)\perp (ABCD)$. Vậy khẳng định 1 đúng.

Vì đáy $ABCD$ là hình vuông nên $BD\perp AC$; lại có $BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$). Suy ra $BD\perp (SAC)$. Vì $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. Vậy khẳng định 4 đúng.

Khẳng định 2 sai: $(SAB)$ và $(SBD)$ cắt nhau theo giao tuyến $SB$. Giao tuyến của $(SAB)$ và $(ABCD)$ là $AB$, giao tuyến của $(SBD)$ và $(ABCD)$ là $BD$, mà $AB$ và $BD$ không vuông góc với nhau (góc $ABD=45^{\circ }$ trong hình vuông), nên theo điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng, $(SAB)$ không vuông góc với $(SBD)$.

Khẳng định 3 sai: $(SAB)$ và $(SAC)$ có giao tuyến $SA$. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ bằng góc giữa $AB$ và $AC$, tức góc $BAC=45^{\circ }\ne 90^{\circ }$, nên $(SAB)$ không vuông góc với $(SAC)$.

Vậy chỉ có 2 khẳng định đúng (khẳng định 1 và khẳng định 4), trùng với đáp án nguồn là 2.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy a, cạnh bên SA=SB=SC=SD=a. Gọi O là tâm đáy, SO là chiều cao. AC = a√2 nên OC = a√2/2, suy ra SO = √(SA² − OC²) = √(a² − a²/2) = a/√2.
a) Đúng: SO ⊥ (ABCD) và SO ⊂ (SAC) nên (SAC) ⊥ (ABCD).
b) Sai: Hình chiếu của S lên (ABCD) là O, nên hình chiếu của SC là OC (không phải AC).
c) Sai: V = (1/3)·SO·S_{ABCD} = (1/3)·(a/√2)·a², còn (1/3)SA·S_{ABCD} = (1/3)·a·a²; vì SO = a/√2 ≠ a nên hai biểu thức khác nhau.
d) Sai: BC ∥ AD nên góc giữa SD và BC bằng góc giữa SD và AD, tức góc SDA (trong tam giác đều SAD, bằng 60°). Trong tam giác SDB cân với SD = SB = a, DB = a√2, góc SDB có cos(SDB) = DB/(2SD) = √2/2, tức 45° ≠ 60°. Khớp đáp án mã đề 1013: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
SO ⊂ (SAC) và SO ⊥ (ABCD) nên (SAC) ⊥ (ABCD).
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của S là O nên hình chiếu của SC là OC, không phải AC.
c) (AI giải đề cho tôi)
V = (1/3)SO·S_{ABCD} với SO = a/√2 ≠ SA = a.
d) (AI giải đề cho tôi)
BC ∥ AD nên góc giữa SD và BC là góc SDA = 60°, còn góc SDB = 45°.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình vuông, $SA\perp (ABCD)$.

1) Vì $SA\perp (ABCD)$ và $SA\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$. Đúng.

2) $(SAB)\perp (SBD)$? Hai mặt phẳng cắt nhau theo $SB$. Để vuông góc cần một đường thẳng trong một mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng kia. $AB\perp SA$ nhưng $AB$ không vuông góc với $BD$ (góc giữa $AB$ và $BD$ bằng $45^{\circ }$), $SB$ không vuông góc với $(SAB)$ ($SB$ cắt $SA$, $AB$). Không có cơ sở vuông góc. Sai.

3) $(SAB)\perp (SAC)$? Hai mặt cắt nhau theo $SA$. Cần $AB\perp (SAC)$ hoặc $AC\perp (SAB)$. $AB\perp SA$ nhưng $AB$ không vuông góc với $AC$ (góc $BAC=45^{\circ }$); $AC$ không vuông góc với $AB$. Sai.

4) Trong đáy hình vuông, $BD\perp AC$; lại có $BD\perp SA$ (vì $SA\perp$ đáy). Suy ra $BD\perp (SAC)$, mà $BD\subset (SBD)$ nên $(SBD)\perp (SAC)$. Đúng.

Vậy có 2 khẳng định đúng (khẳng định 1 và 4), phù hợp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$, $O$ là tâm đáy. A đúng: trong hình chóp đều, đường cao $SO\perp (ABCD)$. B đúng: $AC\perp BD$ (hai đường chéo hình vuông) và $AC\perp SO$ nên $AC\perp (SBD)$, mà $AC\subset (SAC)$, suy ra $(SAC)\perp (SBD)$. C đúng: $BD\perp (SAC)$ nên $BD\perp SA$. D sai: nếu $BC\perp (SCD)$ thì $BC\perp SC$, nhưng tam giác $SBC$ cân tại $S$ với $SB=SC$, góc $SBC$ nhọn nên $BC$ không vuông góc với $SC$ (thực tế $BC$ chỉ vuông góc với $AB$ và $CD$ trong mặt đáy). Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ vuông cân tại $B$ nên $AB\perp BC$ và $AB=BC$. M là trung điểm $AC$ nên $BM$ vừa là trung tuyến vừa là đường cao của tam giác vuông cân, do đó $BM\perp AC$ (A đúng). Lại có $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BM$; từ $BM\perp AC$ và $BM\perp SA$ suy ra $BM\perp (SAC)$, mà $BM\subset (SBM)$ nên $(SBM)\perp (SAC)$ (B đúng). Ta có $BC\perp AB$ (vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAB)$, mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$ (C đúng). Xét D: để $(SAB)\perp (SAC)$ cần một đường thẳng trong $(SAC)$ vuông góc với $(SAB)$, chẳng hạn $AC\perp (SAB)$; nhưng $AC$ không vuông góc với $AB$ (góc $BAC=45^{\circ }$), nên khẳng định $(SAB)\perp (SAC)$ là sai. Vậy khẳng định sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$. Trong hình chóp tứ giác đều, $SO\perp (ABCD)$ và $AC\perp BD$ tại $O$.
- A đúng: $AC\perp BD$ (trong $(ABCD)$) và $AC\perp SO$ (vì $SO\perp (ABCD)$) nên $AC\perp (SBD)$, mà $AC\subset (ABCD)$, suy ra $(ABCD)\perp (SBD)$.
- C đúng: $BD\perp AC$ và $BD\perp SO$ nên $BD\perp (SAC)$, mà $BD\subset (SBD)$, suy ra $(SBD)\perp (SAC)$.
- D đúng: $SO\perp (ABCD)$, $SO\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (ABCD)$.
- B sai: $(SAB)$ vuông góc với $(ABCD)$ khi và chỉ khi giao tuyến $AB$ chứa hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABCD)$, tức $O\in AB$, vô lý vì $O$ là tâm hình vuông không nằm trên cạnh $AB$. Vậy mệnh đề sai là B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\perp AB$. Tam giác $SAB$ đều nằm trong mặt phẳng $(SAB)\perp (ABCD)$, với giao tuyến là $AB$. Vì $BC\subset (ABCD)$ và $BC\perp AB$ (đường thẳng nằm trong một mặt phẳng vuông góc với giao tuyến) nên theo định lý ba mặt phẳng vuông góc, $BC\perp (SAB)$.

b) Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Vì tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$ nên $SH\perp AB$ và $SH=\frac{2a\sqrt{3}}{2}=a\sqrt{3}$. Do $(SAB)\perp (ABCD)$, giao tuyến $AB$, với $SH\subset (SAB)$ và $SH\perp AB$ nên $SH\perp (ABCD)$. Vậy $DH$ là hình chiếu của $SD$ lên $(ABCD)$, do đó góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ là $\phi =\widehat{SDH}$.

Trong mặt phẳng đáy: $AH=a$, $AD=a$, $AD\perp AH$ nên $DH=\sqrt{A{H}^2+A{D}^2}=a\sqrt{2}$.

$$\tan \phi =\frac{SH}{DH}=\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\Rightarrow \phi =\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}\approx 50,77^{\circ }.$$

Vậy góc giữa $SD$ và $(ABCD)$ bằng $\arctan \frac{\sqrt{6}}{2}\approx 50,77^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài toán: hình chóp đều $S.ABCD$, cạnh bên $SA=SB=SC=SD=26$, cạnh đáy $AB=27$, $O=AC\cap BD$.

a) Vì $S.ABCD$ là hình chóp đều nên $SO\perp (ABCD)$. Lại có $SO\subset (SAC)$, suy ra $(SAC)\perp (ABCD)$ (theo định lý về mặt phẳng chứa đường vuông góc với mặt phẳng khác).

b) Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ là góc giữa $SC$ và hình chiếu $OC$ của nó trên $(ABCD)$, tức là góc $\phi =\widehat{SCO}$.

Tính toán: đáy là hình vuông cạnh 27 nên $AC=27\sqrt{2}$, do đó $OC=\frac{27\sqrt{2}}{2}$.

Trong tam giác $SOC$ vuông tại $O$:
$$SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{26^2-{\left(\frac{27\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{676-\frac{729}{2}}=\sqrt{\frac{623}{2}}=\frac{\sqrt{1246}}{2}\approx 17,66.$$

Suy ra
$$\tan \phi =\frac{SO}{OC}=\frac{\sqrt{1246}/2}{27\sqrt{2}/2}=\frac{\sqrt{623}}{27}\approx 0,9245,$$
$$\phi =\arctan \frac{\sqrt{623}}{27}\approx 42,75^{\circ }\approx 42^{\circ }45^{\prime }.$$

Vậy góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $\arctan \frac{\sqrt{623}}{27}\approx 42,75^{\circ }$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi O là tâm hình vuông ABCD. Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ BD; lại ABCD hình vuông nên BD ⊥ AC. Suy ra BD ⊥ (SAC) (vì BD ⊥ SA, BD ⊥ AC). Mà BD ⊂ (SBD) nên (SBD) ⊥ (SAC). Thể tích: V = (1/3)·AB²·SA = (1/3)·4·SA = 8√6/3 ⇒ SA = 2√6. Góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA (vì CA là hình chiếu của SC lên (ABCD)). AC = 2√2, tan(SCA) = SA/AC = 2√6/(2√2) = √3 ⇒ góc SCA = 60°.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, $H$ là trung điểm $AC$ nên $H$ là tâm đáy, do đó $SH\perp (ABCD)$ → B đúng. Trong đáy, $AC\perp BD$, kết hợp $SH\perp BD$ nên $BD\perp (SAC)$, suy ra $(SAC)\perp (SBD)$ → A đúng. Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp CD$; lại $CD\perp AD$ (hình vuông), nên $CD\perp (SAD)$ → D đúng. Mệnh đề C sai: mặt $(SBD)$ chứa $BD$ nằm trong $(ABCD)$, không có đường thẳng nào trong $(SBD)$ vuông góc với $(ABCD)$ ($BD$ chỉ vuông góc với $(SAC)$), nên nói chung $(SBD)$ không vuông góc với $(ABCD)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo $AC\perp BD$. Lại có $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp AC$. Từ đó $AC\perp BD$ và $AC\perp SB$, mà $BD$ và $SB$ là hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng $(SBD)$, suy ra $AC\perp (SBD)$. Vì $AC\subset (SAC)$ nên $(SAC)\perp (SBD)$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$, mà $AB\subset (SAB)$ nên $(SAB)\perp (ABC)$ → A đúng. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$; lại có $SA\perp (ABC)\Rightarrow SA\perp BC$. Từ đó $BC\perp (SAB)$ (vì $BC$ vuông với hai đường cắt nhau $AB$ và $SA$ trong $(SAB)$), mà $BC\subset (SBC)$ nên $(SBC)\perp (SAB)$ → D đúng. Đồng thời $SA\subset (SAC)$, $SA\perp (ABC)$ nên $(SAC)\perp (ABC)$ → C đúng. Xét B: giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBC)$ là $SC$; không có đường thẳng trong $(SBC)$ vuông góc với $(SAC)$ (ví dụ $BC$ không vuông góc với $AC$ vì tam giác vuông tại $B$, chỉ vuông góc với $AB$). Kiểm tra bằng tọa độ: $B(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),S(0,0,1)$: $(SAC):x+y+z=1$ có pháp tuyến $(1,1,1)$; $(SBC):x=0$ có pháp tuyến $(1,0,0)$; tích vô hướng $=1\ne 0$ nên hai mặt phẳng không vuông góc. Vậy kết luận sai là B, trùng với đáp án của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $BC\perp AB$ (tam giác $ABC$ vuông tại $B$) và $BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $(SBC)\perp (SAB)$: khẳng định A đúng. Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên trung tuyến $BM$ cũng là đường cao, do đó $BM\perp AC$: khẳng định C đúng. Lại có $BM\perp AC$ và $BM\perp SA$ (vì $SA\perp (ABC)$) nên $BM\perp (SAC)$, suy ra $(SBM)\perp (SAC)$: khẳng định B đúng. Xét khẳng định D: giao tuyến của $(SAB)$ và $(SAC)$ là $AB$. Để $(SAB)\perp (SAC)$ cần $AC\perp (SAB)$, tức $AC\perp SA$; nhưng $SA\perp (ABC)$ nên $SA$ chỉ vuông góc với các đường nằm trong đáy qua $A$, mà $AC$ không vuông góc với $AB$ nên không thể có $AC\perp SA$. Vậy khẳng định D SAI. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cạnh $2a$.

a) $AC\perp BD$ (hai đường chéo hình vuông $ABCD$) và $AC\perp B{B}^{\prime }$ ($B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$), nên $AC\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$. Vì $AC\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$: Đúng.

b) Trong hình lập phương, cạnh bên $A{A}^{\prime }$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$: Đúng.

c) Góc nhị diện $[A,BC,D^{\prime }]$: $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $BC\perp BA$ và $BC\perp B{D}^{\prime }$. Tọa độ $A(0,0,0)$, $B(2a,0,0)$, $C(2a,2a,0)$, $D^{\prime }(0,2a,2a)$: $(ABC)$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(0,0,1)$, $(BC{D}^{\prime })$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1,0,1)$, $\cos \phi =\frac{1}{\sqrt{2}}$ nên góc bằng $45^{\circ }$: Đúng.

d) $A^{\prime }C$ là đường chéo hình lập phương: $A^{\prime }C=\sqrt{(2a{)}^2+(2a{)}^2+(2a{)}^2}=2a\sqrt{3}\ne a\sqrt{3}$: Sai.

Khớp bảng đáp án mã đề 101: Đ Đ Đ S.
a) (AI giải đề cho tôi)
AC ⊥ BD và AC ⊥ BB' nên AC ⊥ (BDD'B'); vì AC ⊂ (ACC'A') nên (ACC'A') ⊥ (BDD'B').
b) (AI giải đề cho tôi)
AA' là cạnh bên của hình lập phương nên vuông góc với mặt đáy (ABCD).
c) (AI giải đề cho tôi)
BC ⊥ BA và BC ⊥ BD'; với tọa độ A(0,0,0), B(2a,0,0), C(2a,2a,0), D'(0,2a,2a), cos góc giữa hai mặt = 1/√2, góc = 45°.
d) (AI giải đề cho tôi)
A'C = 2a√3, không phải a√3.

(AI giải đề cho tôi)
a) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AC$, do đó $(SAC)\perp (ABCD)$ (giao tuyến $AC$). Đúng.
b) Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$ (vì $SA\perp (ABCD)$), nên hình chiếu của $SB$ là $AB$. Đúng.
c) $V=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot AD\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{3}\ne 2\sqrt{2}{a}^3$. Sai.
d) Vì $AB\perp BC$ và $SA\perp BC$ nên $BC\perp (SAB)$, suy ra $(SBC)\perp (SAB)$, giao tuyến $SB$. Khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$ bằng khoảng cách từ $A$ đến $SB$ trong $(SAB)$: $d=\frac{AB\cdot SA}{SB}=\frac{a\sqrt{2}\cdot 2a}{\sqrt{2a^2+4a^2}}=\frac{2\sqrt{2}{a}^2}{a\sqrt{6}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{2a\sqrt{5}}{5}$. Sai.
Khớp đáp án nguồn: Đ Đ S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)\Rightarrow SA\perp AC\Rightarrow (SAC)\perp (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$, nên hình chiếu của $SB$ là $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}{a}^3}{3}$, không bằng $2\sqrt{2}{a}^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$BC\perp (SAB)$ nên $d(A,(SBC))=d(A,SB)=\frac{AB\cdot SA}{SB}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\ne \frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0;0)$, $B(a\sqrt{2};0;0)$, $D(0;a;0)$, $C(a\sqrt{2};a;0)$, $S(0;0;2a)$.
a) $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$, mà $AD\subset (ABCD)$, $AD$ là giao tuyến của $(SAD)$ và $(ABCD)$, do đó $(SAD)\perp (ABCD)$. Đúng.
b) Vì $SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$, suy ra hình chiếu của $SC$ là $AC$. Đúng.
c) $V=\frac{1}{3}\cdot AB\cdot AD\cdot SA=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}}{3}{a}^3\ne \frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$. Sai.
d) Mặt phẳng $(SCD)$: $\overrightarrow{DC}=(a\sqrt{2};0;0)$, $\overrightarrow{DS}=(0;-a;2a)$, pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{DC}\times \overrightarrow{DS}=(0;-2a^2\sqrt{2};-a^2\sqrt{2})$, phương trình: $2y+z-2a=0$. Khoảng cách từ $A$: $d=\frac{|-2a|}{\sqrt{4+1}}=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$. Đúng.
Khớp với đáp án nguồn: Đ Đ S Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp AD$; $AD$ là giao tuyến của $(SAD)$ và $(ABCD)$, do đó $(SAD)\perp (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$ nên hình chiếu của $S$ lên $(ABCD)$ là $A$, suy ra hình chiếu của $SC$ là $AC$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot 2a=\frac{2\sqrt{2}}{3}{a}^3\ne \frac{\sqrt{2}}{3}{a}^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(SCD)$ có phương trình $2y+z-2a=0$; $d(A,(SCD))=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2a\sqrt{5}}{5}$.

a) (0,75 điểm) Vẽ hình. Ta có: $\{\begin{array}{l}AC\perp AB(gt)\\ AC\perp SB(SB\perp (ABC))\end{array}$ (0,25 điểm) $\Rightarrow AC\perp (SAB)$ (0,25 điểm) $\Rightarrow (SAC)\perp (SAB)$. (0,25 điểm) b) (0,75 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SA. $(SAC)\perp (SAB)(cmt)$, $BH\perp SA,BH\subset (SAB)$ $\Rightarrow BH\perp (SAC)$. (Cách CM khác cho tối đa) (0,25 điểm) $\Rightarrow d(B,(SAC))=BH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. (0,25 điểm)

a) (0,75 điểm) Vẽ hình. Ta có: $\{\begin{array}{l}BC\perp AB(gt)\\ BC\perp SA(SA\perp (ABC))\end{array}$ (0,25 điểm) $\Rightarrow BC\perp (SAB)$ (0,25 điểm) $\Rightarrow (SBC)\perp (SAB)$. (0,25 điểm) b) (0,75 điểm) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. $(SBC)\perp (SAB)(cmt)$, $AH\perp SB,AH\subset (SAB)$ $\Rightarrow AH\perp (SBC)$. (Cách CM khác cho tối đa) (0,25 điểm) $\Rightarrow d(A,(SBC))=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tam giác đều $S.ABC$, $O$ là tâm đáy, $I$ trung điểm $AB$.

a) Đúng: $SO\perp (ABC)$ nên $SO\perp OC$; lại $OC\perp AB$ (tính chất đường trung tuyến/đường cao tam giác đều). Mặt phẳng $(SCO)$ chứa đường thẳng $SO$ vuông góc với $(ABC)$ tại $O$, do đó $(SCO)\perp (ABC)$.

b) Đúng: Trong tam giác đều $ABC$, $CI\perp AB$ nên $AB\perp CI$ và $AB\perp IO$ ($IO$ nằm trên $CI$). Suy ra $AB\perp (SIO)$. Khi đó $SI\subset (SAB)$ và $IO\subset (ABC)$ cùng vuông góc với giao tuyến $AB$, nên góc $\widehat{SIO}$ là góc phẳng của nhị diện $[S,AB,C]$.

c) Đúng: $SO\perp (ABC)$ nên $SO\perp OI$; đồng thời $AB\perp (SIO)$ nên $AB\perp OI$. Vậy $OI$ vuông góc với cả $SO$ và $AB$, tức $OI$ là đường vuông góc chung của $SO$ và $AB$.

d) Sai: Thể tích khối chóp $S.ABC$ bằng $V=\frac{1}{3}SO\cdot S_{\Delta ABC}$, thiếu hệ số $\frac{1}{3}$ so với khẳng định đề bài. Kết quả trùng bảng đáp án mã đề 0101 câu 13: Đ Đ Đ S.

a) $SO\perp (ABC)$ và $OC\subset (ABC)$ nên $SO\perp OC$; mặt phẳng $(SCO)$ chứa $SO$ vuông góc với $(ABC)$ nên $(SCO)\perp (ABC)$.

b) $AB\perp CI$ nên $AB\perp SI$ và $AB\perp IO$; do đó $SI$, $IO$ cùng vuông góc với giao tuyến $AB$, góc $\widehat{SIO}$ là góc phẳng của nhị diện $[S,AB,C]$.

c) $SO\perp OI$ (vì $SO\perp (ABC)$) và $AB\perp OI$ (vì $AB\perp (SIO)$), nên $OI$ là đường vuông góc chung của $SO$ và $AB$.

d) Thể tích đúng là $V=\frac{1}{3}SO\cdot S_{\Delta ABC}$, không phải $SO\cdot S_{\Delta ABC}$.