Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-2x^2+x+5$ là hàm bậc hai với $a=-2<0$ nên có giá trị lớn nhất tại đỉnh parabol $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2\cdot (-2)}=\frac{1}{4}$. Khi đó $y_{\max }=-2{\left(\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{1}{4}+5=-\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+5=\frac{41}{8}=5,125$. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\frac{41}{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=2x^2+4x+1$ với $a=2>0$ nên parabol có bề lõm hướng lên.

**Bước 1. Tọa độ đỉnh:**
$$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1,y=2(-1{)}^2+4(-1)+1=2-4+1=-1.$$
Vậy đỉnh $I(-1;-1)$.

**Bước 2. Giao điểm với trục tung:** cho $x=0$ ta được $y=1$, tức điểm $(0;1)$.

**Bước 3. Giao điểm với trục hoành:** giải $2x^2+4x+1=0$.
$$\Delta =16-8=8,x=\frac{-4\pm \sqrt{8}}{4}=\frac{-2\pm \sqrt{2}}{2}.$$
Vậy parabol cắt trục hoành tại hai điểm $x_1=\frac{-2-\sqrt{2}}{2}\approx -1,71$ và $x_2=\frac{-2+\sqrt{2}}{2}\approx -0,29$.

**Bước 4. Bảng giá trị thêm:**
- $x=-2$: $y=8-8+1=1$, điểm $(-2;1)$ (đối xứng với $(0;1)$ qua trục $x=-1$).
- $x=1$: $y=2+4+1=7$, điểm $(1;7)$.
- $x=-3$: $y=18-12+1=7$, điểm $(-3;7)$.

**Bước 5. Vẽ đồ thị:** Đồ thị là parabol có đỉnh $I(-1;-1)$, trục đối xứng là đường thẳng $x=-1$, bề lõm hướng lên, đi qua các điểm $(-2;1)$, $(0;1)$, $(-3;7)$, $(1;7)$ và cắt trục hoành tại $x=\frac{-2\pm \sqrt{2}}{2}$. Lập bảng giá trị rồi vẽ đường cong mượt đi qua các điểm đã tính, đối xứng qua trục $x=-1$.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y=a{x}^2+2x+b$ đi qua $M(1;7)$ và $N(-2;10)$.

Thay tọa độ điểm $M(1;7)$: $a(1{)}^2+2(1)+b=7\Rightarrow a+b=5$ (1).

Thay tọa độ điểm $N(-2;10)$: $a(-2{)}^2+2(-2)+b=10\Rightarrow 4a-4+b=10\Rightarrow 4a+b=14$ (2).

Trừ phương trình (1) từ phương trình (2): $3a=9\Rightarrow a=3$.

Suy ra $b=5-3=2$.

Thử lại: với $x=1$: $3+2+2=7$ ✓; với $x=-2$: $12-4+2=10$ ✓.

Vậy parabol cần tìm là $(P):y=3x^2+2x+2$.

(AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng của parabol $y=a{x}^2+bx+c$ là $x=-\frac{b}{2a}$. Với $y=-x^2+5x+3$ ta có $a=-1,b=5$, nên $x=-\frac{5}{2(-1)}=\frac{5}{2}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng tiền hãng thu về: $f(x)=x(6000-3x)=-3x^2+6000x$ (nghìn đồng), với $x\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, $x<2000$. Đây là hàm bậc hai với $a=-3<0$, đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{6000}{2(-3)}=1000$, thỏa mãn điều kiện. Vậy đại lí nên nhập 1000 chiếc điện thoại, khi đó hãng thu về $f(1000)=1000\cdot (6000-3000)=3000000$ nghìn đồng (3 tỷ đồng) là nhiều nhất.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: parabol hướng lên, đỉnh tại $(-1;0)$ và đi qua $(0;1)$ nên $f(x)=(x+1{)}^2$. a) Sai vì $f(-1)=0$, hàm số không nhận giá trị dương với mọi $x$. b) Đúng vì $f(-1)=0$, phương trình $f(x)=0$ có nghiệm $x=-1$ (nghiệm kép). c) Sai vì $f(x)=(x+1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, nên không có $f(x)<0$ trên $(-2;0)$. d) Đúng vì $f(x)\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, tập nghiệm của $a{x}^2+bx+c\ge 0$ là $\mathbb{R}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đồ thị tiếp xúc trục hoành tại đỉnh $(-1;0)$ nên $f(-1)=0$, hàm số không nhận giá trị dương với mọi số thực.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đỉnh parabol là $(-1;0)$ nằm trên trục hoành nên $f(-1)=0$, phương trình $f(x)=0$ có nghiệm $x=-1$ (nghiệm kép).
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Vì $f(x)=(x+1{)}^2\ge 0$ với mọi $x$, hàm số không âm trên toàn trục hoành nên không thể có $f(x)<0$ khi $x\in (-2;0)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Đồ thị nằm phía trên trục hoành và tiếp xúc tại $x=-1$, nên $a{x}^2+bx+c\ge 0$ với mọi $x$; tập nghiệm là $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị Câu 4: parabol hướng lên, đỉnh $(2;-1)$, cắt trục hoành tại $x=1$ và $x=3$, cắt trục tung tại điểm có tung độ 3. Viết $f(x)=a(x-2{)}^2-1$; vì $f(1)=a-1=0$ nên $a=1$, suy ra $f(x)=(x-2{)}^2-1=x^2-4x+3$. a) $a=1>0$ đúng. b) $f(x)=0\iff x=1$ hoặc $x=3$, không có nghiệm $x=-1$ nên sai. c) $f(x)>0\iff x<1$ hoặc $x>3$, tức $x\in (-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$ đúng. d) $\Delta =b^2-4ac=16-12=4>0$ đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Parabol hướng lên nên $a>0$; cụ thể $f(x)=(x-2{)}^2-1$ cho $a=1>0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục hoành tại $x=1$ và $x=3$, nên $f(x)=0$ có nghiệm $x=1,x=3$, không có nghiệm $x=-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, $f(x)>0$ khi $x$ ngoài khoảng hai nghiệm: $x\in (-\infty ;1)\cup (3;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt nên $\Delta >0$; với $f(x)=x^2-4x+3$ thì $\Delta =16-12=4>0$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=-x^2+2x+2$ (a = -1 < 0, b = 2, c = 2).

- Tập xác định: $\mathbb{R}$.
- $y^{\prime }=-2x+2$; $y^{\prime }=0\iff x=1$; $y(1)=3$.
- Với $x<1$: $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến; với $x>1$: $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến.

Bảng biến thiên:
$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>-\infty </td><td></td><td>1</td><td></td><td>+\infty </td></tr><tr><td>y^{\prime }</td><td></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td></td></tr><tr><td>y</td><td>-\infty </td><td>\nearrow </td><td>3</td><td>\searrow </td><td>-\infty </td></tr></tbody></table>$$

Hàm số đạt cực đại tại $x=1$, $y_{CĐ}=3$.

Vẽ đồ thị:
- Đỉnh $I(1;3)$, trục đối xứng $x=1$.
- Giao với trục $Oy$: điểm $(0;2)$, và điểm đối xứng $(2;2)$.
- Giao với trục $Ox$: $-x^2+2x+2=0\iff x=1\pm \sqrt{3}$, tức hai điểm $(1-\sqrt{3};0)$ và $(1+\sqrt{3};0)$.

Đồ thị là parabol nhọn hướng xuống, đi qua các điểm trên, có đỉnh $I(1;3)$ và trục đối xứng $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với mặt đất là trục Ox, gốc tại $A$: theo hình vẽ ta có $A(0;0)$, $C(3;0)$, $E(7;0)$, $G(9;0)$, $I(11;0)$; $B(0;4)$, $D(3;5,8)$.

Parabol $(P_1)$ có đỉnh $D(3;5,8)$ nên có dạng $y=a(x-3{)}^2+5,8$. Vì $(P_1)$ đi qua $B(0;4)$: $9a+5,8=4\Rightarrow a=-0,2$. Vậy $y=-0,2(x-3{)}^2+5,8$, suy ra $y^{\prime }=-0,4(x-3)$.

Tại $E(7;0)$: $y_F=-0,2\cdot 16+5,8=2,6$, tức $F(7;2,6)$; hệ số góc tiếp tuyến tại $F$: $y^{\prime }(7)=-1,6$.

Parabol $(P_2)$ có đỉnh $H(9;h)$ nên có dạng $y=b(x-9{)}^2+h$, $y^{\prime }=2b(x-9)$. Nối trơn tru tại $F$ nghĩa là $(P_2)$ đi qua $F$ và có cùng tiếp tuyến tại $F$: $2b(7-9)=-1,6\Rightarrow b=0,4$; và $0,4\cdot 4+h=2,6\Rightarrow h=1$.

Điểm $K$ có hoành độ $x=11$ (trên $(P_2)$): $y_K=0,4(11-9{)}^2+1=0,4\cdot 4+1=2,6$.

Vậy khoảng cách từ $K$ đến mặt đất bằng $2,6$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=-1$ vào hàm số $y=-x^2+2x-5$: $y=-(-1{)}^2+2(-1)-5=-1-2-5=-8$. Vậy điểm $(-1;-8)$ thuộc đồ thị hàm số, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y=x^2-4x+3$.

a) Tại $x=0$ thì $y=3$, giao điểm với $Oy$ là $(0;3)$ có tung độ $3$, không phải $2$ → sai.

b) $y=0\iff x^2-4x+3=0\iff x=1$ hoặc $x=3$, nên $A(1;0)$, $B(3;0)$, $AB=2$. Đỉnh $I(2;-1)$ nên chiều cao từ $I$ xuống $AB$ bằng $1$, diện tích tam giác $IAB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$ → đúng.

c) Trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$ → đúng.

d) Đỉnh $I(2;f(2))=(2;4-8+3)=(2;-1)$ → đúng.

a) Với $x=0$, $y=3$ nên giao điểm với $Oy$ là $(0;3)$, tung độ bằng $3$ chứ không phải $2$.

b) $x^2-4x+3=0$ có hai nghiệm $x=1$, $x=3$ nên $A(1;0)$, $B(3;0)$, $AB=2$; đỉnh $I(2;-1)$ cách $Ox$ một khoảng $1$, diện tích tam giác $IAB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$.

c) Trục đối xứng là $x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$.

d) Đỉnh $I$ có hoành độ $x=2$, tung độ $y=2^2-4\cdot 2+3=-1$, tức $I(2;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $f(t)=-3t^2+90t+10$ là parabol bậc hai với hệ số $a=-3<0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh $t=-\frac{b}{2a}=-\frac{90}{2\cdot (-3)}=15$. Vậy tốc độ truyền bệnh lớn nhất vào ngày thứ 15.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ: gốc $O$ tại chân cổng trái, trục $Ox$ dọc mặt đất. Hai chân cổng tại $x=0$ và $x=8$, đỉnh parabol tại $x=4$, phương trình có dạng $y=a(x-4{)}^2+h$ với $h$ là chiều cao cổng.

Vì điểm $(0;0)$ thuộc parabol: $a\cdot 16+h=0\Rightarrow a=-\frac{h}{16}$.

Điểm cách chân cổng $0,5m$ có hoành độ $x=0,5$ và cao $2,93m$: $a(0,5-4{)}^2+h=2,93\Rightarrow -\frac{h}{16}\cdot 12,25+h=2,93$.

Suy ra $h\left(1-\frac{12,25}{16}\right)=2,93\Rightarrow h\cdot \frac{3,75}{16}=2,93\Rightarrow h=\frac{2,93\cdot 16}{3,75}=\frac{46,88}{3,75}\approx 12,5013$.

Vậy chiều cao của cổng parabol khoảng $12,5m$.

(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol $y=3x^2-2x+1$ có hoành độ $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 3}=\frac{1}{3}$, tung độ $y=3{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-2\cdot \frac{1}{3}+1=\frac{1}{3}-\frac{2}{3}+1=\frac{2}{3}$. Vậy đỉnh là $I\left(\frac{1}{3};\frac{2}{3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, parabol $(P)$ có bề lõm hướng lên ($a>0$) và đỉnh tại điểm có hoành độ $x=1$, tung độ $y=-2$ (đường nét đứt chỉ $x=1$ và $y=-2$). Vậy đỉnh là $(1;-2)$. a) Sai vì đỉnh là $(1;-2)$ chứ không phải $(-2;1)$. b) Sai vì hàm số đồng biến khi $x>1$, tức trên khoảng $(1;+\infty )$; trên $(-\infty ;1)$ hàm nghịch biến. c) Đúng vì $a>0$ nên GTNN của hàm số là $y_{\text{đỉnh}}=-2$, tập giá trị là $[-2;+\infty )$. d) Đúng vì $a+b+c=y(1)=-2$ do $x=1$ là hoành độ đỉnh.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, đỉnh của $(P)$ là $(1;-2)$, không phải $(-2;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$a>0$ nên hàm nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và đồng biến trên $(1;+\infty )$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$a>0$, GTNN $=y_{\text{đỉnh}}=-2$ nên tập giá trị là $[-2;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a+b+c=y(1)=-2$ vì $x=1$ là hoành độ đỉnh.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=-x^2+2x+3$ với $a=-1<0$, $b=2$, $c=3$.

**1. Bảng biến thiên:**
- $y^{\prime }=-2x+2=0\iff x=1$.
- Trên $(-\infty ;1)$: $y^{\prime }>0$ nên hàm số đồng biến; trên $(1;+\infty )$: $y^{\prime }<0$ nên hàm số nghịch biến.
- Cực đại tại $x=1$: $y(1)=-1+2+3=4$. Đỉnh $(1;4)$.
- $y=-x^2+2x+3=-(x-1{)}^2+4\le 4$ với mọi $x$, nên tập giá trị là $(-\infty ;4]$.

Bảng biến thiên:
$$<table><tbody><tr><td>x</td><td>-\infty </td><td></td><td>1</td><td></td><td>+\infty </td></tr><tr><td>y^{\prime }</td><td></td><td>+</td><td>0</td><td>-</td><td></td></tr><tr><td>y</td><td>\nearrow </td><td></td><td>4</td><td></td><td>\searrow </td></tr></tbody></table>$$

**2. Vẽ đồ thị (parabol):**
- Đỉnh $I(1;4)$, trục đối xứng $x=1$, nhánh hướng xuống vì $a=-1<0$.
- Giao với trục $Oy$: $x=0\Rightarrow y=3$, điểm $(0;3)$; điểm đối xứng $(2;3)$.
- Giao với trục $Ox$: $-x^2+2x+3=0\iff x^2-2x-3=0\iff x=-1$ hoặc $x=3$, hai điểm $(-1;0)$ và $(3;0)$.

Đồ thị là parabol đi qua các điểm $(-1;0)$, $(0;3)$, đỉnh $(1;4)$, $(2;3)$, $(3;0)$, có trục đối xứng $x=1$ và nhánh hướng xuống dưới.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi giá bán là $x$ (nghìn đồng), với $50\le x\le 150$ (để có lãi và số sách bán được không âm). Số sách bán được mỗi tháng: $150-x$ (cuốn). Lợi nhuận mỗi tháng: $P(x)=(x-50)(150-x)=-x^2+200x-7500$. Đây là hàm bậc hai với hệ số $a=-1<0$, đạt giá trị lớn nhất tại $x=-\frac{200}{2(-1)}=100$ (thuộc khoảng xác định). Khi đó $P(100)=50\cdot 50=2500$ (nghìn đồng). Vậy giá bán mỗi cuốn sách là $100$ nghìn đồng để lợi nhuận trong một tháng đạt lớn nhất, lợi nhuận lớn nhất là $2500000$ đồng.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y=-x^2-4x+1$ có $a=-1,b=-4$. Trục đối xứng là $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2(-1)}=-2$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đỉnh parabol là điểm cao nhất (2; 3), ta viết $h=a(t-2{)}^2+3$. Vì $h(1)=2$ nên $a+3=2\Rightarrow a=-1$. Vậy $h=-(t-2{)}^2+3$.
a) Đúng: quả bóng đạt cao nhất 3m sau 2 giây nên đỉnh $I(2;3)$.
b) Sai: điều kiện đỉnh là $-\frac{b}{2a}=2\Rightarrow b=-4a\Rightarrow 4a+b=0$, không phải $2a+b=0$. Hệ đúng phải là $\{\begin{array}{l}4a+b=0\\ 4a+2b+c=3\\ a+b+c=2\end{array}$.
c) Đúng: $h(3)=-(3-2{)}^2+3=2$ (m).
d) Đúng: $h>2\iff -(t-2{)}^2+3>2\iff (t-2{)}^2<1\iff 1<t<3$, khoảng thời gian dài $3-1=2$ giây. Khớp với đáp án nguồn: a, c, d đúng; b sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol là điểm cao nhất: cao nhất 3m tại t=2s nên I(2;3).
b) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh tại t=2 nên -b/(2a)=2, tức 4a+b=0, không phải 2a+b=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
h(t)=-(t-2)^2+3, h(3)=2 (m).
d) (AI giải đề cho tôi)
h>2 khi 1<t<3, kéo dài 2 giây.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: $h(0)=200$ nên $c=200$; parabol có đỉnh tại $t=0$ và giảm dần nên $b=0$, $a<0$. Theo mô hình vật lý (gia tốc trọng trường), $a=-5$, vậy $h(t)=-5t^2+200$. Kiểm tra: $h(5)=-125+200=75$ (m) đúng như đề bài. Nước chạm đất khi $h(t)=0\iff -5t^2+200=0\iff t^2=40\iff t=\sqrt{40}\approx 6,32$ (s) (nhận giá trị dương). Khớp với đáp án nguồn 6,32.