Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với gốc tại vị trí ban đầu $A$ của tàu $A$, trục hoành hướng về phía $B$ (hướng Đông), trục tung hướng Nam. Sau $t$ giờ, tàu $A$ ở $A_1(0;7t)$. Tàu $B$ chạy thẳng về vị trí ban đầu của tàu $A$ (điểm $A$) với vận tốc 8 hải lí/giờ nên ở $B_1(10-8t;0)$ với $0\le t\le \frac{10}{8}=1,25$.

Khoảng cách giữa hai tàu:
$$d^2(t)=(10-8t{)}^2+(7t{)}^2=100-160t+113t^2.$$
Xét hàm $f(t)=113t^2-160t+100$ trên $[0;1,25]$. Hoành độ đỉnh:
$$t=\frac{160}{2\cdot 113}=\frac{80}{113}\approx 0,7080\in [0;1,25].$$
Vì hệ số $113>0$ nên $d^2$ (và do đó $d$) đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=\frac{80}{113}\approx 0,71$ giờ. Khi đó $d_{\min }=\sqrt{100-\frac{160\cdot 80}{113}+113\cdot \frac{6400}{12769}}\approx 6,63$ hải lí.

Vậy sau khoảng $0,71$ giờ khoảng cách giữa hai tàu là ngắn nhất.

Gọi $t$ (giờ) là thời gian tàu $B$ đi từ lúc khởi hành đến $B_1$. Khi đó: quãng đường $B{B}_1=8t$ (hải lí), $A{B}_1=10-8t$ (hải lí). Do tàu $A$ và $B$ đồng thời cùng khởi hành nên quãng đường $A{A}_1=7t$ (hải lí). Sau thời gian t (giờ) thì khoảng cách giữa hai tàu là $$A_1{B}_1=\sqrt{(7t{)}^2+(10-8t{)}^2}=\sqrt{113t^2-160t+100}\text{ (hải lıˊ)}$$ Để $A_1{B}_1$ ngắn nhất khi $t=\frac{-b}{2a}=\frac{-(-160)}{2.113}\approx 0,71$ (giờ).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: parabol $(P)$ có bề lõm hướng lên, đỉnh $I(-1;-3)$ và đi qua điểm $(0;-2)$ (giao với trục tung). Suy ra $f(x)=a(x+1{)}^2-3$; với $x=0$: $a-3=-2\Rightarrow a=1$, vậy $f(x)=(x+1{)}^2-3=x^2+2x-2$.
a) $c=-2\ne -3$ nên Sai.
b) $f(3)=9+6-2=13\ne 12$ nên $(P)$ không đi qua $A(3;12)$, Sai.
c) $\Delta =b^2-4ac=4+8=12>0$ nên $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, Đúng.
d) Đỉnh parabol là $I(-1;-3)$, Đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-2)$ nên $c=-2\ne -3$, do đó khẳng định Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ hình, $f(x)=(x+1{)}^2-3=x^2+2x-2$; $f(3)=13\ne 12$ nên $(P)$ không đi qua $A(3;12)$, Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(x)=x^2+2x-2$, $\Delta =2^2-4\cdot 1\cdot (-2)=12>0$ nên $(P)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt, Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hình vẽ cho thấy đỉnh parabol (điểm thấp nhất) là $I(-1;-3)$, Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Trục đối xứng $x=-\frac{b}{2a}=2$ nên $b=-4a$. Parabol đi qua $A(3;11)$: $9a+3b+5=11\Rightarrow 9a-12a=6\Rightarrow -3a=6\Rightarrow a=-2$, suy ra $b=8$. Khi đó $S=a^2-b^2=4-64=-60$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-60$.

Vì $a=1>0$ nên đồ thị hàm số đã cho là một parabol có:
- Bề lõm hướng lên trên;
- Đỉnh là điểm $I(-2;-1)$;
- Trục đối xứng là đường thẳng $x=-2$.

Đồ thị hàm số đã cho giao với trục tung tại điểm $(0;3)$, và giao với trục hoành tại các điểm $(-3;0),(-1;0)$.

[Hình cần kiểm tra lại: p4_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, parabol có bề lõm hướng lên nên $a>0$. Đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt (khoảng $x=1$ và $x=2$) nên phương trình $a{x}^2+bx+c=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức $\Delta =b^2-4ac>0$. Vậy phát biểu đúng là $a>0$, $\Delta >0$, tương ứng đáp án A. Khớp với đáp án nguồn (Câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^2+10x-9$ là hàm bậc hai với $a=-1<0$, bề lõm hướng xuống dưới. Hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{10}{2(-1)}=5$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;5)$ và nghịch biến trên $(5;+\infty )$. Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng $(5;+\infty )$, đáp án D. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: parabol có bề lõm hướng xuống dưới nên $a<0$, đỉnh tại điểm $(1;0)$ (tiếp xúc trục hoành tại $x=1$) và cắt trục tung tại điểm $(0;-2)$. Xét $y=-2x^2+4x-2=-2(x^2-2x+1)=-2(x-1{)}^2$: có $a=-2<0$ (bề lõm hướng xuống), đỉnh $I(1;0)$, và tại $x=0$ thì $y=-2$. Đúng khớp hoàn toàn với đồ thị. Các phương án khác: A có $y(0)=-1$ (khớp điểm cắt trục tung), C và D có $a>0$ (bề lõm hướng lên, sai). Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $P(x)=100x-T(x)=100x-(x^2-20x+400)=-x^2+120x-400$. Đây là parabol với bậc âm, đạt max tại $x=-\frac{120}{2(-1)}=60$. Vậy cần sản xuất $x=60$ sản phẩm, khớp với đáp án nguồn (60).

(AI giải đề cho tôi)
Lợi nhuận: $P(x)=100x-T(x)=100x-(x^2-20x+400)=-x^2+120x-400$ (nghìn đồng). Hàm bậc hai với $a=-1<0$ đạt max tại $x=\frac{-120}{2(-1)}=60$. Khi đó $P(60)=-3600+7200-400=3200$ nghìn đồng. Khớp với đáp án nguồn 3200.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ: parabol có nhún hướng xuống nên $a<0$. Đỉnh parabol có hoành độ $x=-\frac{b}{2a}>0$, vì $a<0$ nên $b>0$. Đồ thị cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ dương (trên gốc $O$) nên $y(0)=c>0$. Vậy $a<0,b>0,c>0$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, trục $Ox$ là mặt đất, điểm $F$ nằm trên $Ox$ tại gốc (gần $O$) và $E$ là giao điểm của parabol với $Ox$. Parabol có đỉnh $C(1;7)$ nên có dạng $y=a(x-1{)}^2+7$. Qua $A(0;2)$: $2=a+7\Rightarrow a=-5$, tức $y=-5(x-1{)}^2+7$. Viên bi chạm đất khi $y=0$: $(x-1{)}^2=\frac{7}{5}\Rightarrow x=1\pm \sqrt{1,4}$. Lấy nghiệm dương (điểm $E$): $x_E=1+\sqrt{1,4}\approx 2,1832$. Vì $F$ nằm tại gốc $O$ trên mặt đất nên $EF=OE\approx 2,18$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2-4x+5$ có $a=1>0$, bậc hai với đỉnh tại $x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;2)$ và đồng biến trên $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$.

Ta có $a=-\frac{1}{2}$, $b=2$, $c=-2$. Suy ra tọa độ đỉnh là $I(2;0)$. Bảng biến thiên: Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;2)$ và nghịch biến trên khoảng $(2;+\infty )$. (0.5đ) Vẽ đồ thị: Đỉnh là $I(2;0)$. Trục đối xứng là $x=2$. Bảng giá trị: Ta có đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x-2$ là (0.5đ)

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y=x^2+4x+3$ có $a=1,b=4,c=3$. Hoành độ đỉnh: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2$. Tung độ đỉnh: $y=(-2{)}^2+4(-2)+3=4-8+3=-1$. Vậy đỉnh là $I(-2;-1)$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1020, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu: $R(x)=x\cdot T(x)=x(-200x+560)=-200x^2+560x$ (triệu đồng), với $x\ge 0$. Hàm bậc hai với $a=-200<0$ đạt cực đại tại $x=-\frac{560}{2(-200)}=1,4$ (nghìn sản phẩm). Doanh thu lớn nhất: $R(1,4)=-200(1,4{)}^2+560(1,4)=-392+784=392$ triệu đồng. Kết quả trùng với đáp án nguồn (392).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y=x^2+4x+3$ có $a=1,b=4,c=3$. Hoành độ đỉnh: $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2$. Tung độ đỉnh: $y=(-2{)}^2+4(-2)+3=4-8+3=-1$. Vậy đỉnh là $I(-2;-1)$, trùng với đáp án D trong bảng đáp án chính thức (mã đề 1010, câu 2: D).

Ta có $a=-\frac{1}{2}$, $b=2$, $c=-2$. Suy ra tọa độ đỉnh là $I(2;0)$. Bảng biến thiên: Do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;2)$ và nghịch biến trên khoảng $(2;+\infty )$. (0.5đ) Vẽ đồ thị: Đỉnh là $I(2;0)$. Trục đối xứng là $x=2$. Bảng giá trị: Ta có đồ thị của hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x-2$ là (0.5đ)

(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol $y=a{x}^2+bx+c$ có hoành độ $x=-\frac{b}{2a}$ và tung độ $y=-\frac{\Delta }{4a}$ (vì $y_I=f\left(-\frac{b}{2a}\right)=\frac{4ac-b^2}{4a}=-\frac{\Delta }{4a}$). Vậy $I\left(\frac{-b}{2a};\frac{-\Delta }{4a}\right)$, khớp với đáp án D trong bảng mã đề 0112.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-x^2-4x+5$ có $a=-1,b=-4,c=5$.

a) Sai. Phương trình $x^2-2x-m=2x^2+2x-5\iff x^2+4x+(m-5)=0$. Có 2 nghiệm phân biệt khi $\Delta =16-4(m-5)=36-4m>0\iff m<9$. Các giá trị nguyên dương của $m$ là $1,2,\dots ,8$, tức có 8 giá trị chứ không phải 9.

b) Đúng. Đồ thị là parabol nhọn hướng xuống, đỉnh $I(-2;9)$, cắt trục tung tại $(0;5)$, cắt trục hoành tại $x=-5$ và $x=1$ (vì $-x^2-4x+5=0\iff x=-5$ hoặc $x=1$), đúng như hình vẽ.

c) Sai. Tọa độ đỉnh: $x_I=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{-2}=-2$, $y_I=-(-2{)}^2-4(-2)+5=9$, nên đỉnh là $I(-2;9)$ chứ không phải $I(-1;9)$.

d) Đúng. $\Delta =(-4{)}^2-4(-1)(5)=36>0$ nên đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $(-5;0)$ và $(1;0)$.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình tương đương $x^2+4x+(m-5)=0$, có 2 nghiệm phân biệt khi $\Delta =36-4m>0\iff m<9$. Giá trị nguyên dương: $m\in \{1,\dots ,8\}$, chỉ có 8 giá trị, không phải 9.
b) (AI giải đề cho tôi)
Parabol nhọn xuống, đỉnh $(-2;9)$, đi qua $(0;5)$, cắt trục hoành tại $-5$ và $1$, khớp hình vẽ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh là $I\left(-\frac{b}{2a};y(-\frac{b}{2a})\right)=(-2;9)$, không phải $(-1;9)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta =36>0$ nên đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt $(-5;0)$ và $(1;0)$.