Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng mệnh đề với $a,b,c>0$, $a\ne 1$:
- A đúng: theo tính chất lũy thừa của logarit, ${\log }_a{b}^{\alpha }=\alpha {\log }_{a}b$ với mọi $\alpha \in \mathbb{R}$ (vì $b>0$ nên $b^{\alpha }>0$).
- B đúng: theo tính chất logarit của một thương, ${\log }_a\frac{b}{c}={\log }_{a}b-{\log }_{a}c$.
- C sai: logarit không có tính chất ${\log }_a(b+c)={\log }_{a}b+{\log }_{a}c$. Ví dụ với $a=2$, $b=c=1$: ${\log }_{2}2=1$ nhưng ${\log }_{2}1+{\log }_{2}1=0\ne 1$.
- D đúng: vì ${\left(a^{\alpha }\right)}^{1/\alpha }=a$ với $\alpha \ne 0$, nên ${\log }_{a^{\alpha }}a=\frac{1}{\alpha }$.
Vậy mệnh đề sai là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ với mọi $a,b>0$. Các phương án A, B sai vì $\ln (ab)\ne \ln a\cdot \ln b$ và $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b\ne \frac{\ln a}{\ln b}$. Phương án D sai vì $\ln \frac{b}{a}=\ln b-\ln a$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của tích: với $a,b>0$ thì $\log (ab)=\log a+\log b$. Các phương án A, B, D đều sai vì logarit của tích/thương không bằng tích/thương của các logarit, và $\log \frac{a}{b}=\log a-\log b$ chứ không phải $\log b-\log a$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa và logarit: ${\log }_a{a}^2=2$ (với $a>0$, $a\ne 1$). Do đó $a^{{\log }_a{a}^2}=a^2$. Cách khác: dùng công thức $a^{{\log }_{a}b}=b$ với $b=a^2$, ta được $a^{{\log }_a{a}^2}=a^2$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$, ta có ${\log }_2(4a^2)={\log }_{2}4+{\log }_2{a}^2=2+2{\log }_{2}a$. Vậy đáp án D. Kiểm tra: với $a=1$, ${\log }_{2}4=2$ và $2+2{\log }_{2}1=2$, khớp.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_2|x|$ xác định khi $|x|>0$, tức $x\ne 0$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{0\}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của tích: với mọi $a,b>0$ ta có $\ln (ab)=\ln a+\ln b$, nên mệnh đề A đúng.

Xét các phương án còn lại:
- B sai vì $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$, không phải thương $\frac{\ln a}{\ln b}$.
- C sai vì $\ln (ab)=\ln a+\ln b\ne \ln a\cdot \ln b$.
- D sai vì $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$ chứ không phải $\ln b-\ln a$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $a>0$: ${\log }_3(9a)={\log }_{3}9+{\log }_{3}a=2+{\log }_{3}a$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{2}x$ xác định khi và chỉ khi $x>0$. Vậy tập xác định là $(0;+\infty )$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: với $a,b>0$ thì $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ (đúng). Các mệnh đề khác sai vì $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$, không phải $\ln b-\ln a$; $\ln \frac{a}{b}\ne \frac{\ln a}{\ln b}$; và $\ln (ab)\ne \ln a\cdot \ln b$. Khớp với đáp án B trong bảng mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=3^{x+2}$ là hàm số mũ với cơ số $3>1$, tập xác định $D=\mathbb{R}$. a) Vì cơ số $3>1$ nên hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$: Đúng. b) $f(2)=3^{2+2}=3^4=81$: Đúng. c) Tập xác định là $D=\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$: Sai. d) $3^{x+2}=729=3^6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4$ là số chẵn, không phải số lẻ: Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 102: Đ Đ S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=3^{x+2}$ có cơ số $3>1$ nên luôn đồng biến trên tập xác định $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=3^{2+2}=3^4=81$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3^{x+2}=729=3^6\Rightarrow x=4$, hoành độ giao điểm là $4$ (số chẵn), không phải số lẻ.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}(x^2+3x)$ xác định khi $x^2+3x>0\iff x(x+3)>0\iff x<-3$ hoặc $x>0$. Vậy $D=(-\infty ;-3)\cup (0;+\infty )$. Khớp với đáp án D trong bảng mã đề 102.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=f(x)=3^{x+2}$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$ (không phải $(0;+\infty )$) và vì cơ số $3>1$ nên hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$. a) Giải $3^{x+2}=729=3^6\Rightarrow x+2=6\Rightarrow x=4$ là số chẵn, nên khẳng định 'hoành độ là số lẻ' là SAI. b) ĐÚNG vì $3>1$. c) SAI vì $D=\mathbb{R}$. d) $f(2)=3^{2+2}=3^4=81$, ĐÚNG. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 101: S, Đ, S, Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải $3^{x+2}=729=3^6\Rightarrow x=4$, là số chẵn nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cơ số $3>1$ nên hàm số mũ $y=3^{x+2}$ luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của hàm số mũ là $D=\mathbb{R}$, không phải $(0;+\infty )$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(2)=3^{2+2}=3^4=81$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y={\log }_{\frac{1}{2}}(x^2+3x)$ xác định khi $x^2+3x>0\iff x(x+3)>0\iff x<-3$ hoặc $x>0$. Vậy $D=(-\infty ;-3)\cup (0;+\infty )$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit: với $a,b>0$ thì $\ln (ab)=\ln a+\ln b$ (đúng). A sai vì $\ln \frac{a}{b}=\ln a-\ln b$; B sai vì logarit của thương không bằng thương hai logarit; D sai vì $\ln (ab)\ne \ln a\cdot \ln b$. Khớp đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ $y=a^x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $a>1$. Xét các phương án: A có $a=\frac{1}{5}<1$ nên nghịch biến; B có $a=\sqrt{2}>1$ nên đồng biến trên $\mathbb{R}$; C có $y=2^{-x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$ với $a=\frac{1}{2}<1$ nên nghịch biến; D là hàm logarit với cơ số $\frac{1}{2}<1$ nên nghịch biến trên $(0;+\infty )$. Vậy hàm luôn đồng biến trên tập xác định là $y={\left(\sqrt{2}\right)}^x$, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 101, câu 9: B).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_8(a^6)=6{\log }_{8}a=6\cdot \frac{{\log }_{2}a}{{\log }_{2}8}=6\cdot \frac{{\log }_{2}a}{3}=2{\log }_{2}a$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit của một thương: với $a>0$, $a\ne 1$ và mọi $x,y>0$ ta có ${\log }_a\frac{x}{y}={\log }_{a}x-{\log }_{a}y$. Do đó mệnh đề đúng là phương án C. Các phương án A, B, D đều sai (B là công thức của tích, D sai vì $x-y$ có thể âm).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số mũ có dạng $y=a^x$ với $a>0$, $a\ne 1$, biến số $x$ ở số mũ. Các hàm $y={\left(\frac{1}{3}\right)}^x$, $y=4^{-x}={\left(\frac{1}{4}\right)}^x$ và $y={\pi }^x$ đều có dạng này nên là hàm số mũ. Hàm $y=x^{-4}$ có biến số $x$ ở cơ số, không phải số mũ, nên đây là hàm số lũy thừa (hàm số mũ), không phải hàm số mũ. Vậy đáp án là B.